Необхідні знання: Варіація дії поля, метричний визначник і коваріантна похідна.
Використовуючи дію для вільного скалярного поля, мінімально зв’язаного з гравітацією,
$$S_\varphi = \int {d^4 x\sqrt { - g} \left( {\frac{1}{2}g^{\mu \nu } \partial _\mu \varphi \partial _\nu \varphi } \right)}$$
отримати дію для цього поля в метриці FRW.
Необхідні знання: Дія скалярного поля з потенціалом, метрика FLRW і варіаційне числення.
Виходячи з дії для скалярного поля вигляду
$$S = \int {d^4 x\sqrt { - g} \left[ {{1 \over 2}(\nabla \varphi )^2 - V(\varphi )} \right]}$$
отримати рівняння руху цього поля у випадку метрики FRW.
Необхідні знання: Гравітаційна дія, мінісуперпростір, функція ходу та в'язі.
Побудувати функцію Лагранжа, що описує динаміку Всесвіту, заповненого скалярним полем у потенціалі $V(\varphi).$. Використовуючи цю функцію, отримати рівняння Фрідмана та рівняння Клейна—Гордона.
Необхідні знання: Збереження енергії ідеальної рідини, похідна потенціалу та рівняння поля.
Отримати рівняння руху для однорідного скалярного поля $\varphi (t)$ у потенціалі $V(\varphi )$, виходячи з рівняння збереження
$$\displaystyle\dot \rho _\varphi + 3\frac{{\dot a}}{a}\left( {\rho _\varphi + p_\varphi } \right) = 0$$
Подати рівняння руху скалярного поля у вигляді
де
$$\pm \frac{V_{,\varphi}}{V} = \sqrt {\frac{3(1 + w)}{\Omega _\varphi(a)}} \left[ 1 + \frac{1}{6}\frac{d\ln \left( x_{\varphi} \right)}{d\ln a} \right],$$
$$ x_{\varphi}=\frac{1+w_{\varphi}}{1-w_{\varphi}},
~w_{\varphi}=\frac{\dot{\varphi}^2+2V(\varphi)}{\dot{\varphi}^2-2V(\varphi)}, $$
у системі одиниць, у якій $8\pi G=1.$
Необхідні знання: Тензор енергії-імпульсу канонічного поля та тиск однорідного середовища.
Обчислити тиск однорідного скалярного поля в потенціалі $V\left( \varphi \right)$, використовуючи отримані вище густину енергії поля та його рівняння руху.
Необхідні знання: Рівняння Фрідмана, збереження енергії поля та похідна параметра Габбла.
Показати, що рівняння Фрідмана для скалярного поля $\varphi (t)$ у потенціалі $V\left( \varphi\right)$ можна подати у вигляді
$$
\begin{array}{l}
\displaystyle H^2 = \frac{{8\pi G}}{3}\left( {\frac{1}{2}\dot \varphi ^2 + V(\varphi )} \right), \\
\displaystyle \dot H = - 4\pi G\dot \varphi ^2.\\
\end{array}
$$
За умови, що скалярне поле $\varphi (t)$ є однозначною функцією часу, перетворити рівняння другого порядку для скалярного поля на систему рівнянь першого порядку.
Необхідні знання: Похідні масштабного фактора та супутній радіус Габбла.
Інфляцію визначають як будь-яку епоху, для якої масштабний фактор Всесвіту зростає прискорено, тобто $\ddot a > 0$. Показати, що ця умова еквівалентна умові зменшення супутнього габблівського радіуса з часом.