Необхідні знання: Відносний рух, рівномірне розтягування шнура, інтеграли та логарифми.
На стіні сидить павучок. У місці, де перебуває павучок, до стіни прикріплено еластичний шнур завдовжки 1 метр, другий кінець якого затиснутий у руці людини. Людина починає йти від стіни зі швидкістю 1 м/с. У цей самий момент павучок починає бігти по шнуру зі швидкістю \(v=\)1 см/с. Чи наздожене павучок людину?
Розгляньмо два Всесвіти. Один заповнений випромінюванням, другий — нерелятивістською матерією. Поточна густина енергії в обох випадках однакова. Порівняти густини енергії, коли обидва Всесвіти стануть удвічі старшими.
Необхідні знання: Власна та супутня відстані, масштабний фактор, класична модель зв'язаної системи.
Якщо простір розширюється, чи означає це, що все в ньому розтягується? Галактики? Атоми? Поверхова відповідь на це запитання: «зв’язані» системи не беруть участі в розширенні. Але якщо простір розтягується, як ці системи можуть не зазнавати принаймні мінімального розтягування? Чи мають зв’язані системи розширюватися менш інтенсивно? Чи мають слабко зв’язані системи розтягуватися сильніше? У низці наступних задач спробуємо прояснити ситуацію за допомогою простої моделі — класичного атома, що складається з негативно зарядженого електрона з нехтовно малою масою, який обертається навколо позитивно зарядженого важкого ядра. Розмістімо класичний атом в однорідному Всесвіті, розширення якого описується масштабним фактором $a(t).$
Для опису атома ми використовуватимемо два набори просторових координат. Обидва набори — сферичні координати з початком у ядрі. Перший набір складається з фізичних координат $R,\theta,\varphi,$, де $R$ — відстань від ядра до електрона в цей момент часу. Другий набір $r,\theta,\varphi,$ — супутні координати — фіксовані точки, що беруть участь у космологічному розширенні. Два набори пов’язані співвідношенням
$$R = a(t)r.$$
Кутові координати однакові для двох наборів, оскільки ми припускаємо, що космологічне розширення радіальне.
Як у термінах фізичних і супутніх координат відповісти на запитання, чи бере атом участь у космологічному (габблівському) розширенні?
Для випадку експоненційного розширення $a(t) = e^{\beta t}$ побудувати ефективний потенціал електрона в атомі та з його допомогою проаналізувати динаміку електрона для випадку ${L^2} = C$, де $C - $ — стала електростатичної взаємодії.
Необхідні знання: Рівняння Фрідмана, густини матерії й випромінювання, граничні режими та графіки.
У плоскому Всесвіті, що складається з матерії та випромінювання, знайти залежність від часу для масштабного фактора й густини кожної з компонент у випадку домінування однієї з компонент. Подати результати графічно.
Необхідні знання: Інтегрування рівнянь Фрідмана, суміш матерії й випромінювання, параметричні розв'язки.
Для плоского Всесвіту, що складається лише з матерії та випромінювання, отримати точні розв’язки рівнянь Фрідмана. Побудувати графіки часової залежності для масштабного фактора й обох густин.
Необхідні знання: Стале рівняння стану, збереження енергії та інтегрування рівняння Фрідмана.
Отримати залежність $ a(t)$ для плоского Всесвіту, що складається лише з матерії з рівнянням стану $p=w\rho,$, припускаючи, що протягом усієї еволюції параметр $w$ не залежить від часу.
Необхідні знання: Густини матерії й випромінювання, ефективний потенціал і знак прискорення.
Побудувати ефективний одновимірний потенціал $V(a)$ (використовуючи позначення попередньої задачі) для Всесвіту, що складається з нерелятивістської матерії та випромінювання. Покажіть, що в такому потенціалі розширення може бути лише сповільненим.
Необхідні знання: Параметр Габбла, стале рівняння стану та диференціальні рівняння.
Знайти залежність параметра Габбла від часу для плоского Всесвіту, заповненого субстанцією з рівнянням стану $p=w\rho,$, припускаючи, що протягом усієї еволюції параметр $w$ не залежить від часу.