Чи можливо поширити голографічний підхід, що сягає корінням термодинаміки чорних дір, на опис динаміки Всесвіту? Почнімо з простих оцінок. Порівняймо, наскільки Земля, Сонце і видимий Всесвіт близькі до чорної діри. Розгляньмо гравітаційний (шварцшильдівський) $r_g$ і фізичний $R$ радіуси Землі та Сонця. Для Сонця $R\simeq 7\times 10^{5}$ км, а $r_g\simeq 3$ км. Для Землі $R\simeq 6400$ км, а $r_g\simeq 0.884 $ см.
Ці об’єкти зовсім не схожі на чорну діру. Виконаймо аналогічну оцінку для видимої частини Всесвіту, взявши за її розмір габблівський радіус $R_{H}=cH^{-1}$ $$r_{g,univ}=\frac{2GM_{univ}}{c^2};$$ $$R_{H}=cH^{-1};$$ $$M_{univ}=\frac{4\pi }{3}R_H^{3}\rho;$$ $$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho \to \rho =\frac{3H^2}{8\pi G};$$ $$M_{univ}=\frac{4\pi }{3}R_H^3\frac{3H^2}{8\pi G}=\frac{c^2R_H}{2G};$$ $$R_H=\frac{2GM_{univ}}{c^2}=r_{g,univ}$$ Вражаючий «збіг», що дає змогу використовувати при голографічному описі
Всесвіту аргументацію термодинаміки чорних дір. Як ми бачили вище, ключовим моментом голографічного підходу є вилучення гравітації з числа фундаментальних сил і надання їй статусу ентропійної сили.
Використовуючи цю аналогію, можна приписати поверхні габблівського радіуса температуру Гокінга. Оцінимо температуру габблівської сфери, розглядаючи її як голографічний екран. Для потрібної оцінки скористаємося «близькістю» видимого Всесвіту до чорної діри. Перетворімо цю формулу, використовуючи перше рівняння Фрідмана $$T_{BH}=\frac{\hbar c^3}{8\pi Gk_{_B}M}=\frac{1}{3}\frac{\hbar c^3}{k_{_B}}\frac{\rho }{MH^2}=\frac 13\frac{\hbar c^3}{k_{_B}}\frac 1 {VH^2}$$ Підставляючи $V=\frac{4\pi }{3}R_H^3$ і враховуючи, що габблівський радіус дорівнює $R_H=cH^{-1},$ отримаємо для температури габблівської сфери $$T_{H}=\frac{\hbar H}{4\pi k_{_B}}\sim 10^{-30} K$$ Як буде показано нижче, неважко отримати рівняння Фрідмана, що описують динаміку Всесвіту, з голографічного принципу, не залучаючи уявлень про гравітацію та рівнянь Ейнштейна. Буде показано, що вони отримуються аналогічно до рівнянь Ньютона, за умови, що за голографічний екран брати габблівський радіус.
Пропозиція не розглядати гравітацію як фундаментальну силу природи має довгу історію. Першу ідею запропонував Сахаров у 1967 році. Ця ідея набула подальшого розвитку після відкриття в 70-ті роки термодинамічних властивостей чорних дір.
Геометричні особливості термодинамічних величин чорних дір привели Якобсона до цікавого запитання: чи можна вивести рівняння Ейнштейна для гравітаційного поля з термодинаміки. Виявляється, це справді можливо, і нижче ми продемонструємо, як цю можливість можна реалізувати за допомогою сучасної «голографічної техніки».
Цей огляд є продовженням
- Про принципи у фізиці
- Голографічний принцип — перша зустріч
- Термодинаміка чорних дір
- Голографічна динаміка — кроками Е. Верлінде
Рівняння Фрідмана
Розгляньмо компактну просторову область $V$ з компактною межею $\partial V,$ що являє собою сферу з фізичним радіусом $R=ar.$ Межа діє як голографічний екран.
Припускається, що число бітів на екрані $$N=\frac{Ac^3}{G\hbar },$$ і виконується закон рівнорозподілу $$E=Mc^2=\frac{1}{2}Nk_{_B}T.$$ У цьому співвідношенні під масою $M$ розуміється повна маса в області, обмеженій сферичним голографічним екраном. Як зазвичай, припускатимемо, що матерія, яка заповнює цю область, є ідеальною рідиною з тензором енергії-імпульсу $$T_{\mu \nu }=\left( p+\rho \right)u_{\mu }u_{\nu }+pg_{\mu \nu }.$$ Повна маса в просторовій області $V$ $$M=\int_{V}{dV}\left(T_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }\right).$$ Тут $T_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }$ — густина енергії, яку вимірює супутній спостерігач. З іншого боку, прискорення для радіального супутнього спостерігача в точці $r,$ у місці розташування екрана, $$a_r=\frac{d^2R}{dt^2}=-\ddot{a}r$$ Знак мінус виникає тому, що ми розглядаємо прискорення, спричинене матерією в області, обмеженій екраном. Згідно з формулою Унру $T_{U}$ цьому прискоренню відповідає температура $$T=\frac{1}{2\pi k_{_B}c}\hbar a_{r}$$ Підставляючи всі визначені вище величини в закон рівнорозподілу, отримаємо $$\ddot{a}=-\frac{4\pi G}{3}\rho a.$$ Це не що інше, як ньютонівський аналог другого рівняння Фрідмана. Щоб отримати точне рівняння Фрідмана, яке випливає із ЗТВ, нам потрібно використати так звану активну гравітаційну масу $$M^*=2\int_{V}dV\left(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}Tg_{\mu \nu }\right)u^{\mu }u^{\nu }.$$ Замінюючи $M\to M^*$, отримаємо $$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left( \rho +3p \right)$$ Помноживши обидві частини останньої рівності на $\dot{a}a$ і використавши рівняння збереження $$\dot{\rho }+3H\left( \rho +p \right)=0$$ отримаємо перше рівняння Фрідмана $$H^2+\frac{k}{a^2}=\frac{8\pi G}{3}\rho$$ Тут $k$ — стала інтегрування, яку можна інтерпретувати як просторову кривину в $V.$ Ще один спосіб отримати рівняння Фрідмана не потребує залучення поняття активної гравітаційної маси і в певному сенсі є 'більш' голографічним. Як було показано вище, при голографічному описі Всесвіту можна використовувати аргументацію термодинаміки чорних дір. Нехай голографічний екран збігається з габблівською сферою радіуса $R=H^{-1}.$ Екран має площу $A=4\pi R^2$ і несе (максимальну) інформацію $N=4\pi R^2/L_{Pl}^{2}$ бітів.
Зміна кількості інформації $dN$ за час $dt,$ пов’язана з розширенням Всесвіту $R\to R+dR$ $$dN=\frac{dA}{L_{Pl}^2}=\frac{8\pi R}{L_{Pl}^2}dR.$$ Тут $c=k_{_B}=1.$ Зміна габблівського радіуса призведе до зміни температури Гокінга $\left( T=\frac{\hbar }{2\pi R} \right)$ $$dT=-\frac{\hbar }{2\pi R^2}dR.$$ Із закону рівнорозподілу $N\leq \frac{Ac^3}{G\hbar }$ випливає, що $$ dE=\frac{1}{2}NdT+\frac{1}{2}TdN=\frac{\hbar }{L_{Pl}^2}dR=\frac{dR}{G}$$ $\left( L_{Pl}^2=\frac{\hbar G}{c^3} \right).$ Величину $dR$ можна подати у вигляді $$dR=-H\dot{H}R^3dt.$$ З іншого боку, потік енергії через габблівську сферу можна обчислити, якщо відомий тензор енергії-імпульсу субстанції, що заповнює Всесвіт. Вважаючи цю субстанцію ідеальною рідиною і використовуючи $T_{\mu \nu }=(\rho +p)u_{\mu }u_{\nu }+pg_{\mu \nu },$ отримаємо $$dE=A\left( \rho +p \right)dt$$ Тоді знайдемо $$\dot{H}=-4\pi G\left( \rho +p \right).$$
Легко показати, що система рівнянь $$\dot{H}=-4\pi G\left( \rho +p \right);$$ $$\dot{\rho }+3H\left( \rho +p \right)=0,$$ еквівалентна стандартній системі рівнянь Фрідмана $$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$ $$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +3p).$$ Для отримання рівнянь Фрідмана в просторово неплоскому Всесвіті необхідно як голографічний екран вибрати габблівський радіус для кривого простору, описуваного метрикою $FRW.$ $$ds^2=dt^2-a^2(t)\left[ \frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2 \right) \right]$$
Для цього розгляньмо фотон, що рухається в радіальному напрямку $\left( d\theta =d\varphi =0 \right)$ і згадаймо, що йому відповідає ізотропний інтервал $ds^2=0.$ Зазначимо також, що справжня, фізична відстань $R,$ пов’язана з координатною простим співвідношенням $\vec{R}=a\vec{r}$. Умова $ds^2=0$ приводить до рівняння $$h_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }=0,$$ де введено позначення $$ h_{\alpha \beta }=diag\left( 1,-\frac{a^2}{1-kr^2} \right) $$ Звідки неважко отримати $$ 1-\frac{a^2r^2\dot{a}^{2}}{1-kr^2}=0 $$ Тоді $$ 1=a^2r^2\left( H^2+\frac{k}{a^2} \right)=R^2\left( H^2+\frac{k}{a^2} \right) $$ Отже, фізична відстань до видимого горизонту матиме вигляд $$R_H=\frac{1}{\sqrt{H^2+\frac{k}{a^2}}}$$ Повторюючи всі викладки, аналогічні до виконаних вище, і підставляючи як $R_H$ вираз для $R_H$ у неплоскому просторі, отримаємо $$\dot{H}=-4\pi G(\rho +p)+\frac{k}{a^2}$$ Що разом із рівнянням збереження еквівалентне системі $$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k}{a^2};$$ $$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +3p)$$
Наприкінці цього розділу хочеться зробити кілька уточнювальних зауважень. По-перше, у недосвідченого читача може виникнути відчуття, що при записі метрики $FRW$ було використано ЗТВ і, отже, поняття гравітації. Хочеться підкреслити, що це не так: метрика — суто геометричне поняття, яке вперше у фізиці почали використовувати в контексті ЗТВ. Уся теорія відносності міститься виключно в конкретному вигляді функції $a(t)$, яку можна знайти, розв’язуючи рівняння Фрідмана.
Лише зареєстровані користувачі можуть залишати коментарі. Увійдіть або зареєструйтеся.
Коментарі (0):