Голографический принцип: не первая встреча

Аргументация теории струн, как и практически все расчеты на основе теории струн, использует теорию возмущений. Недавно, однако, были предложены некоторые идеи с целью получения точных результатов. Они основаны на различных примерах так называемой «голографической гипотезы», которая затем привела к голографическому принципу.

Для первого ознакомления с голографическим принципом, полезно ознакомится с рядом более простых статей.

Идея этого «принципа» состоит в том, что при некоторых обстоятельствах состояния (квантовой) струнной теории поля, определенной на некотором пространстве-времени $\cal{M},$ могут быть поставлены в одно-однозначное соответствие с состояниями другой квантовой теории поля, определенной на другом пространстве-времени $\cal{E}$ меньшей размерности! Часто рассматривают  $\cal{E}$ как (времениподобную) границу пространства $\cal{M}$ или хотя бы как   некоторое конформно-гладкое времениподобное подмногообразие пространства $\cal{M}$ (см. рис 1).

Это, однако, не относится к обычному примеру, с которого мы начнем. Голографический принцип в некотором смысле аналогичен голограмме, позволяющей создавать впечатление трехмерного изображения при рассмотрении двумерной поверхности.

Рис. 1. «Голографический принцип» Рис. 1. «Голографический принцип». Пространство-время $\cal{E}$  представляет собой (времениподобную) границу другого пространства-времени $\cal{M}$. Выдвигается гипотеза, что подходящая квантовая теория поля, определенная на $\cal{E}$, может быть эквивалентна струнной квантовой   теории поля на $\cal{M}.$

Наиболее известная форма этого «голографического принципа» берет начало от   работы Хуана Малдасены 1998 года, которую иногда называют гипотезой Малдасены или гипотезой ADS/CFT. Здесь в качестве $\cal{M}$ берется (1+9)-мерное произведение $AdS_5 \times S^5$, где $AdS_5$ — («необернутое») (1+4)-мерное пространство анти-де-Ситтера

 Пространство $S^5$ представляет собой пространственноподобную 5-сферу с радиусом   космологического размера $(-\Lambda)^{1/2},$ где $\Lambda$ есть (отрицательная) космологическая постоянная пространства $AdS_5$. Меньшее пространство $\cal{E}$ должно быть 4-мерной конформной бесконечностью пространства $AdS_5$ см. рис. 2.


Рис. 31.15. Гипотеза Малдасены (гипотеза ADS/CFT). Здесь пространство $\cal{E}$ должно быть 4-мерной конформной   бесконечностью анти-де-ситтеровского   пространства $AdS_5$ , а не 10-мерного пространства $\cal{M}=AdS_5 \times S^5,$ однако теория струн на $\cal{M}$ предполагается эквивалентной суперсимметричной теории Янга - Миллса на $\cal{E}$

 

Заметим, что пространство $\cal{E}$, будучи 4-мерным, в этом случае   определенно не является границей пространства $\cal{M}$,   поскольку $\cal{M}=AdS_5 \times S^5$ является 10-мерным   пространством. Вместо этого «границей» пространства $\cal{E}$ можно считать $\cal{E} \times S^5$.

Гипотеза Малдасены   провозглашает, что теория струн на $AdS_5 \times S^5$ должна быть эквивалентна некоторой суперсимметричной теории Янга-Миллса на $\cal{E}$. (Здесь нет возможности обратиться к «квантово-энергетическим» аргументам, для объяснения огромной разницы между функциональной свободой обычного поля на $\cal{M}$, $\infty^{M\infty^9},$ и обычного поля на $\cal{E}$, $\infty^{E\infty^3}.$)

Размеры бесконечности в физике

В математическом отношении простейшим бесконечномерным гильбертовым пространством является пространство последовательностей комплексных чисел $(z_1,z_2,z_3,\ldots)$ для которых сходится бесконечная сумма $(|z_1|^2,|z_1|^2,|z_3|^2,\ldots$. В случае бесконечномерного гильбертова пространства уместнее всего считать, что его размерность равна $\cal{N}_0.$ (Здесь есть разные тонкости, но о них пока лучше не упоминать.)

Относительно вещественного $n-$ мерного пространства будем говорить, что оно содержит $\infty^n$ точек (это означает, что этот континуум точек образует n-мерную решетку). В случае бесконечномерного пространства мы припишем ему $\infty^{\infty}$ точек. Нас интересуют также пространства разного рода полей, определенных на $\cal{M}.$ Обычно они предполагаются гладкими, но иногда имеют более общий вид (примером могут служить распределения), попадая в область действия теории гиперфункций.

Они могут описываться дифференциальными уравнениями в частных производных, что ограничивает их свободу. Если бы такого ограничения не было, их следовало бы рассматривать как «функции от n переменных» (в случае стандартного пространства-времени $n=4$). В каждой точке поле может иметь $k$ независимых компонент. Тогда можно сказать, что поле имеет $\infty^{k\infty^n}$ степеней свободы.

Обоснование такой записи состоит в том, что поле можно рассматривать (приближенно и локально) как отображение пространства с $\infty^{n}$ точками на пространство с $\infty^{k}$ точками и воспользоваться (формальным) соотношением $$(\infty^k)^{k\infty^n}=\infty^{k\infty^n}$$ Если на поле наложено ограничение в виде дифференциальных уравнений в частных производных, то оно может полностью определяться заданными начальными условиями, то есть некоторыми дополнительными значениями поля, определенными на некотором пространстве $\cal{S}$ меньшей размерности, имеющем, например, $q$ измерений.

Если эти значения можно выбрать свободно (это означает отсутствие ограничений, налагаемых на вид дифференциальных или алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять эти значения на $\cal{S}$) и если эти значения в каждой точке пространства $\cal{S}$ имеют $r$ независимых компонент, то можно сказать, что поле имеет $\infty^{r\infty^q}$ степеней свободы. Во многих случаях найти $r$ и $q$ бывает нелегко, но важно то, что они являются инвариантными величинами, не зависящими от того, как можно выразить поле через другие эквивалентные величины.

Этот факт будет в дальнейшем иметь для нас существенное значение.

Поскольку дополнительные измерения   пространства $\cal{M},$ имея космологический масштаб, никоим образом не «малы», великое множество   дополнительных степеней свободы вследствие зависимости полей от части $S^5$ пространства $\cal{M}$ будет исключать всякую возможность согласия между двумя   теориями поля. То же относится и к обычной квантовой теории поля на $\cal{M}$ и $\cal{E},$ поскольку одночастичные состояния сами описываются просто как «обычные поля».

Голографический принцип   может быть применим к этим пространствам лишь при условии, что обсуждаемая квантовая теория поля далека от «обычной». В случае теории струн на $\cal{M}$ можно понять, что имеются очень сильные условия   согласования, резко уменьшающие функциональную свободу $\infty^{M\infty^9}.$ Однако на первый взгляд это кажется маловероятным. Вспомним, что квантовое состояние одиночной частицы в $(1+n)-$мерном пространстве-времени имеет функциональную   свободу $\infty^{P\infty^n},$ где P— некоторое положительное целое число, описывающее число внутренних или вращательных степеней свободы частицы (примером может служить спин). Квантовое состояние одиночной струны будет обладать гораздо большей функциональной свободой,   поскольку классическая струна имеет бесконечно много степеней свободы. Если число $\infty^{P\infty^n}$ каким-то способом уменьшить, то это должно быть гигантским ограничением, возможно, но мне не известно о каких-либо предлагаемых ограничениях такого рода,   которые в любом случае должны были бы существенно влиять на подсчет струнных состояний.

Остается возможность найти способ значительно увеличить функциональную свободу в суперсимметричных полях Янга-Миллса на $\cal{E}.$ Представляться единственный путь к этому — взять бесконечное число таких полей, перейдя к пределу $N\to \infty$ (N — число генераторов суперсимметрии). Однако в обычном варианте этой гипотезы предполагается $N = 4,$ чтобы можно было воспользоваться «внутренней группой» $SU(6)$), которая действует на   суперсимметричных партнеров, но оставляет неизменными потенциалы Янга - Миллса.   Внутренняя симметрия выбирается так, чтобы согласовать симметрию $SU(6)$ пространства $S^5$, фигурирующего в $AdS_5 \times S^5.$ На мой взгляд, принципиально неверно пытаться   согласовать «симметрию пространства-времени» с внутренней группой такого рода, если только, как в случае первоначальной теории Калуцы - Клейна, симметрия   пространства-времени не задается как точная, благодаря существованию полей Киллинга; это относится и ко всем физическим полям в пространстве-времени.

Пространство Фока

Можно конструировать состояния в виде суперпозиций различного числа частиц и античастиц и даже с неограниченным числом таких частиц. Эти состояния получаются при действии на $|0\rangle$ произвольного элемента алгебры $\cal{A},$ т. е. некоторого выражения, содержащего операторы рождения и уничтожения (в виде многочлена или степенного ряда, в последнем случае необходимо уделять должное внимание проблеме сходимости).

Пространство таких состояний получило название пространства Фока (в честь русского физика В. А. Фока, который одним из первых изучал эти вопросы); его можно рассматривать как прямую сумму гильбертовых пространств с возрастающим числом частиц.

Пространство Фока для простого случая бозонного поля, когда частица является собственной античастицей, можно записать в виде $$\mathbb{C}\oplus\cal{H}\oplus\{\cal{H\odot H}\}\oplus \{\cal{H\odot H\odot H}\}\oplus\ldots,$$ где $\oplus$ означает операцию нахождения прямой суммы, а символ $\odot$ — симметризованное тензорное произведение. Соответствующим образом можно рассмотреть более сложные случаи, когда присутствуют спин, заряд и т.п..

Избыточные степени свободы в $\infty^{M\infty^9}$ появляются по той причине, что часть $S^5$ пространства $\cal{M}$ не обладает симметрией, которую должны иметь поля на $\cal{M}.$ Мне представляется, что роль такого несоответствия функциональной свободы оценена недостаточно. «Размеры» пространств Фока будут   совершенно различными всякий раз, когда существенно различается функциональная свобода классических полей. Следует отметить, что условие положительной частоты, наложенное на одночастичные состояния в квантовой теории поля, не меняет свободу $\infty^{M\infty^N}$ для   классических полей.

Тот тип «черной дыры», с которым в основном имеет дело теория струн, есть тот же случай Рейсснера-Нордстрёма, но с суперсимметричным семейством полей Янга-Миллса, заменяющим максвелловское поле. Полное решение представляет собой частный пример так называемого состояния Богомольного-Прасада-Соммерфилда (БПС), в котором решение определяется требованиями суперсимметрии, стационарности и минимума энергии. Хотя подобные предметы представляют несомненный интерес для людей, занимающихся теорией струн и суперсимметрией, пока не ясно, имеют ли они отношение к реальному физическому миру.

Оно просто компенсирует тот факт, что эти классические поля нуждаются в комплексификации при переходе к описанию на основе квантовой теории поля. Почему гипотеза ADS/CFT воспринимается столь серьезно? Ее поддерживает   соответствие между состояниями БПС, введенными Малдасеной и рядом других авторов.

Это можно понять как соответствие между группами симметрии $SO(2,4)\times SO(6)$ в различных теориях поля, однако имеются и другие «совпадения», требующие объяснения. Надежды,   возлагаемые на гипотезу $ADS/CFT,$ связаны с тем, что она, как предполагается, может позволить теории струн не прибегать к обычным методам теории возмущений со всеми связанными с ними ограничениями.

Вычисления с использованием пространства $\cal{E}$ упрощаются благодаря тому, что это пространство является конформно-плоским (его иногда называют «плоским», хотя ему не приписывается какая-либо реальная метрика, а лишь конформная метрика с   сигнатурой $+---$). Это универсальное накрывающее пространство  «компактифицированного пространства Минковского», оно обладает топологией $S\times \mathbb{E}^1.$

Каков точный смысл конформной группы? Строго говоря, эта группа действует не на пространство Минковского $\mathbb{M},$ а на некоторое его расширение, известное под названием компактифицированного пространства Минковского $\mathbb{M}^\star.$ Пространство $\mathbb{M}^\star$ представляет собой замечательно симметричное замкнутое многообразие, которое обладает геометрией, во многих отношениях более изящной, нежели само пространство Минковского.
Мы не должны, однако, рассматривать его как «реальное пространство-время» — оно вводится в целях математического удобства. Это полезное вспомогательное средство для понимания твисторной геометрии и ее связи с геометрией физического пространства-времени.
Хорошей наглядной иллюстрацией может служить сфера Римана и ее связь с комплексной плоскостью. Мы помним, что сфера Римана получается из комплексной плоскости путем добавления «бесконечного элемента» — точки, обозначаемой как $\infty$ при этом мы получаем геометрическую структуру, обладающую более высокой симметрией, чем исходная плоскость. Аналогично «компактифицированное пространство Минковского» $\mathbb{M}^\star$ получается из обычного пространства Минковского $\mathbb{M}$ в результате добавления некоторого «бесконечного элемента», которым в данном случае оказывается полный световой конус на бесконечности. Возникающее при этом пространство обладает более высокой симметрией, нежели само пространство Минковского.

Метрическое пространство $S\times \mathbb{E}^1$ иногда называют «цилиндром Эйнштейна» или «Вселенной Эйнштейна», поскольку Эйнштейн склонялся к этой   космологической модели в период 1917-1929 гг., когда он ввел космологическую постоянную в свое уравнение поля. Гипотеза $ADS/CFT$ возникла как другой способ взглянуть на «вывод» формулы Бекенштейна-Хокинга для энтропии черной дыры в теории струн. Для этого черную дыру представляют как «тепловое состояние» на $\cal{E}.$ Это относится лишь к черным дырам космологического размера и в лучшем случае представляет собой «гипотезу», основанную на замечательном согласии между «вычислениями энтропии», сделанными различными способами, а вовсе не действительный вывод формулы Бекенстайна-Хокинга.

16 Марта 2011, 13:55    Den    5190    0

Нет комментариев.

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите или зарегистрируйтесь пожалуйста.