Термодинамика чёрных дыр

Открытие Хокингом теплового излучения чёрной дыры было для большинства специалистов полной неожиданностью, хотя к моменту этого открытия уже существовало довольно много соображений, свидетельствующих о тесном переплетении физики чёрных дыр и термодинамики.

Уилер, по-видимому, первым обратил внимание на то, что в рамках классической теории тяготения уже сам факт существования чёрной дыры противоречит закону возрастания энтропии. Действительно, представим себе, что чёрная дыра поглощает горячее тело, обладающее некоторым запасом энтропии. Тогда внешний наблюдатель видит уменьшение полной энтропии в части мира, доступной его наблюдению. Чисто формально этого уменьшения энтропии можно было бы избежать, если просто приписать энтропию, связанную с упавшим телом, внутренности чёрной дыры. Однако этот выход явно неудовлетворителен, поскольку любые попытки внешнего наблюдателя определить значение энтропии, поглощённой чёрной дырой вместе с горячим телом, обречены на неудачу. Кроме того, состояние падающего на чёрную дыру вещества могло задаваться множеством микроскопических параметров, после падения, согласно теореме об отсутствии волос на чёрной дыре, должно описываться только тремя: массой, моментом импульса и электрическим зарядом. По прошествии краткого времени после этого процесса чёрная дыра становится стационарной и вследствие эффекта выпадения волос полностью забывает такие детали, как строение упавшего тела и его энтропию.

Этот обзор является продолжением

Если мы не хотим отказаться от закона возрастания энтропии только по той причине, что во Вселенной где-то образовалась чёрная дыры, следует сделать вывод, что всякая чёрная дыра сама по себе обладает определённым запасом энтропии и что горячее тело при падении передаёт ей не только массу, угловой момент и заряд, но и свою энтропию $S,$ так что энтропия чёрной дыры возрастает на величину, не меньшую $S.$

Бекенштейн обратил внимание на то, что свойства одной из характеристик чёрной дыры $A$ - площади ее поверхности -- напоминают свойства энтропии. Действительно, согласно теореме Хокинга при любых классических процессах площадь $A$ не убывает, т.е. ведёт себя так же, как энтропия. Так, например, в работах Д. Бекенштейна показано что энтропия (стационарной) чёрной дыры пропорциональна площади поверхности ее горизонта, выраженная в единицах планковской площади $l_{Pl}^2=G\hbar /c^3:$

$$ S_{BH}=k_{_B}\frac{A_{BH}}{4l_{Pl}^2}, $$ где $k_{_B}$ -- постоянная Больцмана. Д. Бекенштейн вывел формулу для энтропии чёрной дыры несколькими годами раньше из физических соображений, основанных на применении Второго закона термодинамики к ситуации, когда квантовые частицы медленно погружаются в чёрную дыру, однако он не получил ни коэффициента $1/4$ фигурирующего в этом выражении, ни температуры чёрной дыры. Хокинг впервые получил формулу для температуры и ввёл коэффициент $1/4$ в выражение для энтропии, применив методы квантовой теории к искривлённому пространственно-временному фону.

В данном случае этот фон описывает чёрную дыру, которая образовалась в отдалённом прошлом в результате коллапса некоторого вещества (например, звезды). Бекенштейн привёл ряд интересных приложений идеи о том, что энтропия чёрной дыры пропорциональна площади ее поверхности. Мы обсудим здесь одно из них, которое возникает при сравнении современной энтропии Солнца с энтропией, которую оно имело, если бы сколлапсировало в чёрную дыру. Коллапс связан с огромной диссипацией, причём возрастание энтропии характеризуется фактором $\sim 10^{-18}.$ Однако энтропия горячего макроскопического тела, подобного звезде, примерно пропорциональна числу содержащихся в нем нуклонов и, следовательно, его массе. В отличие от этого, энтропия чёрной дыры пропорциональна площади поверхности и, следовательно, квадрату ее массы. Следовательно, отношение энтропии чёрной дыры к макроскопической энтропии пропорционально массе тела. Бекенштейн задал следующий интересный вопрос: "Для какой массы это отношение равно единице?" Другими словами, для какой массы не происходит диссипации, связанной с образованием чёрной дыры из нагретого макроскопического тела? Из нашего рассмотрения следует, что эта масса имеет порядок $\sim 10^{18}\: M_{\odot}$ , или $\sim 10^{15}$ грамм.

Следующим очень важным открытием в физике чёрных дыр стало открытие потери массы - испарения чёрных дыр, которое является чисто квантовым процессом. Дело в том, что понятие о чёрной дыре как объекте, который ничего не излучает, а может лишь поглощать материю, справедливо до тех пор, пока не учитываются квантовые эффекты. В квантовой же механике, благодаря туннелированию, появляется возможность преодолевать потенциальные барьеры, непреодолимые для неквантовой системы. В случае чёрной дыры ситуация выглядит следующим образом. В квантовой теории поля физический вакуум наполнен постоянно рождающимися и исчезающими флуктуациями различных полей (можно сказать и ''виртуальными частицами''). В поле внешних сил динамика этих флуктуаций меняется, и если силы достаточно велики, прямо из вакуума могут рождаться пары частица-античастица. Такие процессы происходят и вблизи (но всё же снаружи) горизонта событий чёрной дыры. При этом возможен случай, когда полная энергия античастицы оказывается отрицательной, а полная энергия частицы - положительной. Падая в чёрную дыру, античастица уменьшает её полную энергию покоя, а значит и массу, в то время как частица оказывается способной улететь в бесконечность.

Для удалённого наблюдателя это выглядит как излучение чёрной дыры. То, что чёрная дыра излучает как нагретое до температуры $$T_{BH}=\frac{\hbar c^3}{8\pi Gk_{_B}M}$$ (где $M$ -- масса чёрной дыры) чёрное тело, оказалось в полном соответствии с неожиданной на первый взгляд аналогией между физикой чёрных дыр и термодинамикой. В полном соответствии с тем, что закон возрастания энтропии запрещает полное превращение тепловой энергии, заключённой в нагретом теле, в полезную работу, закон возрастания площади поверхности чёрной дыры запрещает построение вечного двигателя второго рода, который превращал бы энергию невращающейся чёрной дыры в полезную работу без какого-либо изменения состояния окружающих тел. В этой аналогии роль энтропии играет величина, пропорциональная площади поверхности чёрной дыры. Развивая эту аналогию, удалось установить, что в физике чёрных дыр имеют место все четыре закона, соответствующие началам термодинамики.

С принципиальной точки зрения важно, что можно проследить не только формальное сходство основных феноменологических законов, но также и более глубокую связь между физикой чёрных дыр и термодинамикой, которая обнаруживается при информационном подходе. Как в термодинамике, так и в физике чёрных дыр после перехода в равновесное состояние система полностью забывает о своём прошлом. Эффектом, аналогичным испарению чёрной дыры является эффект Унру. Согласно Унру, детектор, движущийся равномерно ускоренно в плоском пространстве-времени, регистрирует частицы даже в вакууме. Точнее, эффект Унру означает, что риндлеровский (равномерно ускоренный) наблюдатель находится в термостате с температурой Фуллинга-Унру $$T_{U}=\frac{\hbar a}{2\pi k_{_B}c},$$ где $a$ -- постоянное ускорение, измеренное в сопутствующей системе отсчёта. Другими словами, ускоряющийся наблюдатель увидит фон излучения вокруг себя, даже если неподвижный наблюдатель не видит ничего. Основное квантовое состояние (вакуум) в неподвижной системе кажется состоянием с ненулевой температурой $T_{U}$ в ускоряющейся системе отсчёта. Таким образом Унру показал, что понятие о вакууме зависит от того, как наблюдатель движется сквозь пространство-время. Если вокруг неподвижного наблюдателя находится только вакуум, то ускоряющийся наблюдатель увидит вокруг себя много частиц, находящихся в термодинамическом равновесии, то есть тёплый газ. Эффект Унру произвёл переворот в понимании слова вакуум, так как теперь можно говорить о вакууме только относительно какого-то объекта. Эффект Унру позволяет дать грубое объяснение излучения Хокинга и вследствие принципа эквивалентности может считаться аналогом оного. При равноускоренном движении позади ускоряющегося тела также возникает горизонт событий. Покажем что температура Унру $T_{U}$ совпадает с температурой излучения Хокинга $T_{BH}$ при замене $a\to g,$ где $g$ - ускорение свободного падения на горизонте событий чёрной дыры массы $M.$ Подставляя в формулу для температуры излучения Хокинга $GM=gr_g^2$ и учитывая определение гравитационного радиуса $r_g=\frac{2MG}{c^2} = \frac{c^2}{2g},$ получим $$T_{BH}=\frac{\hbar g}{2\pi k_{_B}c}=T_{U}(a=g)$$.

Связь между энтропией и информацией хорошо известна. Энтропия системы является мерой неопределённости или отсутствия информации о фактической внутренней конфигурации системы. Предположим что все, что известно о внутреннем состоянии системы это то, что позволяет нам найти произвольное состояние $n$ системы с вероятностью $p_{n}.$ Тогда энтропия этой системы задаётся формулой Шеннона $$S=-\sum\limits_{n} p_n\ln {p_n}.$$ Эта формула однозначно определяется теми требованиями, которые накладываются на $S,$ для того, чтобы $S$ имела свойства, которыми должна обладать величина, описывающая меру неопределённости в системе.

Всякий раз, когда мы узнаем что-то новое о системе мы, по сути, накладываем некоторые ограничения на $p_n.$ Так например, полученная нами информация, может заключаться в том, что некоторые из $p_n$ равны нулю. Такие ограничения на $p_n$ всегда приводят к уменьшению энтропии. Это свойство формально выражается соотношением $$\Delta I=-\Delta S,$$ где $\Delta I$ -- эта новая информация о системе, соответствующая уменьшению неопределённости $\Delta S$ о состоянии системы. Важно, что при выводе не использовался никакой конкретный механизм потери информации, что побуждает считать это соотношение универсальным. Самым распространённым примером иллюстрирующем это соотношение является изотермически сжимающийся в сосуде газ. Очевидно, что его энтропия уменьшается. С другой стороны, информация о внутреннем состоянии газа возрастает: после сжатия газа молекулы более локализованы, так что их координаты известны с большей точностью, чем до сжатия. Для примера найдём энтропию квантовой системы состоящей из $N$ спинов величины $1/2.$ Энтропия квантовой системы равна логарифму числа степеней свободы $N,$ т.е. логарифму размерности гильбертова пространства $\dim H$ $$ S=\ln N=\ln (\dim H).$$

Для системы $N$ спинов величины $1/2$ $\dim H= 2^{N}$ и $$ S=N\ln 2. $$

Продолжение следует ....

25 Декабря 2010, 3:15    Den    5247    0

Нет комментариев.

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите или зарегистрируйтесь пожалуйста.