Парадоксы возникают лишь тогда, когда исследователь не удовлетворяется физическим уровнем теории, когда он ставит такие вопросы, которые в физике ставить не принято, другими словами - когда он берет на себя смелость попытаться выйти за пределы физики. Этот очерк является продолжением статьи Жизнь в квантовом мире. Приобретенных нами познаний достаточно для того, чтобы рассказать о судьбе Шредингеровой кошки, которая так нравилась Эйнштейну.

— А простите... это ты ... это вы ... — он сбился, не зная, как обращаться к коту, на «ты» или на «вы», вы — тот самый кот, что садились в трамвай?
Я, — подтвердил польщенный кот и добавил: — Приятно слышать, что вы так вежливо обращаетесь с котом. Котам обычно почему-то говорят «ты», хотя ни один кот никогда ни с кем не пил брудершафта.
М. Булгаков

Это представление, однако, красивейшим образом опровергается твоей радиоактивной системой: атом + счетчик Гейгера, усилитель + взрывчатка + кошка — в одном ящике, причем $\Psi-$функция системы содержит кошку как в живом виде, так и распавшейся на составные части. Создаётся ли состояние кошки физиком, который в определённое время исследует вопрос? На самом деле никто не сомневается, что наличие или отсутствие кошки — нечто независимое от акта наблюдения. Но тогда описание с помощью $\Psi-$функции неполное, и должно существовать более полное описание. Кто хочет рассматривать квантовую теорию (в принципе) как окончательную, тот должен полагать, что более полное описание бесцельно, потому что для него невозможно установить законов. Если бы это было так ... это было бы очень печально.

За пятнадцать лет шутовской пример Шредингера приобрел в памяти Эйнштейна характер катастрофы, но все же попробуем выяснить, о какой $\Psi-$функции здесь говорится. Очень трудно описать все многообразие состояний кошки, но сейчас интересны главные: кошка жива и кошка мертва. Эти состояния связаны с двумя состояниями колбы: колба цела и колба разбита. Векторы состояний кошки и колбы лежат в двухмерных гильбертовых пространствах $H_1$ и $H_1.$ Их можно считать пространствами функций $u(\sigma)$ и $w(\sigma)$ дискретной переменной, принимающей два значения. В каждом из этих пространств можно выбрать базисы $f(s,\sigma)$ состоящие из собственных векторов операторов $\widehat{M}_1,\widehat{M}_2$ с собственными значениями $s=\pm 1.$

Установим такое соответствие:
$u(1,\sigma)\leftrightarrow $ кошка жива; $u(-1,\sigma)\leftrightarrow $ кошка мертва;
$w(1,\sigma)\leftrightarrow $ колба разбита; $w(-1,\sigma)\leftrightarrow $ колба цела.
Произвольный вектор состояния системы «кошка + колба» можно представить в форме
$$ \Psi(\sigma_1,\sigma_2)=\sum_{s_1,s_2}u(s_1,\sigma_1)w(s_2,\sigma_2)c(s_1,\sigma_2).$$
Несовместимость кошки и синильной кислоты означает, что вектор $\Psi$ должен иметь вид
$$ \Psi(\sigma_1,\sigma_2)=\sum_{s_1,s_2}u(s_1,\sigma_1)w(s_2,\sigma_2)c(s_1,\sigma_2)=u(1,\sigma_1)w(-1,\sigma_2)a+u(-1,\sigma_1)w(1,\sigma_2)b,$$ $$a^2+b^2=1.$$
Состояние кошки описывается матрицей плотности

$$\rho_1(\sigma,\sigma ')=\sum_{\sigma_2}\Psi(\sigma,\sigma_2)\Psi(\sigma',\sigma_2)^*=u(1,\sigma)u^*(1,\sigma)|a|^2+u(-1,\sigma)u^*(-1,\sigma)|b|^2.$$
Вероятность найти кошку живой равна $|a|^2.$ Колба имеет матрицу плотности
$$\rho_2(\sigma,\sigma ')=\sum_{\sigma_1}\Psi(\sigma_1,\sigma)\Psi(\sigma_1,\sigma')^*=w(-1,\sigma)w^*(-1,\sigma')|a|^2+w(1,\sigma)u^*(-1,\sigma')|b|^2.$$

Вероятность того, что колба цела, равна вероятности обнаружить кошку живой. Шредингер считал, что в его примере неопределённость, ограниченная первоначально атомными размерами, превращается в макроскопическую неопределённость, которая поддаётся разрешению прямым наблюдением. Это препятствует нам выдавать в такой наивной форме «размытую модель» за отображение действительности. Сама по себе она не содержит чего-либо неясного или непротиворечивого. Это различие между сдвинувшейся или нерезко сфокусированной фотографией и снимком облаков или дымовых туманов. Между тем этот пример только подтверждает здравый смысл квантовой механики, как и утверждения Эйнштейна о том, что волновая функция не дает полного описания действительности. Однако все встаёт на свои места, если обратиться к матрице плотности. Последовательное использование этого формализма делает излишним тревожный вопрос: «Создается ли состояние кошки физиком, который в определённое время исследует содержимое сейфа»? Понятие матрицы плотности фактически для того и было определено, чтобы никто не сомневался, «что наличие или отсутствие кошки — нечто независимое от акта наблюдения».

Итак, парадокс Шредингера был вполне удовлетворительно разрешен за несколько лет до того, как был изобретён. Одним из странных обстоятельств является существование в наше время таких рассуждений [Peres 1974]:

Рассмотрим парадокс Шредингера: пусть некоторое автоматическое устройство, запускаемое распадом радиоактивного ядра, убивает кошку. Вначале все ядра целы и кошка жива. Через некоторое время, в силу уравнения Шредингера, ядра оказываются в суперпозиции состояний: начального (когда кошка жива) и совокупности ортогональных к начальному состояний (им соответствует мертвая кошка). Как чувствует себя кошка? Решение этого парадокса состоит в том, что суперпозиция состояний относится не к единичному ядру, но к большому числу одинаково приготовленных ядер и столь же большому числу кошек. По прошествии времени $t$ доля живых кошек будет равна $e^{-\lambda t}$ Мы не в состоянии предсказать заранее, какая кошка выживет, в каждый момент кошка будет, несомненно, или жива, или мертва. Любая попытка определить состояние индивидуальной системы, которое справедливо для ансамблей, ведет к парадоксам и противоречиям.

Когда вдруг слышишь подобные рассуждения, то единственной здоровой реакцией может быть только оцепенение. Однако такой ход мыслей посвящён именем Эйнштейна. Именно он в 1936 году заложил основы современного понятия о квантовых ансамблях [Einstein 1936]. Приведем здесь свой, может быть, несколько фукидидовский перевод отдельных мест английского текста, касающихся квантовой механики. Эйнштейн напоминает, что существование кванта действия приводит к тому, что энергия системы может принимать только вполне определённые дискретные значения. При попытках объяснить это явление теория теряет возможность описать переход системы из одного состояния в другое в терминах причинных законов. Удаётся лишь сформулировать некоторые статистические закономерности, аналогичные законам распада радиоактивных ядер. Первые два десятилетия XX века физики тщетно пытались дать последовательное объяснение квантовых свойств систем и явлений, пока эти попытки не увенчались успехом с помощью двух совершенно различных теоретических подходов.

Первый из них принадлежит Гайзенбергу и Дираку, второй де Бройлю и Шредингеру. Математическая эквивалентность их была вскоре доказана Шредингером. Я попытаюсь изложить ход мысли Шредингера(Эйнштейн своим авторитетом укрепляет миф об эквивалентности частных результатов Шредингера квантовой теории), который ближе физическому способу мышления, и сопроводить изложение некоторыми общими соображениями.

Первый вопрос: как сопоставить дискретную последовательность значений энергии $H_\sigma$ с системой, энергия которой определяется по правилам классической механики (с помощью функции Гамильтона, которая зависит от координат $q_r$ и соответствующих импульсов $p_r$)?

Поскольку постоянная Планка связывает с энергией частоту $\frac{H_\sigma}{\hbar},$ то системе достаточно приписать дискретную последовательность частот. Уместно вспомнить, что в акустике набор дискретных частот связан с линейным дифференциальным уравнением, а именно, с периодическими решениями этого уравнения. Это привело Шредингера к мысли сопоставить частоты с уравнением в частных производных, которое соответствует классической функции Гамильтона $H(q_r,p_r).$ Он преуспел в этом, показав, что те теоретические значения энергии $H_\sigma,$ которые требует статистическая теория, получаются вполне удовлетворительно из условия периодичности решения. Поскольку с решением уравнения Шредингера — $\Psi(q_r,t)$ невозможно связать какое-либо движение материальных точек, согласованное с классической механикой, то $\Psi-$функция не определяет точную картину зависимости $q_r$ от времени $t.$

Однако, как показал Борн, функция $\Psi$ допускает такую физическую интерпретацию: $\Psi^*\Psi$ (квадрат абсолютного значения комплексной функции $\Psi$) — это плотность вероятности распределения координат $q_r$ в момент времени $t.$

Говоря не совсем точно, но наглядно, можно сформулировать следующее: уравнение Шредингера определяет, как изменяется во времени плотность распределения статистического ансамбля рассматриваемых систем. Вольность обращения с $\Psi-$функцией превосходит все примеры Шредингера. Это не удивительно: Эйнштейн, как и Шредингер, хочет связать с ней некое материальное поле. Далее Эйнштейн объясняет, почему статистическая интерпретация, предложенная Борном, является единственно возможной.

Волновая функция $\Psi$ ни в коей мере не описывает одну систему, она связана с «ансамблем систем» в смысле статистической механики. Если, исключая отдельные случаи, $\Psi-$функция снабжает нас только статистическими данными, то причина этого лежит не только в том, что операция измерения привносит неизвестные элементы, которые можно понять только статистически, но именно в том обстоятельстве, что $\Psi-$функция не описывает состояния одной системы.

Такое истолкование объясняет следующий парадокс. Рассмотрим систему, состоящую из двух подсистем $A$ и $B,$ которые взаимодействуют друг с другом только в течение некоторого конечного промежутка времени. Предположим, что мы знаем $\Psi-$функцию системы перед взаимодействием. Уравнение Шредингера снабдит нас $\Psi-$функцией после взаимодействия. Выполним измерения, которые позволят найти состояние системы $A$ с максимально возможной точностью. Тогда аппарат квантовой механики позволит определить $\Psi-$функцию системы $B$ на основании результатов измерения подсистемы $A$ и знания о $\Psi-$функции всей системы.

Это определение, однако, приводит к результату, который зависит от того, в терминах каких величин мы определили состояние подсистемы $A$ (например, координат или импульсов). Поскольку подсистема $B$ находится только в одном состоянии, и это состояние не может зависеть от того, какие измерения произведены в системе $A$, которая может быть сколь угодно далеко отстоящей от системы $B,$ можно заключить, что $\Psi-$функция не определяет однозначно состояние системы. Сопоставление различных Ф-функций с одним и тем же состоянием системы В снова показывает, что $\Psi-$функцию нельзя рассматривать как величину, дающую полное описание отдельной системы. Трудности преодолеваются после сопоставления $\Psi-$функции с ансамблем систем. Такая точка зрения заставляет Эйнштейна следующим образом определить измерение:

Операция измерения системы $A$ влечет за собой переход к более узкому кругу систем. Новый ансамбль (как и $\Psi-$функция) зависит от критериев, которые определяют сужение ансамбля.
Если вспомнить, как теория ансамбля объясняет парадокс кошки, то можно сказать, что теперь парадоксов в квантовой механике не существует. Правда, такое толкование волновой функции может показаться по-детски прямолинейным, но всегда можно объяснить, почему волновая функция связана с ансамблем и более правдоподобно. Прекрасный пример дают блестящие по стилю лекции Мандельштама [Мандельштам 1939].

Сначала излагаются идеи, под которыми подписался бы и сам Гайзенберг.
В настоящее время установили (или думают, что установили), что $|\Psi|^2dx$ — вероятность нахождения частицы в интервале $(x, x + dx).$ А что такое $x?$ $x$ — координата. ...и в первом утверждении, и во втором есть... самообман. Если я в классике говорю, что $x$ есть координата данной материальной точки, то за этим определением стоит вполне ясный (Эйнштейн в 1936 году принимает точку зрения, которую он отвергал в 1927, считая неинтересной), конкретный рецепт: если я установлю соответствующим образом твердый масштаб с нанесенными по определенному рецепту делениями, то $x$ — это число на том делении, с которым в данный момент совпадает моя точка. Понятие «совпадает» для макромира считается известным. И поскольку это так, мы действительно установили рецепт для перехода от символа $x$ к реальным объектам (материальная точка, твердое тело — масштаб и т. д.). Такого рода рецепты мы называем измерениями. Если речь идет о молекулярных вопросах, такие рецепты невыполнимы принципиально, а не только практически (элементарность понятия «совпадение» стоит под вопросом из-за воздействия прибора).

Поэтому, назвав $x$ координатой, я не установил связи $x$ с природой, я только сделал вид, что установил эту связь сославшись на макромир. С такими «определениями» теория еще висит в воздухе. Правильнее было бы даже и называть $x$ не координатой, а, например, квазикоординатой. Далее, говорят, что $|\Psi|^2$ — вероятность. Допустим, что мы знаем, как измерить $x$ (хотя в действительности, на нашей стадии рассмотрения, — не знаем). Тогда создается впечатление, что смысл $|\Psi|^2$ уже вполне ясен. Однако здесь имеется недоговоренность, и, прежде чем перейти к рассмотрению этих вопросов, нужно остановиться еще на одной стороне дела. Еще одно утверждение, с которым согласится каждый: «Волновая механика — статистическая теория» — говорит Мандельштам и объясняет, что под этим нужно понимать.

И, наконец:

Для «... определения микромеханического коллектива, к которому и относится $\Psi-$функция, достаточно указать (фиксировать) макроскопические параметры». Но ведь принцип дополнительности говорит лишь о том, что последнее звено измерений должно быть макроскопическим. Ни Бор, ни Гайзенберг с их трезвым мышлением не могли придумать микроколлективов. Таким образом, утверждение о коллективах, если оно и есть в волновой механике, должно было проникнуть в нее позже. Но где и когда? В лучших традициях «волновой механики» считается, отвечать на такие вопросы не нужно.
Самое поразительное здесь то, что при анализе EPR-napaдокса Мандельштам совершенно правильно указал на ошибку авторов. Но произошло это потому, что он обратился к результатам фон Неймана.
Рассматриваемое Эйнштейном состояние систем I и II описывается волновой функцией $\Psi$, но по отношению к каждой из систем в отдельности оно является смесью.

На этом можно остановиться, но Мандельштам ищет в задаче ансамбль.
Уточнить это описание можно, выделяя подсовокупность, описываемую волновой функцией $\Psi(x)$. Благодаря фон Нейману мы знаем, что такой функции не существует. Бор показал, что ни одна из двух частиц не обладает определенным импульсом или координатой, анализируя свой мысленный эксперимент. Им не нужно было обращаться к понятиям, которые, слава Богу, в это время не существовали. Мандельштам обращается к анализу подсовокупностей на языке ансамблей и получает тот же результат:

Физически неправильно, когда Эйнштейн говорит: «Мы измеряем систему II, не затрагивая систему I». Спрашивается, откуда система II получила свой импульс? От столкновения с системой I. Значит, если мы берем только те случаи, когда система II обладает некоторым определенным импульсом, то мы берем тем самым лишь определенные удары со стороны системы I. Если же у системы II определенная координата, то она получила от системы I другие удары, или, точнее, удары, получаемые ею от системы I, не являются определенными. Таким образом, здесь просто неправильно применена теория вероятноетей, и никакого повода к пересмотру волновой механики возражение Эйнштейна не дает. Все это напоминает анализ Фарри и грешит теми же неточностями. Трудно сказать, как бы реагировал на него Эйнштейн. Пожалуй, точнее всего считать этот анализ примером того, как совершенно излишнее и не определенное точно понятие способно запутать ясный вопрос.

Примерно к таким же выводам пришел и Фок, который специально изучал смысл утверждений, на которых покоится учение о квантовых ансамблях [Фок 1952]. Обычно при определении квантовых ансамблей принимается тот или другой набор из трех утверждений.

(а) Ансамбль есть набор частиц, которые независимо друг от друга находятся в одном и том же состоянии, характеризуемом волновой функцией $\Psi$.
(б) Состояние частицы следует понимать как принадлежность к определенному ансамблю.
(в) Волновая функция не относится к отдельной частице.

Очевидно, что пары (а)-(в), как и (а)-(б), противоречат друг другу. При определении ансамбля нельзя сохранить все три утверждения.
Пусть ансамбль определяется одним только утверждением (а). В этом случае обращение к ансамблю может принести только изменения терминологии (например, вместо вероятности можно будет говорить о числе случаев). Никаких новых свойств или закономерностей обращение к ансамблю не выявит.

Остается последняя возможность: справедливы утверждения (б) и (в), т.е. ансамбль должен быть определен независимо, а волновую функцию частицы можно определить, только исходя из свойств ансамбля. Примерно так определял ансамбль Мандельштам, употребляя слово «статистический коллектив». Фок замечает, что

...статистический коллектив есть собрание элементов, которые можно сортировать по определенному признаку.

Таким признаком является значение той или иной физической величины. Но в отличие от классического кван-тово-механический объект может и вообще не обладать определенными значениями той физической величины, по которым должна производиться сортировка в данном коллективе.

Поэтому в качестве элемента статистического коллектива нельзя брать самый объект, а приходится брать результат некоторого измерения той величины, по значениям которой производится сортировка. Если считать, что любое измерение всегда, в конце концов, макроскопично, то квантовый ансамбль (как предполагает, например, Мандельштам) всегда определен по отношению к классическому прибору.

Теперь остается вспомнить, что над объектом в одном и том же исходном состоянии можно производить измерения разных величин. При этом используются разные классические приборы и получаются разные статистические коллективы. Это можно выразить формулой

статистический коллектив $\equiv$ состояние объекта, тип прибора.

Ясно, что множество в правой части бесконечно.

Таким образом, если понимать ансамбль в смысле статистического коллектива, то волновой функции соответствует не один ансамбль, а бесконечное множество ансамблей. Если принять понятие статистического коллектива за первичное, то волновая функция станет чисто символическим вспомогательным понятием, координирующим распределение вероятностей во множестве статистических коллективов. Не говоря о невероятном усложнении картины, становится крайне сомнительным, можно ли вообще найти волновую функцию исходя из заданного множества статистических коллективов. Ни Эйнштейн, ни Мандельштам к такой задаче и не приступали. Каждый подтвердил свои знания, сформулированные в некоторых правилах обращения с волновой функцией, усвоенные еще до открытия золотых россыпей квантовых ансамблей.

В истории с ансамблями поражает одно обстоятельство: никто из творцов этих понятий не задумался, как, исходя из некоторого статистического коллектива, можно получить понятие о существовании недоступных классической физике стандартов точности. В начале XX века размышления над этим обстоятельством привели к открытию квантовой механики, а в его конце — к созданию новых технологий, в значительной степени изменивших образ жизни человечества. Произошло это потому, что никто, при проектировании новых экспериментов об ансамблях не думал. Если принять точку зрения первичности ансамблей, то вся деятельность в этом направлении может стать чем-то похожей на контрабанду.

Все встает на свои места, если вновь вспомнить об основах квантовой теории. Приняв в качестве кинематического постулата сопоставление физических величин и линейных операторов, квантовая теория строго установила существование физических величин, принимающих только дискретные значения. В классической механике таких величин просто не может быть, поскольку все они должны быть достаточно гладкими функциями непрерывно изменяющихся координат и импульсов.

Желая получить максимальную информацию о системе, следует измерять величину с чисто дискретным спектром (каких в классической механике нет). Если измерение покажет, что она имеет точное значение (для такого умозаключения не нужно использовать какие-либо физические модели — это дело науки об обработке результатов измерений), то естественно считать, что эксперимент указал на такое состояние системы, свойства которого уже нельзя уточнить. Это и есть чистое состояние. Если определить плотность распределения измеряемой величины, то в найденном чистом состоянии она сведется к $\delta-$функции. Пока в теории нет никакой статистичности, которую не знают в классической механике. Если построить теорию, в которой фигурировали бы только одновременно измеряемые с произвольной точностью величины, то получилась бы динамическая схема, в которой есть состояния, в которых все наблюдаемые имеют точные значения, спектр этих наблюдаемых дискретен. Однако такая конструкция ни в чем не может походить на классическую динамику. Классическая динамика для своей формулировки требует существования, по крайней мере, двух независимых величин, совместное изменение которых определяет эволюцию системы.

В схеме, содержащей только соизмеримые величины, в силу уравнений Гайзенберга не было бы никаких изменений во времени. Упрямец может попытаться заменить уравнения Гайзенберга другими уравнениями, но вряд ли из этого может получиться что-либо путное. Причина этого снова кроется в чисто математической теореме: два коммутирующих оператора можно рассматривать как две функции одного оператора. Именно наличие наблюдаемых с некоммутирующими операторами (т. е. наблюдаемых, которые нельзя одновременно измерить сколь угодно точно) вносит в теорию статистичность, которая не сводится к классической. Однако это обстоятельство не препятствует физикам искать (и находить) состояния, в которых некоторые величины имеют точные значения. Именно такие состояния можно определить в терминах $\Psi-2$функций. Если это квадратично интегрируемая функция $\Psi(r)$, на которую оператор координаты действует как оператор умножения, то $|\Psi(r)|^2$ будет иметь смысл плотности распределения координат. Однако во избежание недоразумений было бы предусмотрительно снабжать функцию $\Psi$ дополнительным индексом, который указывает на значение наблюдаемой с дискретным спектром $\widehat{F},$ определяющего эту функцию

$$\Psi(r)\Rightarrow \Psi_f(r)$$
и говорить следующее:
$|\Psi(r)|^2$ есть плотность распределения координаты при условии, что наблюдаемая $\widehat{F}$ с чисто дискретным невырожденным спектром имеет точное значение $f$.

Нет комментариев.

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите или зарегистрируйтесь пожалуйста.