Возможно, ли распространить голографический подход, уходящий корнями в термодинамику чёрных дыр на описание динамики Вселенной? Начнем с простых оценок. Сравним близость к чёрной дыре Земли, Солнца и видимой Вселенной. Рассмотрим гравитационный (шварцшильдовский) $r_g$ и физический $R$ радиусы Земли и Солнца. Для Солнца $R\simeq 7\times 10^{5}$ км, а $r_g\simeq 3$ км. Для Земли $R\simeq 6400$ км, а $r_g\simeq 0.884 $ cм.

Эти объекты совсем не похожи на чёрную дыру. Выполним аналогичную оценку для видимой части Вселенной, приняв за ее размер хаббловский радиус $R_{H}=cH^{-1}$ $$r_{g,univ}=\frac{2GM_{univ}}{c^2};$$ $$R_{H}=cH^{-1};$$ $$M_{univ}=\frac{4\pi }{3}R_H^{3}\rho;$$ $$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho \to \rho =\frac{3H^2}{8\pi G};$$ $$M_{univ}=\frac{4\pi }{3}R_H^3\frac{3H^2}{8\pi G}=\frac{c^2R_H}{2G};$$ $$R_H=\frac{2GM_{univ}}{c^2}=r_{g,univ}$$ Впечатляющее 'совпадение', позволяющее использовать при голографическом описании

Вселенной аргументацию термодинамики чёрных дыр. Как мы видели выше, ключевым местом голографического подхода является исключение гравитации из числа фундаментальных сил и придание ей статуса энтропийной силы.

Используя данную аналогию можно приписать поверхности хаббловского радиуса температуру Хокинга. Оценим температуру хаббловской сферы, рассматривая ее как голографический экран. Для требуемой оценки воспользуемся 'близостью' видимой Вселенной к чёрной дыре. Преобразуем эту формулу, используя первое уравнение Фридмана $$T_{BH}=\frac{\hbar c^3}{8\pi Gk_{_B}M}=\frac{1}{3}\frac{\hbar c^3}{k_{_B}}\frac{\rho }{MH^2}=\frac 13\frac{\hbar c^3}{k_{_B}}\frac 1 {VH^2}$$ Подставляя $V=\frac{4\pi }{3}R_H^3$ и учитывая, что хаббловский радиус равен $R_H=cH^{-1},$ получим для температуры хаббловской сферы $$T_{H}=\frac{\hbar H}{4\pi k_{_B}}\sim 10^{-30} K$$ Как будет показано ниже, не составляет труда получить уравнения Фридмана, описывающие динамику Вселенной из голографического принципа, не привлекая представлений о гравитации и уравнений Эйнштейна. Будет показано что они получаются аналогично уравнениям Ньютона, при условии если в качестве голографического экрана принимать хаббловский радиус.

Предложение не рассматривать гравитацию как фундаментальную силу природы имеет длинную историю. Первая идея была предложена Сахаровым в 1967 году. Эта идея получила дальнейшее развитие после открытия в 70-е годы термодинамических свойств чёрных дыр.

Геометрические особенности термодинамических величин чёрных дыр привели Якобсона к интересному вопросу: можно ли вывести уравнения Эйнштейна для гравитационного поля из термодинамики. Оказывается это действительно возможно, и ниже мы продемонстрируем, как эта возможность может быть реализована с помощью современной 'голографической техники'.

Этот обзор является продолжением

• О принципах в физике
• Голографическая принцип - первая встреча
• Термодинамика чёрных дыр
• Голографическая динамика - шагами Э. Верлинде

Уравнения Фридмана

Рассмотрим компактную пространственную область $V$ с компактной границей $\partial V,$ представляющую сферу с физическим радиусом $R=ar.$ Граница действует как голографический экран.

Предполагается, что число битов на экране $$N=\frac{Ac^3}{G\hbar },$$ и выполняется закон равнораспределения $$E=Mc^2=\frac{1}{2}Nk_{_B}T.$$ В этом соотношении под массой $M$ понимается полная масса в области, ограниченной сферическим голографическим экраном. Как обычно, будем предполагать, что материя, заполняющая эту область, является идеальной жидкостью с тензором энергии-импульса $$T_{\mu \nu }=\left( p+\rho \right)u_{\mu }u_{\nu }+pg_{\mu \nu }.$$ Полная масса в пространственной области $V$ $$M=\int_{V}{dV}\left(T_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }\right).$$ Здесь $T_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }$ -- плотность энергии, измеряемая сопутствующим наблюдателем. С другой стороны, ускорение для радиального сопутствующего наблюдателя в точке $r,$ в месте расположения экрана, $$a_r=\frac{d^2R}{dt^2}=-\ddot{a}r$$ Знак минус возникает потому, что мы рассматриваем ускорение, вызванное материей в области, ограниченной экраном. Согласно Унру формуле $T_{U}$ этому ускорению соответствует температура $$T=\frac{1}{2\pi k_{_B}c}\hbar a_{r}$$ Подставляя все определённые выше величины в закон равнораспределения, получим $$\ddot{a}=-\frac{4\pi G}{3}\rho a.$$ Это не что иное, как ньютоновский аналог второго уравнения Фридмана. Чтобы получить точное уравнение Фридмана, следующее из ОТО, нам надо использовать так называемую активную гравитационную массу $$M^*=2\int_{V}dV\left(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}Tg_{\mu \nu }\right)u^{\mu }u^{\nu }.$$ Заменяя $M\to M^*$, получим $$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left( \rho +3p \right)$$ Умножая обе части последнего равенства на $\dot{a}a$ и используя уравнение сохранения $$\dot{\rho }+3H\left( \rho +p \right)=0$$ получим первое уравнение Фридмана $$H^2+\frac{k}{a^2}=\frac{8\pi G}{3}\rho$$ Здесь $k$ -- постоянная интегрирования, которая может быть интерпретирована как пространственная кривизна в $V.$ Ещё один способ, получить уравнения Фридмана не требует привлечения понятия об активной гравитационной массы, в каком-то смысле является 'более' голографическим. Как было показано выше при голографическом описании Вселенной можно использовать аргументацию термодинамики чёрных дыр. Пусть голографический экран совпадает с хаббловской сферой радиуса $R=H^{-1}.$ Экран имеет площадь $A=4\pi R^2$ и несёт (максимальную) информацию $N=4\pi R^2/L_{Pl}^{2}$бит.

Изменение количества информации $dN$ за время $dt,$ связанное с расширением Вселенной $R\to R+dR$ $$dN=\frac{dA}{L_{Pl}^2}=\frac{8\pi R}{L_{Pl}^2}dR.$$ Здесь $c=k_{_B}=1.$ Изменение хаббловского радиуса приведёт к изменению температуры Хокинга $\left( T=\frac{\hbar }{2\pi R} \right)$ $$dT=-\frac{\hbar }{2\pi R^2}dR.$$ Из закона равнораспределения $N\leq \frac{Ac^3}{G\hbar }$ следует, что $$ dE=\frac{1}{2}NdT+\frac{1}{2}TdN=\frac{\hbar }{L_{Pl}^2}dR=\frac{dR}{G}$$ $\left( L_{Pl}^2=\frac{\hbar G}{c^3} \right).$ Величину $dR$ можно представить в виде $$dR=-H\dot{H}R^3dt.$$ С другой стороны, поток энергии через хаббловскую сферу может быть вычислен, если известен тензор энергии-импульса субстанции, заполняющей Вселенную. Считая эту субстанцию идеальной жидкостью и используя $T_{\mu \nu }=(\rho +p)u_{\mu }u_{\nu }+pg_{\mu \nu },$ получим $$dE=A\left( \rho +p \right)dt$$ Тогда, найдём $$\dot{H}=-4\pi G\left( \rho +p \right).$$

Легко показать, что система уравнений $$\dot{H}=-4\pi G\left( \rho +p \right);$$ $$\dot{\rho }+3H\left( \rho +p \right)=0,$$ эквивалентна стандартной системе уравнений Фридмана $$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$ $$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +3p).$$ Для получения уравнений Фридмана, в пространственно не плоской Вселенной, необходимо в качестве голографического экрана выбрать хаббловской радиус для кривого пространства, описываемого метрикой $FRW.$ $$ds^2=dt^2-a^2(t)\left[ \frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2 \right) \right]$$

Для этого рассмотрим фотон, двигающийся в радиальном направлении $\left( d\theta =d\varphi =0 \right)$ и вспомним что ему соответствует изотропный интервал $ds^2=0.$ Заметим также что истинное, физическое расстояние $R,$ связано с координатным, простым соотношением $\vec{R}=a\vec{r}$. Условие $ds^2=0$ приводит к уравнению $$h_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }=0,$$ где введено обозначение $$ h_{\alpha \beta }=diag\left( 1,-\frac{a^2}{1-kr^2} \right) $$ Откуда, нетрудно получить $$ 1-\frac{a^2r^2\dot{a}^{2}}{1-kr^2}=0 $$ Тогда $$ 1=a^2r^2\left( H^2+\frac{k}{a^2} \right)=R^2\left( H^2+\frac{k}{a^2} \right) $$ Следовательно, физическое расстояние до видимого горизонта будет иметь вид $$R_H=\frac{1}{\sqrt{H^2+\frac{k}{a^2}}}$$ Повторяя все выкладки, аналогичные проделанным выше и подставляя в качестве $R_H$ выражение для $R_H$ в неплоском пространстве, получим $$\dot{H}=-4\pi G(\rho +p)+\frac{k}{a^2}$$ Что вместе с уравнением сохранения, эквивалентно системе $$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k}{a^2};$$ $$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +3p)$$

В конце данного раздела хочется сделать несколько уточняющих замечаний. Во-первых, у не искушённого читателя может возникнуть чувство, что при написании метрики $FRW$ была использована ОТО и следовательно понятие гравитации. Хочется подчеркнуть что это не так: метрика это чисто геометрическое понятие, которое впервые в физике стало использоваться в контексте ОТО. Вся теория относительности находится исключительно в конкретном виде функции $a(t)$, которую можно найти решая уравнения Фридмана.

Нет комментариев.

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите или зарегистрируйтесь пожалуйста.