Як вибрати задачу Почніть із базових задач, потім переходьте до університетських і поглиблених. У картках з оцінкою зазначено необхідні знання. Позначка «Обговорення» означає відкрите запитання для аргументованої відповіді.
Як розуміти рівні підготовки .
Знайдено задач: 84 із 84
Позначки про розв’язані задачі зберігаються лише в цьому браузері.
Университетский уровень
Необхідні знання: Рівняння скалярного поля, потенціальна енергія та параметр Габбла.
Які умови має задовольняти скалярне поле, щоб забезпечити розширення Всесвіту, близьке до експоненційного?
Университетский уровень
Необхідні знання: Кривина FLRW, параметр густини та прискорене розширення.
Показати, що в процесі інфляції член із кривиною в рівнянні Фрідмана стає неістотним. Навіть якщо ця умова не виконувалася в початковий момент, інфляція швидко реалізує її.
Университетский уровень
Необхідні знання: Рівняння Кляйна — Ґордона, Фрідман і наближення повільного скочування.
Отримати еволюційні рівняння для скалярного поля у Всесвіті, що розширюється, в інфляційному режимі повільного скочування.
Углублённый уровень
Необхідні знання: Квадратичний потенціал, повільне скочування та інтегрування параметра Габбла.
Знайти залежність масштабного фактора від часу в режимі повільного скочування для випадку $V(\varphi ) = \frac{{m^2}}{2}\varphi ^2$
Углублённый уровень
Необхідні знання: Повільне скочування, правило ланцюга та інтеграл числа e-кратних розширень.
Знайти залежність масштабного фактора від скалярного поля в режимі повільного скочування.
Знайти горизонт частинок у режимі інфляції, припускаючи $H \approx const$.
Углублённый уровень
Необхідні знання: Потенціальні параметри повільного скочування та зведена планківська маса.
Показати, що умови реалізації інфляційного режиму повільного скочування можна подати у формі:
$$
\varepsilon (\varphi ) \equiv \frac{{M^* _{Pl}{}^2 }}{2}\left( {\frac{{V'}}{V}} \right)^2 \ll 1;~\left| {\eta \left( \varphi \right)} \right| \equiv \left| {M^* _{Pl}{}^2 \frac{{V''}}{V}} \right| \ll 1;M_{Pl}^* \equiv \left( {8\pi G} \right)^{ - 1/2}
$$
Показати, що отримана в попередній задачі умова реалізації інфляційного режиму повільного скочування $\varepsilon \ll 1$ є достатньою умовою інфляції.
Углублённый уровень
Необхідні знання: Степеневі потенціали, похідні та параметри повільного скочування.
Знайти умову повільного скочування для степеневих потенціалів.
Показати, що в околі точки перегину інфляційного потенціалу $V(\varphi )$
виконується умова $\varepsilon \ll \eta $
Показати, що параметр інфляції $\varepsilon $ можна виразити через параметр $w$, який входить до рівняння стану скалярного поля.
Показати, що друге рівняння Фрідмана
$$\frac{{\ddot a}}{a} = - \frac{{4\pi G}}{3}(\rho + 3p)$$
можна подати у формі
$$\frac{{\ddot a}}{a} = H^2 (1 - \varepsilon ).$$
Углублённый уровень
Необхідні знання: Параметри Габбла й потенціалу, повільне скочування та диференціювання.
Показати, що в режимі повільного скочування $\varepsilon _H \to \varepsilon $, а $\eta _H \to \eta - \varepsilon $.
Показати, що параметри інфляції $\varepsilon _H ,\eta _H $ можна подати в такій симетричній формі:
$$\varepsilon _H = - \frac{{d\ln H}}{{d\ln a}};\quad n_H = - \frac{{d\ln H'}}{{d\ln a}}.$$
Университетский уровень
Необхідні знання: Параметр εH, прискорене розширення та похідна Габбла.
Довести, що означення інфляції як режиму, для якого $\ddot a > 0$,
еквівалентне умові $\varepsilon _H < 1$
Показати, що інфляція виникає щоразу, коли значення скалярного поля перевищує планківську масу.
Углублённый уровень
Необхідні знання: Квартичний потенціал, повільне скочування та енергетичні масштаби.
У моделі $V(\varphi ) = \lambda \varphi ^4 \left( {\lambda \ll 1} \right)$
оцінити інтервал значень скалярного поля, що відповідає періоду інфляції.
Показати, що класичний аналіз еволюції Всесвіту застосовний для значення скалярного поля $\varphi > M_{Pl} $, яке допускає початок інфляції.
Университетский уровень
Необхідні знання: Рівняння Фрідмана, кривина та число e-кратних розширень.
Показати, що в період інфляції відносна густина $\Omega $ експоненційно прямує до одиниці.
Оцінити температуру Всесвіту наприкінці інфляції.
← Назад 1 2 3 4 5 Далі →