Необхідні знання: Рівняння Фрідмана та закони зміни густини пилу й випромінювання.
Показати, що як під час домінування випромінювання, так і матерії, комбінація $a^2 H^2$ є спадною функцією часу. Пов’язати цей результат із проблемою пласкості Всесвіту.
Необхідні знання: Фрідманівська динаміка, автономні рівняння та стійкість нерухомих точок.
Показати, що як у випадку випромінювання, так і у випадку матерії, для величини $$x \equiv\frac{{\Omega - 1}}{\Omega }$$ точка $x = 0$ є нестійкою нерухомою точкою.
Необхідні знання: Фізичні й супутні довжини хвиль, радіус Габбла та прискорене розширення.
Якою має бути динаміка раннього Всесвіту, щоб характерний розмір первинних збурень $\lambda_p $ спадав швидше за габблівський радіус $R_H $, коли ми рухаємося назад у часі.
Припустімо, що в певний початковий момент часу масштаб однорідності в нашому Всесвіті був більший за масштаб причинності. Показати, що у Всесвіті з домінуванням гравітації таке співвідношення між масштабами збережеться в усі наступні моменти часу.
Необхідні знання: Планківські масштаби, причинний горизонт, ентропія та температура CMB.
Якби спостережуваний нині МКФ був строго однорідним, то в якій кількості причинно не пов’язаних областей мала підтримуватися стала температура в планківський час?
Нехай задано початковий однорідний розподіл матерії у Всесвіті. Початкові швидкості мають підпорядковуватися закону Габбла (інакше початковий однорідний розподіл матерії швидко зруйнується). Якою має бути точність задання початкового поля швидкостей, щоб зберегти однорідний розподіл матерії донині?
Необхідні знання: Циклічні моделі та моделі з відскоком, енергетичні умови й космологічна ентропія.
Циклічна модель Всесвіту становить інтерес, оскільки дає змогу уникнути вродженої проблеми моделі Великого вибуху — проблеми початкової сингулярності. Проте, як це часто трапляється, модель, що усуває старі проблеми, породжує нові. Спробуйте виявити основні проблеми циклічної моделі Всесвіту.
Необхідні знання: Дія вільної частинки у FLRW, імпульс і просторові симетрії.
Всесвіт у моделі Великого вибуху однорідний та ізотропний. У цій моделі імпульс частинки зменшується в міру розширення Всесвіту як $p(t) \propto a(t)^{ - 1} $. На перший погляд здається, що трансляційна інваріантність, яка є наслідком однорідності Всесвіту, має забезпечувати збереження імпульсу. Поясніть цю позірну суперечність.
Необхідні знання: Довжини хвиль у Всесвіті, що розширюється, радіус Габбла та конформний час.
Якою має бути динаміка раннього Всесвіту, щоб характерний розмір первинних збурень $\lambda _{p} $ спадав швидше за габблівський радіус $R_{H}$, коли ми рухаємося назад у часі.
Необхідні знання: Принцип найменшої дії, похідні поля та рівняння Ейлера — Лагранжа.
Скалярне поле $\varphi (\vec r,t)$ у потенціалі $V(\varphi )$ описується лагранжіаном
$$L = \frac{1}{2}\left( {\dot \varphi ^2 - \nabla \varphi \cdot \nabla \varphi } \right) - V(\varphi )$$
Із принципу найменшої дії отримати рівняння руху (еволюції) для цього поля.