Теорія збурень у космології

Розділ 7 збірника. Виберіть задачу за темою та потрібними знаннями.

Усі розділи задач
  1. 1Вступ52 задач
  2. 2Динаміка Всесвіту, що розширюється21 задач
  3. 3Динаміка Всесвіту в моделі Великого вибуху32 задач
  4. 4Спостережна космологія21 задач
  5. 5Реліктове випромінювання23 задач
  6. 6Термодинаміка Всесвіту62 задач
  7. 7Теорія збурень у космології29 задач
  8. 8Інфляційний Всесвіт84 задач
  9. 9Темна енергія24 задач
  10. 10Темна матерія25 задач
  11. 11Стандартна космологічна модель22 задач
  12. 12Голографічний Всесвіт33 задач

Знайдено задач: 29 із 29

Позначки про розв’язані задачі зберігаються лише в цьому браузері.

Задача 1

#99

Университетский уровень

Необхідні знання: Фізичні й супутні координати, масштабний фактор, закон Габбла та похідні за часом.

Виразити в термінах фізичних і супутніх координат відхилення швидкості розширення від габблівської.
Обговорити на форумі ↗

Задача 2

#100

Университетский уровень

Необхідні знання: Лінеаризація рівнянь неперервності, Ейлера та Пуассона, тиск і швидкість звуку.

Припустімо, що незбуреним станом є газ у спокої, рівномірно розподілений у просторі. У лінійному наближенні знайти рівняння для збурень.
Обговорити на форумі ↗

Задача 3

#101

Университетский уровень

Необхідні знання: Нормальні моди лінійної системи, комплексна частота та стійкість диференціальних рівнянь.

Показати, що у випадку стаціонарного незбуреного розв’язку збурення експоненційно залежать від часу.
Обговорити на форумі ↗

Задача 4

#102

Университетский уровень

Необхідні знання: Адіабатична швидкість звуку, гравітаційна нестійкість, хвильове число та довжина хвилі.

Розглянути залежні від часу адіабатичні збурення та знайти характерний масштаб нестійкості (джинсівської нестійкості).
Обговорити на форумі ↗

Задача 5

#103

Университетский уровень

Необхідні знання: Дисперсійне співвідношення, експоненційні та коливальні розв'язки, короткохвильове наближення.

Використовуючи результат попередньої задачі, розглянути випадки:
  • довгохвильових \(\lambda > \lambda _J\)
  • короткохвильових \(\lambda < \lambda _J\)
збурень. Розглянути граничний випадок коротких хвиль \((\lambda \ll \lambda _J)\).
Обговорити на форумі ↗

Задача 6

#104

Университетский уровень

Необхідні знання: Ньютонівська гідродинаміка середовища, що розширюється, контраст густини та адіабатична швидкість звуку.

У межах ньютонівського наближення, нехтуючи ентропійними збуреннями, скласти рівняння для малих відносних флуктуацій густини \(\delta = \frac{\delta \rho }{\rho }.\)
Обговорити на форумі ↗

Задача 7

#105

Университетский уровень

Необхідні знання: Перетворення Фур'є, фізичне й супутнє хвильові числа, швидкість звуку та масштаб Джинса.

Подати рівняння, отримане в попередній задачі, у вигляді рівняння для образу Фур’є, виключивши лагранжеві координати. Знайти порядок величини ''фізичної'' довжини хвилі Джинса для Всесвіту, у якому домінує речовина.
Обговорити на форумі ↗

Задача 8

#106
Знайти залежність флуктуацій густини від часу для плоского Всесвіту у випадку домінування
  • матерії,
  • випромінювання.
Обговорити на форумі ↗

Задача 9

#290
Припустімо, що частинний розв’язок диференціального рівняння, отриманого в задачі 6, має вигляд $\delta _1\left( t \right) \sim H\left( t \right).$. Побудувати загальний розв’язок для $\delta (t),$, розглянути випадок плоского Всесвіту, заповненого середовищем із рівнянням стану $p = w\rho.$
Обговорити на форумі ↗

Задача 10

#291

Университетский уровень

Необхідні знання: Поперечна швидкість, завихреність, лінійне рівняння Ейлера та розширення середовища.

Показати, що поперечна або обертальна мода у Всесвіті, що розширюється, має тенденцію до зменшення.
Обговорити на форумі ↗

Задача 11

#292

Университетский уровень

Необхідні знання: Рівняння зростання, статична границя, дисперсійне співвідношення та нестійкість Джинса.

Дослідити квазістатичну границю $(a = const,\,\dot a = 0)$ рівняння для малих флуктуацій густини, отриманого в задачі 6.
Обговорити на форумі ↗

Задача 12

#293
Показати, що квазістатичне наближення не можна використовувати для опису еволюції малих збурень густини у Всесвіті, що розширюється.
Обговорити на форумі ↗

Задача 13

#294
Дослідити на стійкість у лінійному наближенні стаціонарну модель Всесвіту, що складається з матерії $(p=0)$ та субстанції з рівнянням стану $p = w\rho.$
Обговорити на форумі ↗

Задача 14

#295

Университетский уровень

Необхідні знання: Статистична однорідність та ізотропія, кореляції й угоди перетворення Фур'є.

Побудувати кореляційну функцію для компонент Фур’є відносних флуктуацій густини, яка задовольняє космологічний принцип.
Обговорити на форумі ↗

Задача 15

#296

Университетский уровень

Необхідні знання: Спектр потужності, кореляційна функція, сферичне інтегрування та нормування Фур'є.

Виразити кореляційну функцію відносних флуктуацій густини через спектр потужності цих флуктуацій.
Обговорити на форумі ↗

Задача 16

#297

Углублённый уровень

Необхідні знання: Лінійні збурення метрики FLRW, скалярний, векторний і тензорний розклади.

Неоднорідність у розподілі матерії у Всесвіті індукує збурення метрики різного типу. У лінійному наближенні різні типи збурень не взаємодіють між собою (еволюціонують незалежно). Виконати класифікацію збурень.
Обговорити на форумі ↗

Задача 17

#298

Углублённый уровень

Необхідні знання: Компоненти симетричної метрики, поперечні вектори, тензорні поляризації та калібрувальна свобода.

Указати кількість незалежних функцій, потрібних для опису збурень, розглянутих у попередній задачі.
Обговорити на форумі ↗

Задача 18

#299

Углублённый уровень

Необхідні знання: Тензор енергії-імпульсу ідеальної рідини, нормування чотиришвидкості та лінійний розклад метрики.

У першому порядку за малою величиною $h_{ik}$ обчислити компоненти тензора енергії-імпульсу для Всесвіту, заповненого ідеальною рідиною з рівнянням стану $p=w\rho$ і метрикою $$ds^2=dt^2-a^2(t)(\delta_{ik}-h_{ik})dx^idx^k\;(i,k=1,2,3).$$
Обговорити на форумі ↗

Задача 19

#300
Знайти в лінійному наближенні перетворення метричного тензора $g_{\mu\nu}$, яке генерує перетворення координат вигляду $x^\alpha\rightarrow \tilde{x}^\alpha=x^\alpha+\xi^\alpha$, де $\xi^\alpha$ — нескінченно мала скалярна функція.
Обговорити на форумі ↗

Задача 20

#301
Використовуючи результати попередньої задачі, знайти збурення метрики, яке генерує перетворення вигляду $x^\alpha\rightarrow \tilde{x}^\alpha=x^\alpha+\xi^\alpha$, де 4-вектор $\xi^\alpha=(\xi^0,\xi^i)$ задовольняє умову $\xi^i=\xi^i_\bot+\zeta^i$, $\xi^i_\bot$ — 3-вектор із нульовою дивергенцією ($\xi^i_{\bot,i}=0$), $\zeta^i$ — скалярна функція.
Обговорити на форумі ↗