Гравитация, физика частиц и их объединение. Часть 2. Энтропия черной дыры.

Черная дыра - один из наиболее интригующих объектов, которые предсказывает общая теория относительности. В классической общей теории относительности черные дыры имеют горизонт, являющийся поверхностью в пространстве- времени, такой, что если кто-то пересекает его, он уже не может вернуться обратно.

Продолжение перевода, уже ставшей классикой статьи Juan Maldacena. Gravity, particle physics and their unification

Первая часть статьи

Популярную версию статьи этого же автора: Черные дыры и структура пространства-времени

Подборка статей по теории струн

Настоятельно рекомендуется также ознакомится со статьей Голографический принцип: не первая встреча - некоторые её части будут нужны в дальнейшем

Эта поверхность, однако, совсем не выглядит особенной для падающего наблюдателя. Черные дыры стали еще более интригующими, когда Хоукинг показал, что из-за квантовых эффектов они испускают тепловое излучение. Так что черная дыра - это скорее абсолютно черное тело, которое испускает тепловое излучение. Для черной дыры в четырех измерениях температура обратно пропорциональна ее радиусу, $$T\sim \frac{1}{r}\sim \frac{1}{G_N M}\sim 10^{-4} \frac{M_{\odot}}{M}K.$$

D-браны

Прежде всего, что такое D-браны? Зачем они понадобились теории струн? Ответ на второй вопрос состоит в том, что они имеют смысл незамкнутых струн, фигурирующих в теории типа I, при этом каждый из двух концов открытой струны должен покоиться на некоторой D-бране. Ответ на первый вопрос: D-брана (или D-g-брана) — это времениподобная структура с $1 + q$ пространственно-временными измерениями ($q$ пространственных измерений и одно временное), представляющая собой устойчивое решение 11-мерной супергравитации. (Воспользовавшись одной из дуальностей М-теории, мы можем рассматривать D-брану как решение уравнений некоторого другого варианта струнной М-теории.) По существу, это есть «брана» некоторой размерности (0,1,2,..., 9), являющаяся БПС-состоянием и потому обладающая некоторым суперсимметричным набором «зарядов» Янга-Миллса; этому состоянию соответствует минимум энергии. D-браны фигурируют во многих современных работах, посвященных теории струн (в частности, энтропии черной дыры). Их часто пытаются трактовать как классические объекты, помещенные в полное пространство-время с $1 + 9$ (или $1 + 10$) измерениями. Буква D происходит от слова «Дирихле» по аналогии с краевой задачей, получившей название задача Дирихле, в которой имеется времениподобная граница, на которой заданы краевые условия (названа в честь выдающегося французского математика Пьера Лежена Дирихле 1805-1859).

Мы видим, что для черных дыр, возникающих в нормальных астрофизических процессах и имеющих массу всегда большую, чем масса Солнца, эта температура слишком мала, чтобы быть обнаруженной, так как она намного ниже, чем температура космического микроволнового фонового излучения. Тот факт, что черные дыры являются тепловыми объектами, очень интересен и поднимает очень важные теоретические проблемы, решение этих проблем - один из вызовов теории квантовой гравитации. Мы привыкли к тому, что когда мы сталкиваемся с тепловым объектом, то можем объяснить его температуру как результат движения его внутренних составных частей. Таким образом, возникает вопрос: что является внутренними составными частями черной дыры, которые объясняют ее температуру? Этот вопрос часто формулируется как проблема объяснения микроскопического происхождения энтропии. Энтропия может быть определена через первый закон термодинамики: $dM = TdS.$ Энтропия черной дыры имеет вид: $$S=\frac{A_H}{4G_N}.$$ Другими словами, энтропия пропорциональна площади горизонта в планковских единицах. Любая теория квантовой гравитации, типа теории струн, должна объяснять эту энтропию. В теории струн трудно вычислить энтропию непосредственно, так как струны описывают маленькие флуктуации вокруг плоского пространства, в то время как черная дыра представляет собой большое отклонение от четырехмерного пространства. Недавно, когда была понята динамика D-бран, стало возможным вычислить эту энтропию для некоторых частных случаев [3]. Рассмотрим компактификацию теории струн к четырем измерениям, которая сохраняет две суперсимметрии.


Рис. 4: Стартуя с экстремальной заряженной черной дыры мы изменяем значение константы взаимодействия, и черная дыра становится слабо взаимодействующим газом D-бран и струн. В суперсимметричных теориях они являются BPS-состояниями и их число не зависит от силы взаимодействия, так что мы можем вычислить энтропию черной дыры, рассчитывая число состояний газа D-бран и струн [3].

Супералгебра

Идеи «супералгебры» можно изложить применительно к величинам, определенным на обычном ространственно-временном многообразии.
Простейшая алгебра такого рода получается, если мы добавим единственный антикоммутирующий элемент $\varepsilon$ к системе вещественных чисел $\mathbb{R}.$ Величина $\varepsilon$ должна антикоммутировать сама с собой: $\varepsilon\varepsilon=-\varepsilon\varepsilon $, откуда следует $\varepsilon^2=0$ Таким образом, каждый элемент алгебры имеет вид $$a+\varepsilon b,$$ где $a$ и $b$ — вещественные числа, коммутирующие с $\varepsilon.$ Сумма и произведение двух таких элементов определяются следующими формулами: $$(a+\varepsilon b)+(c+\varepsilon d)=(a+c)+\varepsilon(b+d),$$ $$(a+\varepsilon b)(c+\varepsilon d)=ac+\varepsilon(ad+bc).$$ Заметим, что, если отбросить члены, содержащие умножение на $\varepsilon,$ мы опять вернемся к правилам обычной алгебры.
Такая алгебра обладает тем свойством, что если взять «обыкновенную» часть а любого элемента (не содержащую генераторов е), то получается знакомая нам алгебра обычных (вещественных или комплексных) чисел. «Суперчасть» алгебры представляет остаток. Она «нильпотентна» в том смысле, что любой из ее элементов, будучи возведенным в достаточно высокую степень, дает нуль. Иногда используется довольно причудливая терминология: «обыкновенную» и «супер»-части именуют соответственно «телом» и «душой».

В такой теории мы могли бы рассматривать заряженные черные дыры. В общем, заряженные черные дыры должны удовлетворять связи на массу, которая выглядит как $M\geq Q,$ чтобы избежать голых сингулярностей, то есть особенностей, которые не прикрыты горизонтом. В теориях с двумя суперсимметриями эта связь совпадает с так называемым BPS-ограничением (смотри здесь). Это ограничение происходит из алгебры суперсимметрий. Заряд $Q$ появляется в правой части уравнений алгебры суперсимметрий, и BPS-ограничение вытекает из требования унитарности представлений. Кроме того, состояния с $M = Q$ лежат в меньшем представлении алгебры суперсимметрий и число состояний в таких представлениях не зависит от константы взаимодействия или других непрерывных параметров теории (точнее выражаясь, число состояний, которые не могут быть объединены в большие представления, типа тех для которых $M > Q$, остается инвариантным). Черные дыры с $M = Q$ также являются особыми и с точки зрения теории гравитации, они называются экстремальными черными дырами и для них температура Хоукинга обращается в ноль. В этих суперсимметричных теориях можно изменить параметры, так чтобы конфигурация черной дыры стала слабо взаимодействующей системой D-бран и струн, энтропию которой можно вычислить довольно легко, смотри Рисунок 4. Ответ, конечно, оказывается тем же самым - площадью горизонта соответствующего решения черной дыры.

Так как, когда мы делаем преобразование, число BPS-состояний не изменяется, это позволяет вывести энтропию черной дыры для этих специальных черных дыр в теориях супергравитации. Энтропия более общих черных дыр, включая почти экстремальные черные дыры ($M>Q$ но $M-Q\ll Q$) может быть вычислена, используя AdS/CFT соответствие, как это будет объяснено ниже. Энтропия общих черных дыр на самом общем струнном фоне существующими методами рассчитана быть не может.

Перевод осуществил В.О. Соловьев.

19 Марта 2011, 2:50    Den    4068    0

Нет комментариев.

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите или зарегистрируйтесь пожалуйста.