Чорна діра — один із найінтригуючіших об'єктів, які передбачає загальна теорія відносності. У класичній загальній теорії відносності чорні діри мають горизонт, що є такою поверхнею в просторі-часі, що якщо хтось його перетинає, то вже не може повернутися назад.
Продовження перекладу статті, яка вже стала класичною:
Перша частина статтіПопулярну версію статті цього ж автора: Чорні діри та структура простору-часу
Наполегливо рекомендується також ознайомитися зі статтею Голографічний принцип: не перша зустріч — деякі її частини будуть потрібні надалі
Ця поверхня, однак, зовсім не здається особливою спостерігачеві, який падає. Чорні діри стали ще інтригуючішими, коли Гокінґ показав, що через квантові ефекти вони випромінюють теплове випромінювання. Тож чорна діра — це радше абсолютно чорне тіло, яке випромінює теплове випромінювання. Для чорної діри в чотирьох вимірах температура обернено пропорційна її радіусу, $$T\sim \frac{1}{r}\sim \frac{1}{G_N M}\sim 10^{-4} \frac{M_{\odot}}{M}K.$$
D-брани
Передусім, що таке D-брани? Навіщо вони знадобилися теорії струн? Відповідь на друге запитання полягає в тому, що вони надають змісту незамкненим струнам, які фігурують у теорії типу I, причому кожен із двох кінців відкритої струни має перебувати на певній D-брані. Відповідь на перше запитання: D-брана (або D-g-брана) — це часоподібна структура з $1 + q$ просторово-часовими вимірами ($q$ просторових вимірів і один часовий), що є стійким розв’язком 11-вимірної супергравітації. (Скориставшись однією з дуальностей M-теорії, ми можемо розглядати D-брану як розв’язок рівнянь деякого іншого варіанта струнної M-теорії.) По суті, це «брана» певної розмірності (0,1,2,..., 9), яка є БПС-станом і тому має певний суперсиметричний набір «зарядів» Янга — Міллса; цьому стану відповідає мінімум енергії. D-брани фігурують у багатьох сучасних працях, присвячених теорії струн (зокрема, ентропії чорної діри). Їх часто намагаються трактувати як класичні об’єкти, розміщені в повному просторі-часі з $1 + 9$ (або $1 + 10$) вимірами. Літера D походить від слова «Діріхле» за аналогією з крайовою задачею, що дістала назву задачі Діріхле, у якій є часоподібна межа, на якій задано крайові умови (названою на честь видатного французького математика П’єра Лежена Діріхле 1805-1859).
Ми бачимо, що для чорних дір, які виникають у нормальних астрофізичних процесах і мають масу, завжди більшу за масу Сонця, ця температура надто мала, щоб її можна було виявити, оскільки вона набагато нижча за температуру космічного мікрохвильового фонового випромінювання. Той факт, що чорні діри є тепловими об’єктами, дуже цікавий і порушує дуже важливі теоретичні проблеми; розв’язання цих проблем — один із викликів для теорії квантової гравітації. Ми звикли до того, що, коли стикаємося з тепловим об’єктом, можемо пояснити його температуру як результат руху його внутрішніх складових частин. Таким чином, виникає запитання: які внутрішні складові частини чорної діри пояснюють її температуру? Це запитання часто формулюють як проблему пояснення мікроскопічного походження ентропії. Ентропію можна визначити через перший закон термодинаміки: $dM = TdS.$ Ентропія чорної діри має вигляд: $$S=\frac{A_H}{4G_N}.$$ Іншими словами, ентропія пропорційна площі горизонту в планківських одиницях. Будь-яка теорія квантової гравітації, на зразок теорії струн, має пояснювати цю ентропію. У теорії струн важко обчислити ентропію безпосередньо, оскільки струни описують малі флуктуації навколо плоского простору, тоді як чорна діра являє собою велике відхилення від чотиривимірного простору. Нещодавно, коли було з’ясовано динаміку D-бран, стало можливим обчислити цю ентропію для деяких окремих випадків [3]. Розгляньмо компактифікацію теорії струн до чотирьох вимірів, яка зберігає дві суперсиметрії.
Рис. 4: Починаючи з екстремальної зарядженої чорної діри, ми змінюємо значення константи взаємодії, і чорна діра стає слабко взаємодіючим газом D-бран і струн. У суперсиметричних теоріях вони є BPS-станами, і їхня кількість не залежить від сили взаємодії, тому ми можемо обчислити ентропію чорної діри, підраховуючи кількість станів газу D-бран і струн [3].
Супералгебра
Ідеї «супералгебри» можна викласти стосовно величин, визначених на звичайному просторово-часовому многовиді.
Найпростіша алгебра такого роду утворюється, якщо ми додамо єдиний антикомутуючий елемент $\varepsilon$ до системи дійсних чисел $\mathbb{R}.$ Величина $\varepsilon$ має антикомутувати сама із собою: $\varepsilon\varepsilon=-\varepsilon\varepsilon $, звідки випливає $\varepsilon^2=0$ Таким чином, кожен елемент алгебри має вигляд
$$a+\varepsilon b,$$
де $a$ і $b$ — дійсні числа, що комутують з $\varepsilon.$ Сума і добуток двох таких
елементів визначаються такими формулами:
$$(a+\varepsilon b)+(c+\varepsilon d)=(a+c)+\varepsilon(b+d),$$
$$(a+\varepsilon b)(c+\varepsilon d)=ac+\varepsilon(ad+bc).$$
Зауважимо, що, якщо відкинути члени, які містять множення на $\varepsilon,$ ми знову повернемося
до правил звичайної алгебри.
Така алгебра має ту властивість, що, якщо взяти «звичайну» частину а будь-якого елемента (яка не містить генераторів е), то отримаємо знайому нам алгебру звичайних (дійсних або комплексних) чисел. «Суперчастина» алгебри являє собою решту. Вона «нільпотентна» в тому розумінні, що будь-який з її елементів, піднесений до достатньо високого степеня, дає нуль. Іноді використовується досить химерна термінологія: «звичайну» і «супер»-частини називають відповідно «тілом» і «душею».
У такій теорії ми могли б розглядати заряджені чорні діри. Загалом заряджені чорні діри мають задовольняти обмеження на масу, яке має вигляд $M\geq Q,$ щоб уникнути голих сингулярностей, тобто особливостей, які не прикриті горизонтом. У теоріях із двома суперсиметріями це обмеження збігається з так званим BPS-обмеженням (див. тут). Це обмеження походить з алгебри суперсиметрій. Заряд $Q$ з’являється в правій частині рівнянь алгебри суперсиметрій, а BPS-обмеження випливає з вимоги унітарності представлень. Крім того, стани з $M = Q$ належать до меншого представлення алгебри суперсиметрій, і кількість станів у таких представленнях не залежить від константи взаємодії або інших неперервних параметрів теорії (точніше кажучи, кількість станів, які не можуть бути об’єднані в більші представлення, на зразок тих, для яких $M > Q$, залишається інваріантною). Чорні діри з $M = Q$ також є особливими і з погляду теорії гравітації: вони називаються екстремальними чорними дірами, і для них температура Гокінґа обертається на нуль. У цих суперсиметричних теоріях можна змінити параметри так, щоб конфігурація чорної діри стала слабко взаємодіючою системою D-бран і струн, ентропію якої можна обчислити досить легко, див. рисунок 4. Відповідь, звичайно, виявляється тією самою — площею горизонту відповідного розв’язку для чорної діри.
Оскільки під час перетворення кількість BPS-станів не змінюється, це дає змогу вивести ентропію чорної діри для цих спеціальних чорних дір у теоріях супергравітації. Ентропію загальніших чорних дір, включно з майже екстремальними чорними дірами ($M>Q$ але $M-Q\ll Q$), можна обчислити, використовуючи відповідність AdS/CFT, як буде пояснено нижче. Ентропію загальних чорних дір на найзагальнішому струнному тлі наявними методами обчислити неможливо.
Переклад здійснив В.О. Соловйов.
Лише зареєстровані користувачі можуть залишати коментарі. Увійдіть або зареєструйтеся.
Коментарі (0):