Постулати й основні результати петльової квантової гравітації

Продовжуємо порівняльний аналіз двох теорій, що претендують на роль теорій квантової гравітації. У цій замітці докладніше зупинимося на досягненнях петльової квантової гравітації. Стаття рясніє специфічною термінологією, тож якщо в читачів виникнуть запитання, допоможу, чим зможу. Перед прочитанням наполегливо рекомендую ознайомитися з добіркою статей із квантової гравітації, розміщеною на нашому сайті.

Для більшої точності необхідно розрізняти дві форми петльової квантової гравітації, які я називаю версіями I та II.

Постулати петльової квантової гравітації I

Те, що я розумітиму під петльовою квантовою гравітацією версії I, є теорією, яка являє собою квантування рівнянь Ейнштейна, пов’язаних із довільними полями матерії, у просторі розмірності $3 + 1.$

1. Квантова теорія гравітації є квантуванням ЗТВ або деякого її узагальнення, що включає поля матерії, такого як супергравітація. Квантування виконується з використанням стандартного непертурбативного гамільтоніана та методу інтеграла за траєкторіями, застосованого до фазового простору, координати якого виражено в термінах альтернативного набору змінних. Конфігураційні змінні являють собою компоненти просторово-часової зв’язності, так що ЗТВ у певному точному сенсі виражається в термінах калібрувальної теорії.
2. Квантування має бути виконане так, щоб зберегти притаманну ЗТВ незалежність від фону і, отже, точно реалізувати дифеоморфну інваріантність.

У петльовій квантовій гравітації I єдиною нединамічною структурою є тривимірний многовид $\mathbb{E}$ із заданою топологією та диференціальною структурою. У $\mathbb{E}$ немає класичних полів, таких як метрики, зв’язності або поля матерії. Єдиний виняток існує під час моделювання квантування просторово-часової області з межами, як-от в асимптотично плоскому контексті $AdS,$ або за наявності чорної діри чи космологічного горизонту. У цьому разі поля можуть бути зафіксовані на межі $\partial\mathbb{E}$, щоб відобразити фізичні умови, які там підтримуються незмінними.

Основні результати петльової квантової гравітації I

1. Стани теорії відомі точно. Гільбертів простір $\mathcal{H}^{dffeo}$ станів ЗТВ, інваріантних щодо просторових дифеоморфізмів, у розмірності $3+1$ має ортонормований базис, елементи якого перебувають у взаємно однозначній відповідності з класами еквівалентності щодо дифеоморфізмів вкладень (йдеться про вкладення графів у базовий многовид $\mathbb{E}$) певних позначених графів, що називаються спіновими мережами, у $\mathbb{E}.$
   Позначений граф — це граф, ребра та вузли якого пов’язані з елементами певної множини міток. У випадку чистої ЗТВ зі зникною космологічною сталою мітки на ребрах задаються звичайними $SU(2)$ спінами. Існують також мітки на вузлах спінової мережі, які є інваріантами теорії представлень $SU(2).$
2. Побудовано певні дифеоморфно-інваріантні спостережувані. Після відповідної регуляризації вони виявляються представленими скінченними операторами на $\mathcal{H}^{dffeo}$ — просторі станів спінових мереж. Вони включають об’єм Всесвіту, площу межі Всесвіту або будь-які поверхні, визначені значеннями полів матерії. Можуть бути побудовані й інші оператори, наприклад оператори, що вимірюють кути у квантовій геометрії. Усі ці оператори зберігають дифеоморфну інваріантність станів.
3. Оператори площі та об’єму мають дискретні, скінченні спектри, виражені в термінах планківської довжини. Отже, існують найменший можливий об’єм і найменша можлива площа, порядку планківських об’єму та площі. Спектри [об’єму та площі] можуть бути обчислені в замкненому вигляді.
4. Оператори площі та об’єму можуть бути розширені до справжніх фізичних спостережуваних, які своїм калібруванням фіксують калібрування часу так, що принаймні локальний час може бути виміряний за допомогою фізичних полів. Для таких фізичних спостережуваних зберігається дискретний спектр, отже, спектри площі та об’єму є справжніми фізичними передбаченнями квантової теорії гравітації.
5. Через існування мінімальних фізичних об’єму та площі теорія не має збуджень, які відповідають ступеням свободи гравітації або матерії з довжиною хвилі, коротшою за планківську довжину.
6. Серед операторів, які були побудовані і для яких було встановлено, що вони скінченні на $\mathcal{H}^{dffeo},$, є гамільтонова в’язь (або, як її часто називають, рівняння Вілера — де Вітта). Отже, рівняння Вілера — де Вітта можна не тільки точно визначити, а й точно розв’язати. Для всіх значень космологічної сталої було побудовано кілька нескінченних множин розв’язків у вигляді певних суперпозицій базисних станів спінових мереж. Вони є точними фізичними станами квантової ЗТВ.
   Якщо зафіксувати фізичну часову координату в термінах деяких фізичних полів, то можна також визначити гамільтоніан, що задає еволюцію відносно цієї фізичної часової координати, і це також дає скінченний оператор [Гамільтона] на відповідному розширенні $\mathcal{H}^{dffeo},$, що включає поля матерії.
7. 7. Динаміка станів спінової мережі може бути виражена також у формалізмі інтеграла за траєкторіями, який називається спіновою піною. Історії, відповідно до яких стани спінової мережі еволюціонують до інших станів спінової мережі, що називаються історіями спінової піни, відомі в явному вигляді. Історії у вигляді спінової піни є позначеними комбінаторними структурами, які можна описати як розгалуження, позначені двома комплексними числами. Моделі спінової піни було виведено кількома різними способами, і результати узгоджуються з точністю до загальної форми амплітуди спінової піни.
   Вони [різні способи] включають: 1) обчислення експоненти від гамільтонової в’язі; 2) прямий шлях на основі дискретної апроксимації класичної теорії простору-часу; 3) обмеження сумувань у формулюванні з обчисленням скінченних сум за станами чотиривимірного топологічного інваріанта; 4) виведення з матричної моделі на просторі полів на групі; 5) постулювання того, що просторово-часові події є локальними рухами у спіновій мережі. Еволюція амплітуд, що відповідає квантуванню рівнянь Ейнштейна в 3 + 1 вимірі, точно відома як для зникного, так і для незникного значення космологічної сталої, а також як для евклідової, так і для лоренцової теорій.
   Сума за спіновими пінами складається з двох частин: суми за графами, що представляють історії спінових мереж, і, для кожного графа, суми за мітками. Як з аналітичних, так і з чисельних розрахунків відомо, що сума за всіма мітками для деяких моделей спінової піни збігається, включно з деякими моделями, що відповідають квантуванню рівнянь Ейнштейна в 2 + 1 і 3 + 1 вимірах. Для деяких моделей спінової піни розмірності 2 + 1 було показано, що сума за історіями спінової піни обчислювана за Борелем.
   Фізичний скалярний добуток, який являє собою скалярний добуток на розв’язках для будь-яких [гамільтонових] в’язей, має точний вираз, заданий у термінах моделей спінової піни.
8. І до гамільтонового формулювання, і до формулювання спінової піни може бути додана матерія. Для гамільтонового формулювання відомо, як розширити визначення станів, інваріантних щодо просторових дифеоморфізмів, щоб включити всі стандартні типи полів матерії, зокрема калібрувальні поля, спінори, скаляри та поля Калба — Рамонда. Ці стани також інваріантні щодо звичайних калібрувальних перетворень Янга — Міллса або Калба — Рамонда. Форма членів для полів матерії в гамільтонових в’язях точно відома. Моделі спінової піни розширено так, щоб включити калібрувальні та спінорні ступені свободи (Наскільки мені відомо, питання про те, чи страждає петльова квантова гравітація від проблеми ферміонного подвоєння, залишається відкритим.). Включення полів матерії не впливає на скінченність і дискретність спостережуваних площі та об’єму.
9. Моделі спінової піни, що відповідають лоренцовій квантовій гравітації та називаються каузальною спіновою піною, мають квантові аналоги для всіх базових структур простору-часу ЗТВ. Вони включають динамічно породжувані каузальні структури, світлові конуси та аналоги багатоваріантного часу, який являє собою свободу багатьма різними способами представити простір-час у вигляді послідовності простороподібних зрізів. Простороподібні зрізи є спіновими мережами, які є квантовими аналогами просторових геометрій.
10. До теорії можуть бути включені кілька типів меж, зокрема часоподібні межі за наявності як додатної, так і від’ємної космологічної сталої, і нульові межі, такі як чорні діри та космологічний горизонт. У всіх цих випадках граничні стани та спостережувані розуміються в термінах структур, що виводяться з теорії Черна — Саймонса.
11. 11. Граничні гільбертові простори розкладаються на власні підпростори, по одному для кожного власного значення оператора, що вимірює площу межі. Для кожного власного значення площі гільбертів простір є скінченновимірним. Ентропію можна обчислити, і вона точно узгоджується з напівкласичним результатом Бекенштейна — Гокінґа, $$ S = \frac{A[S] }{ 4 \hbar G_{Newton}}~~~~~~~~~~~~~~(3)$$ Серед меж, які можна досліджувати, є горизонти. Тоді теорія межі дає детальний мікроскопічний опис фізики на межі. Більше того, передбачення Бекенштейна та Гокінґа, що горизонт повинен мати ентропію (3), повністю пояснюється в термінах статистичної механіки простору станів, пов’язаного зі ступенями свободи на горизонті. Було виявлено, що це працює для широкого класу чорних дір, зокрема для шварцшильдівських чорних дір.
    Обчислення ентропії включають параметр, який називається параметром Іммірці (Imirzi). Його можна розуміти або як вільний параметр, що позначає одновимірне сімейство представлень спінової мережі, або як (скінченне) відношення затравочної ньютонівської сталої до перенормованої. Параметр Іммірці точно фіксується за допомогою аргументу, знайденого Драєром (Dreyer) і пов’язаного з квазінормальними модами чорних. Аргумент Драєра залежить від напрочуд точного збігу між асимптотичним значенням квазінормальної частоти та числом, яке з’являється в описі горизонту петльовою квантовою гравітацією. Значення частоти асимптотичної квазінормальної моди спочатку було відоме лише чисельно, але зовсім недавно Мотл вивів його аналітично. Щойно аргумент Дреєра фіксує параметр Іммірці, співвідношення Бекенштейна — Гокінґа (3) точно передбачається для всіх чорних дір і космологічних горизонтів

12. Було обчислено поправки до ентропії Бекенштейна й виявлено, що вони логарифмічні.
13. Відповідні наближені обчислення відтворюють спектр Гокінґа та передбачають у ньому дискретну тонку структуру. Водночас спектр стає неперервним у границі нескінченної маси чорної діри. Ця тонка структура є додатковим конкретним фізичним передбаченням теорії.
    Отже, підсумовуючи, петльова квантова гравітація приводить до докладної мікроскопічної картини квантової геометрії чорної діри або космологічного горизонту. Ця картина повністю відтворює й пояснює результати щодо термодинамічних і квантових властивостей горизонтів із праць Бекенштейна, Гокінґа та Унру. Вона цілком загальна й застосовна до всіх чорних дір і космологічних горизонтів.
14. Для ненульової космологічної сталої будь-якого знака існує точний фізичний стан, який називають станом Кодами. Це точний розв’язок усіх рівнянь квантових в’язей, для яких існує класична границя. Ця границя описує простір-час де Сіттера або анти-де Сіттера. Розв’язки, отримані збуренням цього стану як у гравітаційному полі, так і в полях матерії, відтворюють за великих довжин хвиль квантову теорію поля у викривленому просторі-часі та квантову теорію вільних довгохвильових гравітаційних хвиль у просторі-часі де Сіттера або анти-де Сіттера. Обчислення Дреєра також приводять до висновку, що серед переходів, за яких проколи, тобто кінці спінових мереж, додаються до межі або вилучаються з неї, має переважати народження або знищення проколів зі спіном 1.
15. Обернена величина космологічної сталої виявляється квантованою, так що $$k= 6 \pi / G \Lambda$$ є цілим числом.
16. Теплова природа квантової теорії у просторі де Сіттера пояснюється через періодичність у конфігураційному просторі точної квантової теорії ЗТВ.
17. Відомий широкий клас станів, які після усереднення дають опис, що відтворює геометрію плоского простору або будь-яку повільно змінну метрику. Лінеаризація квантової теорії поблизу таких станів дає лінеаризовану квантову гравітацію для гравітонів із довжиною хвилі, великою порівняно з планківським масштабом. Також зрозуміло, як побудувати когерентні стани, що мають пік поблизу класичних конфігурацій.

18. Відома редукція точного простору фізичних станів до просторово однорідних станів, а також редукція динаміки до цього підпростору станів. (Від звичайної квантової космології це відрізняється тим, що редукція до однорідних станів здійснюється в гільбертовому просторі повної теорії, а не до квантування.) Еволюцію цих станів докладно вивчено й загалом установлено, що коли Всесвіт дуже великий у планківських одиницях, відтворюється звичайна космологія Фрідмана — Робертсона — Вокера. Водночас космологічні сингулярності зникають і замінюються переходами, за яких Всесвіт або знову розширюється, або перебуває у стані перед стисненням. Якщо включити зв’язок зі скалярним полем, існує природний механізм, який породжує інфляцію на планківському масштабі, а також витончений вихід із неї.
19. Багато з цих результатів поширюються на квантову супергравітацію для N = 1, а деякі було досліджено також для $N = 2.$
20. Ті самі методи можна використовувати для розвитку квантової гравітації в розмірності 2 + 1 та в багатьох редукціях теорії до розмірності 1 + 1. Вони також працюють для розв’язання широкого класу топологічних теорій поля, даючи результати, аналогічні отриманим іншими методами. Крім того, петльові методи, застосовані до ґраткових калібрувальних теорій, дають результати, аналогічні тим, яких досягають іншими методами.
21. Як для плоского простору, так і для простору-часу, близького до простору де Сіттера, обчислення, що відтворюють квантову теорію для великих довжин хвиль гравітонів і матерії, можна поширити до великих енергій. Ці обчислення виявляють поправки до співвідношення енергії та імпульсу у формі (2) . $$E^{2} = p^{2}+ M^{2} + \alpha l_{Pl}E^{3}+ \beta l_{Pl}^{2}E^{4} + ...$$ Проте тепер параметри а і в є обчислюваними сталими, які залежать від основного стану хвильового функціонала. Це становить подальші передбачення теорії.
22. Багато з цих результатів перевірено шляхом виведення кількома різними методами, зокрема з використанням різних процедур регуляризації. Деякі з них використовують рівень строгості фізики високих енергій, тоді як інші методи цілком строгі — на рівні математичної квантової теорії поля. Усі ключові результати перевірено шляхом виведення цілком строгими методами.

На підставі цих результатів можна стверджувати, що петльова квантова гравітація I є коректним квантуванням загальної теорії відносності та фізично прийнятним кандидатом на роль квантової теорії гравітації. Видно, що вона дає точну відповідь на перші 9 запитань із мого списку.

Невдача квантової ЗТВ як пертурбативної теорії пояснюється тим, що в петльовому квантуванні ЗТВ немає ступенів вільності гравітонів або інших пертурбативних квантів із довжиною хвилі, меншою за планківський масштаб. Ультрафіолетові розбіжності зникають завдяки коректному квантуванню, яке точно реалізує просторову дифеоморфну інваріантність, накладаючи ультрафіолетове обрізання на фізичний спектр теорії. Згадані вище припущення про гладкість і лоренц-інваріантність простору-часу на довільно малих масштабах у процедурі квантування не використовуються й фактично суперечать результатам.

Читач, підготовлений у галузі пертурбативної квантової теорії поля, може поставитися до цих результатів скептично. У відповідь він може вказати на дві важливі речі. По-перше, ці результати не стосуються загальних пертурбативно неперенормовних теорій. Ключові результати як гамільтонового квантування, так і квантування за допомогою інтеграла за шляхами випливають із двох необхідних властивостей, специфічних для гравітаційних теорій24. Перша — просторова дифеоморфна інваріантність. Це приводить до методу квантування, який не працює для звичайних пуанкаре-інваріантних квантових теорій поля. Він заснований не на фоківському просторі, а на певному представленні алгебри петльових спостережуваних Вільсона, що допускає строге формулювання теорії, яке включає точне унітарне представлення групи просторових дифеоморфізмів. У результаті завдяки вимозі будувати оператори за допомогою процедури регуляризації, яка зберігає дифеоморфну інваріантність станів у границі вилучення регулятора, зникає багато потенційних розбіжностей.

Читач, підготовлений у галузі пертурбативної квантової теорії поля, може поставитися до цих результатів скептично. У відповідь він може вказати на дві важливі речі. По-перше, ці результати не стосуються загальних пертурбативно неперенормовних теорій. Ключові результати як гамільтонового квантування, так і квантування за допомогою інтеграла за шляхами випливають із двох необхідних властивостей, специфічних для гравітаційних теорій. Перша — просторова дифеоморфна інваріантність. Це приводить до методу квантування, який не працює для звичайних пуанкаре-інваріантних квантових теорій поля. Він заснований не на фоківському просторі, а на певному представленні алгебри петльових спостережуваних Вільсона, що допускає строге формулювання теорії, яке включає точне унітарне представлення групи просторових дифеоморфізмів.

У результаті завдяки вимозі будувати оператори за допомогою процедури регуляризації, яка зберігає дифеоморфну інваріантність станів у границі вилучення регулятора, зникає багато потенційних розбіжностей. Друга особливість полягає в тому, що дію для багатьох відомих теорій гравітації можна взяти у формі, тісно пов’язаній із певним класом топологічних теорій поля. Їх називають $BF$ теоріями, оскільки дія в них має вигляд $\int Tr B \wedge F .$

Дія в цих теоріях гравітації є сумою членів із в’яззю, недиференційовною та квадратичною за B. Теорії, які можна виразити таким способом, можна назвати топологічними теоріями поля із в’язями. Вони включають ЗТВ у будь-якій кількості вимірів і супергравітацію принаймні у $d = 4$ для $N = 1, 2 $ та у $d =11.$ Поєднання цих двох особливостей уможливлює несподівані результати, про які йшлося. Слід також сказати, що всі ключові результати в гамільтоновій теорії та деякі в теорії з інтегруванням за шляхами зрозумілі цілком строго.

Читач може сумніватися в тому, що світ влаштований як квантування ЗТВ, але вже неможливо заперечувати, що цей метод приводить до строго зрозумілого класу дифеоморфно інваріантних квантових теорій поля в чотирьох вимірах. Зважаючи на нетривіальне існування класу квантових теорій поля, які реалізують точну дифеоморфну інваріантність і водночас мають локальні ступені вільності, важко повірити, що з них не можна дізнатися нічого важливого про те, як природі вдається поєднати постулати квантової теорії з основними постулатами ЗТВ.

Ці твердження нетривіальні й залежать від деталей побудови гільбертового простору та відповідних операторів. Річ у тім, що ця побудова істотно відрізняється від побудови пуанкаре-інваріантної локальної квантової теорії поля, тому відрізняються й важливі наслідки. У цьому випадку отримуємо ультрафіолетову скінченність, тож звичайне занепокоєння щодо існування та узгодженості в границі, у якій усувається ґратковий простір, знімається. Можна непокоїтися щодо переходу до границі нульової планківської довжини, аналогічної границі нульового кроку ґратки.

Але це неможливо, оскільки перенормування планківської довжини фіксується тим, що воно є числом порядку одиниці, завдяки вимозі отримати правильні ентропію чорної діри та спектр гравітонів. Ба більше, калібрувальна інваріантність і просторова дифеоморфна інваріантність реалізуються точно для скінченної $L_{PL}$, тож звичайна мотивація переходити до ультрафіолетової границі для відновлення симетрії відсутня. Але, хоча звичайну ультрафіолетову проблему розв’язано, залишаються складні проблеми щодо того, чи справді та яким чином класична ЗТВ домінує у відповідним чином визначеній низькоенергетичній границі. Той факт, що теорія добре визначена і скінченна, як ми знаємо, не гарантує, що низькоенергетична границя є прийнятною.

Щодо цих динамічних проблем, зараз є обнадійливі вказівки [на те, що їх розв’язання можливе], але наше розуміння низькоенергетичної границі далеке від повноти. Один набір проблем, який було детально вивчено, стосується питання, чи сумісна дія гамільтонового обмеження з низькоенергетичною границею, яка має безмасові збудження. Є вказівка на те, що певні переходи, необхідні для кореляцій на великих відстанях і релятивістської інваріантності, відсутні в регуляризованому гамільтоновому обмеженні.

Виявляється, причина в тому, що використана процедура регуляризації включає розщеплення точок [point splitting] просторового многовиду $\mathbb{E}$, але не часу. Необхідні члени, однак, присутні у формалізмі спінової піни, як це випливає зі способів виведення, які не залежать від 3 + 1-розщеплення простору-часу. Вони також з’являються в гамільтоновій теорії для ненульової космологічної сталої, оскільки включення Л накладає квантову деформацію на гільбертів простір, так що базисні елементи описуються квантовими спіновими мережами, які автоматично включають пропущені члени.

Аналогічно, хоча проблему відновлення ЗТВ у низькоенергетичній границі теорії не розв’язано для нульової космологічної сталої, є вагома вказівка на те, що існування стану Кодами допускає задовільне розв’язання проблеми за ненульового затравочного значення космологічної сталої.

Петльова квантова гравітація II

Хоча петльова квантова гравітація I досі поставала як квантування ЗТВ і як квантова теорія гравітації, цілком можливо, що квантування ЗТВ насправді не описує природу. Розмірність простору-часу, фізичні ступені вільності та фундаментальні симетрії можуть відрізнятися від тих, що зараз спостерігаються. Виявляється, існує природний клас моделей, які узагальнюють петльову квантову гравітацію, пов’язану з цими постулатами. Їх можна назвати моделями петльової квантової гравітації II. (Іноді для цих моделей використовують іншу назву — моделі категорних сум за станами, оскільки їх можна елегантно сформулювати мовою тензорних категорій.)

Щоб обговорити їх, можна зауважити, що математичну мову станів, історій, меж і спостережуваних величин, виведену у випадку квантової ЗТВ, легко узагальнити, щоб отримати широкий клас повністю незалежних від фону квантових теорій простору-часу. Щоб описати кінематику теорії такого типу, потрібно лише задати алгебру (або супералгебру), представлення якої використовуються для позначення спінової мережі. Графи, на яких ґрунтуються спінові мережі, визначаються комбінаторно, тому відпадає потреба задавати топологію та розмірність просторового многовиду. У такій теорії розмірність і топологія мають динамічний характер, і можуть існувати різні стани, усереднений опис яких нагадує многовиди різних розмірностей і топологій.

Основні постулати петльової квантової гравітації II можна сформулювати так:

• Стани квантової теорії гравітації задаються абстрактними спіновими мережами, асоційованими з теорією представлень заданої алгебри або супералгебри Гопфа A (тут спінова мережа — це граф, ребра якого позначені представленнями A, а вузли представлені інваріантами A)
• Історії теорії задаються спіновою піною, позначеною тими самими представленнями. Динаміка в теорії визначається еволюцією амплітуд, пов’язаних із вузлами спінової піни (або, еквівалентно, локальними рухами, за допомогою яких еволюціонує спінова піна).

Багато результатів петльової квантової гравітації I я застосовую у відповідним чином узагальненій формі до петльової квантової гравітації II. Таким чином, квантова гравітація II визначає широкий клас незалежних від фону квантових теорій простору, часу та гравітації. Існують навіть припущення, що спеціальна форма петльової квантової гравітації II може бути незалежною від фону теорією струн. Є багато моделей петльової квантової гравітації II, які не є петльовою квантовою гравітацією I.

Приклади включають моделі динамічної тріангуляції та моделі причинної динамічної тріангуляції. Вони розглядають тривіальний випадок, коли алгебра A містить лише тотожний оператор, але мають стани, які описуються в термінах графів та історій, що задовольняють визначення моделі спінової піни. Ми обговоримо результати, досягнуті в цих моделях, нижче.

Нарешті, слід зазначити, що принаймні в розмірностях $2 + 1$ і $3 + 1$ космологічна стала природним чином кодується в усіх петльових квантових теоріях гравітації та пов’язана з квантовою деформацією алгебри представлень локальної групи Лоренца. Можна уявити теорії петльової квантової гравітації II у таких термінах. Припустімо, ми хочемо побудувати повністю незалежну від фону квантову теорію поля.

Така теорія має бути незалежною від будь-яких складників класичної теорії поля, включно з многовидами, координатами, метриками, зв’язностями та полями. Що залишиться від квантової теорії, коли ми усунемо всі посилання на ці структури? Відповідь полягає в тому, що залишаться лише алгебра, представлення та комбінаторика. Моделі петльової квантової гравітації II є не чим іншим, як загальним класом квантових теорій, побудованих лише з цих складників. Отже, можна уявити узагальнену спінову піну як тип узагальненої діаграми Фейнмана, у якій позначки імпульсу замінено представленнями деякої алгебри A, а дельта-функцію збереження енергії та імпульсу у вузлах замінено інваріантами A.

Відкриті питання в петльовій квантовій гравітації

Петльова квантова гравітація дає явно узгоджений мікроскопічний опис квантового простору-часу і в гамільтоновому формалізмі, і у формі інтеграла за шляхами. Імовірно, можна сказати, що немає інших підходів до квантової гравітації, які зібрали б такий довгий перелік надзвичайно нетривіальних результатів щодо квантового простору-часу на незалежному від фону рівні. Водночас залишаються важливі відкриті проблеми.

Головна відкрита проблема стосується того, чи отримуємо ми і яким чином ЗТВ разом із квантовими полями матерії у відповідній низькоенергетичній границі.

Для випадку $\Lambda \neq 0$ є вагомі вказівки на те, що прийнятного розв’язання можна досягти, спираючись на розклади в околі стану Кодами. Однак питання про те, чи має теорія добру низькоенергетичну границю, залишається відкритим для станів загального вигляду. Це включає випадок $\Lambda = 0$, у якому стан Кодами не існує. Це серйозна проблема, оскільки можливо, що теорія є скінченною в ультрафіолетовій границі, але зазнає невдачі щодо наявності фази, у якій існує щось на зразок низькоенергетичного опису в термінах ЗТВ. Наскільки відомо, це фактично трапляється в деяких підходах до квантової гравітації, таких як евклідова динамічна тріангуляція в 4-х вимірах.

Таким чином, якщо петльова квантова гравітація і зазнає невдачі, то зрозуміло, у чому може полягати найімовірніша причина.

Для вивчення проблеми низькоенергетичної поведінки незалежно від стану Кодами реалізується така дослідницька програма:

• Вивчення ренормалізаційної групи, засноване на переформулюванні ренормалізаційної групи для моделей спінової піни. Як побічний результат цієї роботи було показано, що, хоча ренормалізаційна група не є групою, вона має природні алгебраїчні властивості, як і алгебра Гопфа.
• Було показано, що суми за позначками в деяких моделях спінової піни збігаються. Це дивно, оскільки сума за позначками є аналогом інтегралів за імпульсом у пертурбативній квантовій теорії.
• Існує розуміння когерентних станів квантових гравітаційних полів, які, як очікується, відіграють ключову роль у розумінні низькоенергетичної границі в межах гамільтонового формалізму.

Слід також наголосити, що питання про те, чи мають моделі спінової піни добру низькоенергетичну границю, слід ставити не лише для квантової ЗТВ або супергравітації в розмірності $3+1$ (тобто петльової квантової гравітації I), а й для всієї нескінченної множини теорій, визначених петльовою квантовою гравітацією II.

Існують такі можливості:

• Широкий клас петльових квантових теорій гравітації має добру низькоенергетичну границю. У цьому випадку низькоенергетична границя не має ані обмежувальної, ані передбачувальної сили.
• Добру низькоенергетичну границю має обмежена множина петльових квантових теорій гравітації або, можливо, лише одна така теорія. У цьому разі існування низькоенергетичної границі має передбачувальну силу. Наприклад, може виявитися, що лише теорії петльової квантової гравітації з ненульовим значенням Л матимуть добру низькоенергетичну границю.

Коли існує добра низькоенергетична границя, можна розглядати теорію збурень поблизу неї. Оскільки дослідження низькоенергетичних збуджень показує, що поблизу фону петльової квантової гравітації не існує пертурбативних станів із довжиною хвилі, меншою за планківську довжину, очікується, що теорія збурень буде скінченною. Однак досі не було отримано жодних подробиць, що виходять за межі лінеаризованих станів. Отже, це залишається важливим відкритим питанням. Один із можливих шляхів до його розв’язання використовує розклади поблизу стану Кодами. Інший набір відкритих питань стосується побудови гамільтоніанів для отримання детальнішої інформації про динаміку в гамільтоновій теорії. Хоча важливо, що існує багато точних розв’язків для повного набору [гамільтонових] в’язей, із більшості розв’язків важко отримати фізичну інформацію через проблему побудови повністю дифеоморфно інваріантних спостережуваних величин.

Один із підходів, який можна розвинути далі, полягає в тому, щоб зафіксувати часову калібровку, використовуючи або граничні умови, або поля матерії для визначення годинника, і побудувати відповідні гамільтоніани як оператори на просторі дифеоморфно інваріантних станів спінової мережі. Хоча з’явилося кілька статей про реалізацію асимптотично плоских граничних умов, у цій галузі потрібна подальша робота. Іншим важливим кроком має стати поширення теорем про додатну енергію з класичної на квантову теорію. Загалом потрібен подальший розвиток методів отримання динамічних передбачень на основі теорії. Інше важливе відкрите питання — це статус глобальної лоренц-інваріантності. Можна зауважити, що немає причини, через яку квантова гравітація має бути лоренц-інваріантною, оскільки це лише глобальна симетрія часткового розв’язку класичної границі теорії. Глобальні симетрії аж ніяк не є симетріями фундаментальної теорії гравітації ні в класичному, ні в квантовомеханічному випадку. Вони є симетріями часткових розв’язків класичної теорії. Питання про те, чи реалізуються ці симетрії повністю у квантових станах, які мають напівкласичні наближення, що відповідають класичним розв’язкам, залишається відкритим. Згадані результати означають, що глобальна лоренцева симетрія не повністю реалізується звичайним способом. Справді, як згадувалося, деякі недавні обчислення показують наявність поправок планківського масштабу до співвідношення енергії та імпульсу у формі (2) — ефекту, який має бути відсутнім, якщо лоренцеві перетворення є точною симетрією.

Одна з проблем тут полягає в тому, що різні обчислення ґрунтуються на різних припущеннях про основний стан. У деяких із них основний стан не є лоренц-інваріантним, тому немає нічого дивного в тому, що збурення поблизу нього не мають лоренц-інваріантного спектра. Однак модифіковані дисперсійні співвідношення можна виявити також під час вивчення низькоенергетичних збуджень припущеного основного стану, який не є виділеною привілейованою системою відліку. Отже, питання є динамічним: чи можемо ми достатньо точно визначити основний стан, щоб теорія дала однозначні передбачення для параметрів співвідношення енергії та імпульсу (2)?

Якщо ці передбачення витримають подальше вивчення, то інше важливе питання полягатиме в тому, який зі сценаріїв A) або B), обговорюваних у розділі 4, реалізується. Як ми вже там згадували, кожна з можливостей не лише веде до ефектів, які можна спостерігати в теперішніх експериментах або експериментах найближчого майбутнього, але й цілком можливо, що у сценарії A) деякі результати обчислень не узгоджуються із сучасними спостереженнями. Якщо петльова квантова гравітація веде до сценарію A), її, мабуть, можна виключити як квантову теорію гравітації. Однак є проста причина, чому ми маємо очікувати реалізації випадку B). Вона полягає в тому, що в класичній ЗТВ існування ефектів, пов’язаних із привілейованою системою відліку, виключене через умову інваріантності щодо дії гамільтонової в’язі, попри відсутність глобальної лоренц-інваріантності.

Це відбувається тому, що в будь-якій компактній області гамільтонова в’язь може породжувати зміни в розшаруванні [slicing], що в будь-якій скінченній області не відрізняються від лоренцевих бустів. Це справедливо навіть для таких розв’язків, як однорідні космологічні розв’язки, які мають привілейовану систему відліку. Нині деякі з ключових результатів петльової квантової гравітації свідчать, що гамільтонову в’язь можна визначити й розв’язати точно і що квантування не вводить аномалії в алгебру в’язей. Це робить дуже ймовірним, що будь-який квантовий стан, який одночасно є точним розв’язком гамільтонової в’язі та має напівкласичну границю, описуватиме в цій границі фізику, яка в провідному порядку є інваріантною щодо дії класичної гамільтонової в’язі.

Звідси випливає відсутність привілейованої системи відліку в класичній границі точного розв’язку гамільтонової в’язі. Отже, це виключає сценарій A), оскільки теорію визначено через розв’язання всіх в’язей. Однак немає підстав очікувати глобальної лоренц-інваріантності, яка має реалізуватися як лінійна, а не як нелінійна інваріантність. Навпаки, є вагомі фізичні підстави очікувати випадку B), у якому планківський масштаб може бути незалежним від спостерігача в границі, у якій реалізується інваріантність у виділеній системі відліку. Інший набір відкритих проблем пов’язаний із фізичним скалярним добутком. Скалярний добуток на дифеоморфно та калібрувально інваріантних станах точно відомий у термінах станів спінової мережі.

У формалізмі Тіманна використані $SU(2)$ зв’язності є дійсними, тому проблему реалізації всіх дійсних спостережуваних величин як ермітових операторів розв’язано. Однак скалярний добуток, можливо, доведеться ще модифікувати, щоб бути впевненими, що фізичні стани, які є розв’язками всіх в’язей, включно з гамільтоновою в’яззю, нормовні. Повний вираз для фізичного скалярного добутку відомий у формалізмі спінових мереж. Однак навряд чи він має просту замкнену форму.

Отже, нова особливість моделей спінової піни полягає в тому, що фізичний скалярний добуток входить до інтеграла за шляхами, який визначає фізичні амплітуди еволюції, і його [скалярний добуток] доводиться оцінювати в будь-якій застосованій схемі наближення, щоб отримати фізичні амплітуди з інтеграла за шляхами для спінової піни. Таким чином, хоча розв’язання цієї проблеми відоме в подробицях, було б добре зрозуміти, як саме воно реалізується в різних розкладах поблизу непертурбативних станів та історій.

Є також кілька нерозв’язаних проблем, що стосуються ролі групи чотиривимірних дифеоморфізмів у гамільтоновій теорії. Вони стосуються деталей регуляризації гамільтонових в’язей і взаємозв’язку між гамільтоновим квантуванням та квантуванням за допомогою інтеграла за шляхами. Низка відповідних проблем пов’язана зі співвідношенням між різними формами квантових гамільтонових в’язей, отримуваними за допомогою різних процедур регуляризації та різного впорядкування операторів. Можна зауважити, що єдина необхідна умова для форми кандидата на квантову гамільтонову в’язь полягає в тому, що він має мати нескінченновимірний простір розв’язків, який відповідає теорії з нескінченною кількістю ступенів свободи. Цю вимогу задоволено для в’язей у формі Тіманна, і є доказ того, що її також задоволено для форми в’язей, які розв’язуються станом Кодами.

Раніше пропонувалися додаткові умови, пов’язані з алгеброю квантових в’язей, однак, здається, їх неможливо реалізувати в реальній квантовій теорії поля, де в’язі мають бути визначені як границі регуляризованих операторів. Оскільки ми знаємо, що для в’язей фактично існує нескінченновимірний простір розв’язків, жодна з цих проблем не виявляється фундаментальною, але, проте, їх потрібно розв’язати.

Один зі способів підсумувати стан петльової квантової гравітації I та II полягає в тому, щоб указати можливі способи, у які її можна спростувати.

• Петльову квантову гравітацію I буде спростовано, якщо виявиться, що низькоенергетична границя квантової ЗТВ, пов’язаної з полями матерії, не є класичною ЗТВ, пов’язаною з квантовими полями матерії. Як було згадано, досі немає доказу існування доброї низькоенергетичної границі для нульової космологічної сталої, а для випадку додатної космологічної сталої є хоч і позитивні, але не цілком визначені вказівки на існування доброї границі.
• Петльову квантову гравітацію II буде спростовано, якщо не існує моделі узагальненої спінової піни, яка має низькоенергетичну границю, що є класичною ЗТВ разом зі спостережуваною стандартною моделлю полів матерії.
• Петльову квантову гравітацію I або II можна спростувати, якщо вони дадуть передбачення щодо ефектів планківського масштабу, які будуть спростовані експериментом.

Автор тексту Лі Смолін.

Переклад здійснив Панов Олександр Дмитрович НДІЯФ МДУ, кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник.

Лише зареєстровані користувачі можуть залишати коментарі. Увійдіть або зареєструйтеся.