Необхідні знання: Довжина хвилі де Бройля, розміри ядра, релятивістська енергія електрона.
Для дослідження розподілу заряду всередині ядра зазвичай використовують високоенергетичні електрони (а не протони), оскільки вони не беруть участі в сильній взаємодії й тому чутливі лише до розподілу заряду в ядрі. Яка мінімальна енергія електронів, потрібних для цієї мети?
Необхідні знання: Логарифмічна шкала, порядки величин, основні етапи космічної історії.
Припустімо, що ми стиснули всю космічну історію (14 мільярдів років) до однієї доби. Відобразіть основні події в історії Всесвіту, використовуючи для часу логарифмічну шкалу. Почнімо з планківського часу, щоб уникнути розбіжностей.
Необхідні знання: Ефект Доплера, тепловий спектр і колір зорі.
Ефект зміни сприйманої частоти коливань за відносного руху джерела та приймача хвиль був передбачений Доплером для світлових і звукових хвиль у 1842 році. Доплер вважав, що цей ефект може пояснити відмінність у кольорі зір: зоря, що рухається до Землі, виглядає ''блакитнішою'', а від Землі — ''червоніє''. Пояснити, чому ефект Доплера не може істотно змінити забарвлення зорі.
Необхідні знання: Коловий рух, ньютонівська гравітація, оцінка маси.
Оцінити масу Чумацького Шляху \(M_G\) і кількість зір у ньому, якщо Сонце — це найзвичайніша зоря маси \(M_\odot\), що розташована майже на краю нашої Галактики й обертається з періодом \(T_\odot=250\) мільйонів років на відстані \(R_G=30\) тисяч світлових років від галактичного центру.
Необхідні знання: Маса, число зір, середня густина, переведення астрономічних одиниць.
Оцінити густину світної речовини у Всесвіті, вважаючи, що Чумацький Шлях, який містить \(N \sim 10^{11}\) зір типу Сонця, — типова галактика, а середня відстань між галактиками L становить близько одного мегапарсека.
Відомо, що в перші мільйони років після Великого вибуху відношення ізотопів \(U^{235}/U^{238} \simeq 1.65 \), а спостережуване нині відношення \(U^{235}/U^{238} \simeq 0.0072 \). Вважаючи, що періоди напіврозпаду для цих ізотопів дорівнюють: \(t_{1/2}(U^{235})=1.03\cdot 10^9, t_{1/2}(U^{238})=6.67\cdot 10^9 \) років, визначити вік Всесвіту.
Необхідні знання: Електрична та гравітаційна сили, класичний радіус електрона.
Показати, що в атомі водню відношення електричних сил до гравітаційних близьке до відношення розміру Всесвіту до розміру електрона (це спостереження належить П. Діраку).
Оцінити порядок величини температури Великого об’єднання (температури, за якої інтенсивність гравітації зрівняється з інтенсивностями решти взаємодій).
Необхідні знання: Імовірнісні моделі, нескінченні простори, припущення про число станів.
Припустімо, що простір нескінченний і в середньому однорідно заповнений матерією. Оцінити, на якій відстані від нашої видимої частини Всесвіту розташована точно така сама (з точно таким розташуванням галактик, точно такою самою Землею) частина Всесвіту.
Необхідні знання: Світловий потік, сферичні оболонки, невласний інтеграл.
Якби Всесвіт був нескінченно старим і нескінченно протяжним, а зорі могли світити вічно, то в якому б напрямку ви не поглянули, промінь вашого зору потрапив би на поверхню зорі, і тоді все небо стало б таким самим яскравим, як поверхня Сонця. Це твердження відоме як парадокс Ольберса. Кількісно сформулювати парадокс Ольберса.
Необхідні знання: Імовірності перекриття, диференціальне рівняння, експоненційний закон.
У лісі є \(n\) дерев на одному гектарі. Діаметр кожного стовбура\(D\). Починаючи з якої відстані ''за деревами не буде видно лісу''? Як ця задача пов’язана з парадоксом Ольберса?
Необхідні знання: Середня довжина вільного пробігу та геометрична ймовірність.
У романтичнішій постановці ця задача виглядає так: припустімо, що в Шервудському лісі середній радіус дерева дорівнює \(R=30 \,cm\) , а середня кількість дерев на одиницю площі становить \(n = 0.005 m^{-2} \). Якщо Робін Гуд пустить стрілу у випадковому напрямку, то як далеко в середньому вона пролетить, перш ніж встромиться в дерево?
Необхідні знання: Об'ємна концентрація зір, переріз, довжина вільного пробігу.
Ця сама задача в космологічній постановці виглядає так: припустімо, ви перебуваєте в нескінченно великому й нескінченно старому Всесвіті, у якому середня густина зір становить \(n_{st} = 10^{11} \,Mpc^{ - 3} \) і середній зоряний радіус дорівнює сонячному радіусу: \(R_{st} = R_ \odot = 7 \cdot 10^8 \,m.\) Як далеко в середньому можна подивитися в будь-якому напрямку, перш ніж погляд зустрінеться із зорею?