Эта заметка представляет собой попытку просто объяснить, почему знаменитое соотношение $E=mc^2$ неправильно выражает суть теории относительности Эйнштейна. Заметка в основном адресована школьным преподавателям, а часть её - тем университетским профессорам, которые позволяют себе говорить, что масса тела растёт с ростом его скорости или импульса, и тем самым вводят в заблуждение школьных преподавателей и их учеников.

Статья Л. Б.Окуня The "Relativistic" Mug

Нравственное здоровье современного общества и его материальное благополучие невозможны без высокого статуса науки в стране. А это, в известной мере определяется тем, насколько адекватно наука отражается в зеркале массовой культуры. Более двадцати лет я собираю артефакты массовой культуры (от открыток и футболок до научно-популярных статей и книг), посвящённые "`знаменитой формуле Эйнштейна"'.

Кружка Relativity.

Колонка 1.
В 1905 году 26-летний Эйнштейн предложил Специальную Теорию Относительности, используя уравнение: $E=mc^2$, где $E$=энергия, $m$=масса, $c$=скорость света. Специальная теория относительности выражает мысль, что материя и энергия являются в сущности различными формами одного и того же. Любая масса имеет связанную с ней энергию, и наоборот.

Колонка 2.
СПЕЦИАЛЬНАЯ теория ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Альберта Эйнштейна. В 1850-х годах было вычислено, что свет движется с фиксированной скоростью 670 миллионов миль в час. Однако, как бы быстро мы ни двигались, догнать свет мы не можем. Эйнштейн предложил, что если скорость света всегда фиксирована, то что-то другое должно изменяться, а именно должна изменяться масса. Предмет должен становиться тяжелее по мере того, как его скорость приближается к скорости света. Он заключил, что энергия и масса должны быть связанными друг с другом.

Колонка 3.
Его формула означает, что маленькие количества массы можно превратить в огромные количества энергии... ...что раскрыло секрет того, как сияют звёзды, и послужило ключом к атомной энергии.

Мои уточнения и комментарии

Колонка 1. Как известно, в 1860-70-х годах Максвелл объединил оптику с физикой электрических и магнитных явлений, открыв уравнения, описывающие не только статическое, но и движущееся в вакууме со скоростью света электромагнитное поле. В 1880-90-х годах ряд физиков, обнаружив, что уравнения Максвелла не согласуются с уравнениями механики Ньютона, попытались сохранить уравнения Ньютона и при скоростях, сравнимых со скоростью света, запрятав всё новое в гипотезу о том, что масса тела растёт с ростом его скорости. Эти попытки продолжались и в ХХ веке; они кратко описаны встатьях [1], [2]. Однако довольно скоро выяснилось, что так можно поступить не со всеми уравнениями Ньютона; например, так нельзя поступить со знаменитым уравнением ${\bf F}=m{\bf a}$, где ${\bf F}$ --сила, а ${\bf a}$ -- ускорение. Оказалось, что надо изменить сами уравнения механики Ньютона, сохранив при этом независимость массы от скорости, но установив новую, очень важную связь массы и энергии. Заметим, что связь силы с импульсом при этом сохранилась: ${\bf F}=d{\bf p}/dt$, но связь импульса cо скоростью ${\bf p}=m{\bf v}$ стала, как мы увидим, иной. Всё это сопровождалось изменением языка и философии физики. Летом 1905 года Эйнштейн опубликовал детальную статью [3], в которой предложил теорию, вскоре названую теорией относительности Эйнштейна, поскольку в ней на электромагнитные явления был распространён принцип относительности Галилея-Ньютона.

Согласно этому принципу, никакими опытами внутри замкнутого пространства (например, каюты корабля) невозможно выяснить, движется ли оно прямолинейно и равномерно, или покоится. Затем эту теорию распространили и на только что открытые ядерные явления, и за ней закрепилось название Специальная Теория Относительности (СТО). По существу, СТО -- это теория движения и взаимодействия быстрых частиц, скорость которых сравнима со скоростью света. Такие частицы стали называть релятивистскими. (В 1915 году Эйнштейн предложил Общую Теорию Относительности (ОТО), описывающую гравитационные явления. Но в этой заметке мы её касаться не будем.) Осенью 1905 года появилась короткая заметка Эйнштейна [4] о том, что масса тела есть мера содержащейся в нём энергии. В теории относительности полная энергия свободного тела $E$ равна сумме его кинетической энергии, т.е. энергии движения тела как целого $E_K$ и энергии, содержащейся в покоящемся теле, т.е. энергии покоя $E_0$: \begin{equation} E=E_K + E_0. \end{equation} Разумеется, представление о свободном теле, изолированном от всех внешних воздействий, является идеализацией, абстракцией. Но абстракция лежит в основе научного метода и является исключительно плодотворной. Осознание того, что любое покоящееся тело обладает энергией, было величайшим открытием ХХ века.

Величина этой энергии выражается через массу тела $m$ соотношением Эйнштейна: \begin{equation} E_0=mc^2. \end{equation} (Именно в таком виде написал Эйнштейн уравнение (44) в лекциях "`Сущность теории относительности"' [5] , прочитанных им в 1921 году, хотя понятие энергии покоя $E_0$ появилось уже в заметке [4] 1905 года.) Поскольку кинетическая энергия обычных окружающих нас тел даётся известной формулой механики Ньютона $E_K=mv^2/2$ и поскольку скорость обычных тел $v$ много меньше скорости света $c$, то их кинетическая энергия неизмеримо меньше их энергии покоя. Но в каждодневной жизни энергия покоя не проявляется. Эйнштейн сразу же заметил, что часть этой энергии выделяется при распаде радиоактивных ядер. К сожалению, как в начале, так и на протяжении всего ХХ века, многие известные физики формулировали соотношение Эйнштейна в "`упрощённом виде"', опуская индекс ноль у энергии: \begin{equation} E=mc^2 \end{equation} и трактуя это соотношение как возрастание массы с ростом не только энергии, но и импульса, и скорости тела. Известно письмо 1948 года Барнетту --- автору книги "`Вселенная доктора Эйнштейна"', в котором Эйнштейн предупреждает о том, что не следует пользоваться понятием массы, зависящей от скорости (смотрите копию рукописи этого письма в [1] ). Но временами, особенно в научно-популярных текстах, и он опускал индекс ноль. По существу, семантическое завихрение в его творчестве возникло при столкновении двух языков -- старого нерелятивистского и нового релятивистского.

Колонка 2. Утверждение о том, что свет всегда имеет фиксированную скорость 670 миллионов миль в час, -- правильное, но утверждение, что это было вычислено в 1850-х годах, не вполне верное. Что скорость света конечна, а не бесконечна, выяснил в 1676 году Рёмер, определивший её по наблюдениям спутника Юпитера. Из них следовало,что она составляет примерно 200 000 км/с. Первые и более точные измерения в земных условиях произвёл Физо в 1849 году. А то, что скорость 300 000 км/с с высокой точностью фиксирована, т.е. не зависит от скорости источника света и наблюдателя, обнаружили в 1887 году Майкельсон и Морли. Заключение о том, что энергия и масса связаны друг с другом, несомненно правильное, поскольку $E_0=mc^2$. А вот утверждение о том, что масса тела должна меняться вместе с его скоростью, заведомо неверное. В теории относительности, в отличие от механики Ньютона, мерой инерции является не масса тела $m$, а его полная энергия $E$, а импульс тела $\bf p$ связан с его скоростью $\bf v$ не соотношением Ньютона ${\bf p}=m{\bf v}$, а соотношением \begin{equation} {\bf p}=(E/c^2){\bf v}. \end{equation}

В результате изменить импульс тела тем трудней, чем больше его энергия $E$. И только при нулевом импульсе, когда $E=E_0$, т.е. когда полная энергия равна энергии покоя, только тогда $E/c^2=m$ . Прочувствовать, что именно энергия частицы является мерой её инерции можно на примере Большого Электрон-Позитронного коллайдера LEP, работавшего в ЦЕРН в последнее десятилетие ХХ века. В его кольцевом туннеле длиной 27 км электроны и позитроны с энергией около 50 ГэВ летели навстречу друг другу. Удерживались они в этом кольце довольно слабым полем железных магнитов, расположенных в туннеле. (Если бы не было поля, частицы летели бы по инерции по прямой линии.) Точно так же удерживало бы это поле и протоны с тем же импульсом и почти той же энергией, несмотря на то, что масса протона почти в 2000 раз больше массы электрона. В 2010 году в том же туннеле заработал Большой Адронный Коллайдер LHC. Чтобы удерживать в нём протоны с энергией 3500 ГэВ, понадобилось в 70 раз более сильное поле сверхпроводящих магнитов. Итак, мерой инерции частицы является её полная энергия.

Колонка 3. Здесь всё правильно, если говорить о формуле $E_0=mc^2$ и учесть, что в ядерных реакциях в звёздах, на Солнце и на Земле часть энергии покоя сгорающих частиц превращается в энергию движения продуктов горения. Это же, разумеется, относится и ко всем процессам горения.

Четыре измерения мира

Теперь я хотел бы сказать несколько слов тем, кто более или менее знаком с четырёхмерным математическим аппаратом теории относительности, введённым Минковским в 1908 году [6]. В четырёхмерном мире (4-мире) Минковского временная координата события $ct$ и 3-вектор его пространственного положения $\bf r$ образуют четырёхмерный вектор. Аналогичным образом энергия свободного (изолированного) тела $E$ (более точно, $E/c^2$) и три компоненты его импульса $\bf p$ (более точно, ${\bf p}/c$) образуют четыре компоненты псевдоевклидова 4-вектора. Масса тела $m$ представляет собой скаляр, равный длине этого 4-вектора: \begin{equation} m^2=E^2c^{-4}-{\bf p}^2c^{-2}. \end{equation} (Слово "`псевдоевклидовый"' указывает на то, что квадрат длины 4-вектора равен не сумме, а разности квадратов его $E$- и {$\bf p$}- компонент.) Тейлор и Уилер в книге откладывают величины энергии и импульса по ортогональным осям, а на гипотенузе прямоугольного треугольника откладывают величину массы с помощью утолщённого отрезка. Но можно просто изобразить соотношение (5) в виде прямоугольного треугольника, если переписать его в виде $E^2=m^2c^4+{\bf p}^2c^2$ . Тогда энергия -- гипотенуза, а масса и импульс -- катеты. Отсюда, в частности, следует, что \begin{equation} E_K=\sqrt{m^2c^4+{\bf p}^2c^2}-mc^2. \end{equation}

Основное соотношение специальной теории относительности (5) проверено в тысячах опытов с точностью до десятка значащих цифр. Из него, для тела, обладающего массой, при импульсе, равном нулю, следует формула $E_0=mc^2$, где индекс ноль у энергии указывает на то, что $E_0$ это энергия не движущегося, а именно покоящегося тела. Если же переписать это же соотношение в виде $(Ec^{-2} - m)(Ec^{-2} + m)={\bf p}^2c^{-2}$, то при $E_K \ll E_0$ без разложения квадратного корня получается Ньютоновское $E_K={\bf p}^2/2m$. Аналогичным образом для релятивистских частиц получаем $E-|{\bf p}|c=mc^2/2E$. (Это уравнение очень существенно при описании нейтринных осцилляций.) Из того же соотношения (5) и формулы (4) для скорости ${\bf v}={\bf p}c^2/E $ следует, что скорость безмассового фотона при любой энергии равна $c$. Так что специальная теория относительности безупречна, чего нельзя сказать о её популяризациях. К сожалению, внезапная болезнь и смерть Минковского не позволили ему убедить его современников в преимуществах четырёхмерного мира, и они продолжали "`засовывать"' содержание теории относительности в трёхмерные уравнения механики Ньютона.

Хотя Эйнштейн использовал четырёхмерие при формулировке общей теории относительности как теории гравитационного взаимодействия, уравнения $E^2c^{-4}-{\bf p}^2c^{-2}=m^2$ в его собрании сочинений мне найти не удалось. Впервые оно появилось в статьях Клейна [9], Фока [10], Гордона [11] (1926) и особенно трудах Дирака [12] (1930), в которых была создана релятивистская квантовая механика. (Эйнштейн, несмотря на то, что он стоял у истоков понятия кванта, так и не принял квантовой механики.) И только позднее эта формула появилась не только в квантовой, но и в классической электродинамике, в учебнике "`Теория поля"' Ландау и Лифшица в 1941 году (на русском языке) [13].

Четырёхмерие позволило единым образом описывать как массивные, так и безмассовые частицы материи. Оно позволило понять, что масса и материя -- это не одно и то же, что энергия и импульс -- это меры всех процессов и всех движений в природе. Что же касается массы частиц, то она становится несущественной в процессах при очень высоких энергиях $E \gg mc^2$.

Скорость света как единица скорости

Существование универсальной максимальной скорости $c$ даёт возможность выражать любую скорость $v$ в единицах $c$ как безразмерное число $\beta=v/c$. При этом очевидно, что для самой $c$ получается $\beta=1$. Это позволяет вообще избавиться от буквы $c$ в уравнениях теории относительности, записав уравнения (2), (4), (6) в виде \begin{align} E_0=m,\hspace{7mm} m^2=E^2-{\bf p}^2,\hspace{7mm} {\bf v}={\bf p}/E. \end{align} Уравнение же (3) $E=mc^2$ сводится к $E=m$. Оно явно противоречит уравнению (1) $E=E_K+E_0=E_K+m$ и, следовательно, неправильно.

Заключение

В 1980-х годах Володя Грибов, взгляды которого на $E=mc^2$ полностью совпадали с моими, по-дружески советовал мне не бороться с этим неверным уравнением, т.к. победить его нельзя. C ощущением постоянного поражения писал я предыдущий текст для тома "`Грибов-80"' летом 2010 года во время небывалой жары и смога в Москве, что не могло не ухудшить качество текста. Осенью, несколько недель тому назад, Юлия Нири напомнила мне, что этот текст является по существу продолжением того, что я опубликовал в томе "`Грибов-75"'. Там я сравнил формулу $E=mc^2$ с вирусом. Действительно, понятие релятивистской массы,запрятанное в этой формуле, -- это семантический вирус, очень похожий на компьютерные вирусы. Заражённые им люди (они часто называют себя релятивистами) убеждены, что Релятивистская Масса -- это основной портал, ведущий в здание Теории Относительности. Они убеждены в этом, потому что считают массу мерой инерции. Они игнорируют тот факт, что масса является мерой инерции только для очень медленных тел и частиц, у которых энергия покоя $E_0$ настолько больше, чем кинетическая энергия $E_K$, что кинетической энергией можно пренебречь.

При не очень малых скоростях масса -- это только приближённая мера инерции. Для быстрых же частиц (фотонов, нейтрино, протонов в Большом Адронном Коллайдере), для которых $E_K \gg mc^2$, мерой инерции является их энергия $E$. Общеизвестно, что формулы в физике -- это продолжение обычного языка: уравнения -- это закодированные фразы, а символы, из которых состоят уравнения, заменяют обычные слова или термины. Чтобы не возникала путаница, каждый символ должен быть однозначно связан с соответствующим ему термином. Можно ли ввести в теорию относительности понятие релятивистской массы? Безусловно -- можно: $m_r=E/c^2$, хотя это будет просто другим обозначением энергии, поскольку $c$ -- универсальная константа. Можно ли вслед за этим ввести понятие релятивистской массы покоя: $m_{r0}=m$? Безусловно -- можно. Конечно, можно ввести и то, и другое; но незачем, потому что СТО и без $m_r$, и без $m_{r0}$ является законченной, самосогласованной теорией. А вот эту релятивистскую массу покоя $m_{r0}$ обозначать символом $m_0$ и называть её просто массой покоя уже нехорошо, т. к. это уже как бы подразумевает, что в СТО масса $m$ зависит от скорости. А все мы прекрасно знаем, что в СТО $m$ -- лоренцовский инвариант: масса $m$ одна и та же в покое и в движении, и навешивать на неё индексы бессмысленно. Но настоящая беда возникает, когда $m_r$ называют массой и обозначают символом $m$, а обычную ньютоновскую массу $m$ в СТО называют массой покоя и начинают обозначать $m_0$. Это смешение двух языков ("`французского с нижегородским"') уродует прекрасную теорию, приводит к невообразимой путанице, длящейся уже сто лет, препятствует пониманию сути СТО.

А "`релятивисты-философы"' утверждают при этом, что ньютоновская механика якобы не является предельным случаем эйнштейновской и что эти две теории якобы несоизмеримы. В результате обратного воздействия массовой культуры на научную литературу, в лучшем учебнике по физике ХХ века, вышедшем в 1960-х годах, -- "`Фейнмановских лекциях по физике"' во многих главах повторяется утверждение, что согласно теории относительности, масса растёт с ростом скорости. То же утверждает и маленькая популярная книжечка Ландау и Румера "`Что такое теория относительности?"' . (Эта книга была написана в 1930-х годах, до ареста обоих авторов, а вышла из печати в 1950-х годах, после освобождения Румера из ссылки. (Ландау пробыл в тюрьме год.)) "`Теория поля"' Ландау и Лифшица , вышедшая из печати в 1940-х годах, была первым учебником в мире, в котором масса последовательно не зависела от скорости. Тем не менее, понятие энергии покоя и символ $E_0$ в ней отсутствовали, а формула Эйнштейна была дана в форме $E=mc^2$. Это несоответствие сохранилось даже в последнем издании книги, вышедшем в ХХI веке. Поистине, никто не совершенен. Не совершенен наш язык: "`мысль изречённая есть ложь"'.

References

[1]  The concept of mass. Physics Today. June 1989, 31-36.
http://www.itep.ru/theor/persons/lab180/okun/em_3.pdf

[2]  Формула Эйнштейна: $E=mc^2$. "`Не смеётся ли Господь Бог"'?. Успехи физ. наук,  178 (5), 541-555 (2008).
http://ufn.ru/ufn08/ufn08_5/Russian/r085g.pdf

[3]  Einstein A/ Zur Electrodynamik bewegter Körper. Ann Phys  17, 891-921 (1905).
К электродинамике движущихся тел. Собрание научных трудов т  1, с 7 М Наука (1965).

[4]  Einstein A. Ist die Tragheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhänging?. Ann Phys  18, 639-641 (1905).
Зависит ли инерция тела от содержащейся в нём энергии? Собрание научных трудов т  1, с 36, М Наука (1965).

[5]  Einstein A. Four lectures on the theory of relativity, held at Princeton University in May 1921. Сollected papers of Albert Einstein v  7, doc 71. Princeton (1997).
Сущность теории относительности. Собрание научных трудов т  2, с 5, М Наука (1965).

[6]  Minkowski H. Raum und Zeit. Phys Zeit  10, 104-111 (1909).
Пространство и время. УФН  69, 303-320 (1959).

[7]  Теория относительности и теорема Пифагора. Успехи физ. наук,  178 (6), 647-653 (2008).
http://ufn.ru/ufn08/ufn08_6/Russian/r086j.pdf

[8]  Taylor E F, Wheeler J A. Spacetime physics. New York (1992) (pp 246-252 Dialog: Use and Abuse of the concept of mass).

[9]  Klein O. Quantum Theorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie. Zeit f Physik  37, 895-906 (1926).

[10]  Fock V. Über die Iinvarianten Form der Wellen- und der Bewegungsgleichungen für einen geladenen Massenpunkt. Zeit f Physik  39, 226-232 (1926).
Об инвариантной форме волновых уравнений и уравнений движения заряженной точечной массы УФН  180, 874-877 (2010).

[11]  Gordon W. Der Compton Effect nach der Schrödingerschen Theorie. Zeit f Physik  40, 117-133 (1926).

[12]  Dirac P A M. The principles of quantum mechanics (1930).
Принципы квантовой механики М Наука, (1979).

[13]  Ландау Л Д, Лифшиц E M. Теория поля. М (1941).

[14]  The virus of relativistic mass in the year of physics in Gribov memorial volume (quarks, hadrons and strong interactions). Yu L Dokshitzer, P Levai, J Nyri Editors, WS, 470-473 (2006).
http://www.itep.ru/theor/persons/lab180/okun/em_22.pdf

[15]  Feynman R P, Leighton R B, Sands M. The Feynman lectures on physics. Addison-Wesley (1963).
Фейнмановские лекции по физике. УРСС М (2004).

[16]  Ландау Л Д., Румер Ю Б Что такое теория относительности?. Советская Россия М (195).

[17]  Energy and Mass in Relativity Theory. World Scientific (2009).
http://www.worldscibooks.com/physics/6833.html

[18]  Mass versus relativistic and rest masses. Am. J. Phys.  77,(5), 430-431 (2009).
http://www.itep.ru/theor/persons/lab180/okun/doc/AJP000430.pdf

Комментарии (1):

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите или зарегистрируйтесь пожалуйста.