Нужные знания: Световой год, скорость света, оценка времени распространения света.
На Земле наблюдалась вспышка сверхновой в туманности Андромеда. Оцените, сколько времени прошло с момента взрыва звезды.
Задача 2
Базовый уровень
Нужные знания: Равномерное движение, скорость света, решение линейного уравнения.
В момент наблюдения галактика находится на расстоянии \(R\) от нас и удаляется со скоростью \(V\). На каком расстоянии она находилась в момент излучения наблюдаемого света?
Задача 3
Университетский уровень
Нужные знания: Концентрация частиц, сечение столкновений, длина свободного пробега.
Оценить длину свободного пробега атома водорода в межгалактическом пространстве.
Задача 4
Университетский уровень
Нужные знания: Специальная теория относительности, связь энергии и скорости, малые разности.
Участники космической гонки - протоны, ускоренные на LHC \((E_p=7\, TeV)\) и фотоны; дистанция Земля - Солнце. На сколько отстанут протоны по времени и по расстоянию?
Задача 5
Университетский уровень
Нужные знания: Модель атома водорода, постоянная тонкой структуры, комптоновская длина.
Выразить боровский радиус через постоянную тонкой структуры и комптоновскую длину волны.
Задача 6
Чему равна максимальная сумма углов на сфере?
Задача 7
Университетский уровень
Нужные знания: Тригонометрия и геометрия сферы.
На поверхности двумерной сферы радиуса $R$ проведена окружность, имеющая радиус $r$, если измерять его по поверхности сферы. Найдите длину этой окружности как функцию $r$.
Задача 8
Университетский уровень
Нужные знания: Площадь сферического сегмента, поверхностная плотность.
Предположим, что галактики распределены равномерно на поверхности двумерной сферы радиуса R с плотностью \(n\) галактик на единицу площади. Определить полное число галактик N внутри радиуса r. Если геометрия не плоская, а сферическая, то больше или меньше галактик видны в пределах данного радиуса?
Задача 9
Углублённый уровень
Нужные знания: Геометрия пространств постоянной кривизны, угловой размер.
Объект имеет размер A, а расстояние до него B. Определить угол, под которым виден объект в плоском пространстве и в пространствах постоянной отрицательной и положительной кривизны.
Задача 10
Базовый уровень
Нужные знания: Поток энергии, площадь сферы, астрономическая единица.
Каждую секунду на квадратный метр Земли падает около $1400 Дж. солнечной энергии. Оценить абсолютную светимость Солнца.
Задача 11
Базовый уровень
Нужные знания: Светимость, энергия излучения, соотношение E = mc².
Считая, что продолжительность стадии постоянной светимости Солнца порядка \(10^{10}\) лет, найти, какую долю своей массы Солнце потеряло за счёт излучения.
Задача 12
Базовый уровень
Нужные знания: Видимая яркость, светимость, зависимость яркости от расстояния.
Почему связь между светимостью цефеид (класс переменных звёзд с довольно точной зависимостью период-светимость) и периодом изменения их блеска была открыта по наблюдению звёзд в Большом Магеллановом Облаке (спутник нашей Галактики), а не в нашей Галактике?
Задача 13
Университетский уровень
Нужные знания: Звёздные величины, модуль расстояния, объём шара, частота событий.
Сверхновая в максимуме блеска достигает абсолютной звёздной величины M=-21. Как часто будут регистрироваться вспышки сверхновых, если наблюдение ведётся по всему небу до предельной величины m=14? Считать, что в типичной галактике сверхновая вспыхивает в среднем один раз за 100 лет, а галактики распределены в пространстве с плотностью одна галактика на \( 10 \mathit{Mpc}^{3}\) .
Задача 14
Из фундаментальных констант \(c, G, \hbar\) построить величины размерности длины, времени, массы, температуры, плотности и найти их значения (соответствующие величины называются планковскими единицами).
Задача 15
Базовый уровень
Нужные знания: Путь света до зеркала и обратно, планковское время, порядки величин.
Во сколько раз время запаздывания восприятия объекта, находящегося на расстоянии 1 метр от плоского зеркала, больше планковского времени?
Задача 16
Показать, что для частицы планковской массы комптоновская длина волны совпадает с гравитационным радиусом \(r_g = {2Gm} / {c^2 }\)(гравитационный радиус в общей теории относительности (ОТО) совпадает с радиусом сферически-симметричного тела, для которого в классической механике вторая космическая скорость на поверхности была бы равна скорости света).
Задача 17
Каков гравитационный радиус Вселенной? Сравните его с размером наблюдаемой Вселенной.
Задача 18
Университетский уровень
Нужные знания: Естественные единицы, перевод единиц массы, длины и времени.
Показать, что в единицах \(c=\hbar=1\)\(1\,GeV \approx 1.8\cdot 10^{-24}\,gr;\,1\, GeV^{-1}\approx 0.7\cdot 10^{-24}\, s \approx 2\cdot 10^{-14}\,cm.\)
Задача 19
Университетский уровень
Нужные знания: Планковская масса, эквивалентность массы и энергии, постоянная Больцмана.
Выразить \(M_{pl}\) в \(K, cm^{-1}, s^{-1}.\)
Задача 20
Углублённый уровень
Нужные знания: Анализ размерностей электромагнитного взаимодействия в D измерениях.
Показать, что постоянная тонкой структуры безразмерна только в пространстве размерности D=3.
