Наскільки сильно далекі області Всесвіту можуть відрізнятися від нашого місцевого космічного оточення? Оскільки кожен острівний всесвіт нескінченний з погляду його мешканців, його можна поділити на нескінченне число областей такого самого розміру, як спостережувана нами частина Всесвіту. Для стислості ми назвали їх "O-регіонами". Перед прочитанням бажано ознайомитися з
Уявіть собі нескінченний простір, заповнений гігантськими сферами діаметром по 8о мільярдів світлових років. Кожна сфера — це О-регіон. Сфери розширюються разом із Всесвітом, тому в минулому вони були меншими. У момент Великого вибуху, тобто наприкінці інфляції, усі ці О-регіони виглядали надзвичайно схоже. Але в деталях вони відрізнялися. Невеликі збурення густини, породжені випадковими квантовими флуктуаціями під час інфляції, відрізняються від регіону до регіону. Оскільки ці збурення посилюються гравітацією, макроскопічні властивості О-регіонів починають розходитися. На час утворення галактик О-регіони вже помітно відрізняються особливостями розподілу галактик, хоча статистично вони все ще дуже схожі один на одного. Подальший розвиток життя й розуму, що залежав від випадкових обставин, призводив до подальшого розходження властивостей. Тож можна очікувати, що історії О-регіонів дуже сильно відрізнятимуться.
Ключовим моментом є те, що кількість різних конфігурацій матерії в будь-якому О-регіоні — або, точніше кажучи, у будь-якій скінченній системі — обмежена. Може здаватися, що довільні малі зміни, які можна внести в систему, породжують нескінченну кількість можливостей. Але це не так. Якщо я пересуну свій стілець на 1 сантиметр, я зміню стан усього О-регіону. Я міг би пересунути його на 0,9, 0,99, 0,999 і т. д. сантиметра — це нескінченна послідовність можливих зміщень, що дедалі більше наближається до 1 сантиметра. Проблема, однак, у тому, що зміщення, надто близькі за величиною, неможливо розрізнити навіть теоретично через квантово-механічну невизначеність.
У класичній ньютонівській механіці стан фізичної системи можна описати, зазначивши положення і швидкості всіх частинок, що її складають. Тепер ми знаємо, що такий опис можна використовувати тільки для макроскопічних, масивних об’єктів, і навіть тоді він залишається лише наближеним. У квантовому світі частинки за самою своєю природою розмиті й не можуть бути точно локалізовані.
Основою квантової фізики є принцип невизначеності, відкритий у 1927 році Вернером Гейзенбергом. Він стверджує, що не можна одночасно точно виміряти положення і швидкість частинки. Що точніше ми вимірюємо положення, то більшою виявляється невизначеність швидкості. Якщо положення виміряно точно, швидкість виявляється цілком невизначеною, і навпаки — якщо ми точно виміряємо швидкість, то не матимемо жодного уявлення, де перебуває частинка.
$$ \Delta x \Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2} $$
Гейзенберг запропонував таке інтуїтивно зрозуміле пояснення невизначеності. Найпростіший спосіб з’ясувати положення частинки — посвіти́ти на неї. Світлові хвилі розсіюватимуться частинкою в усіх напрямках. Деякі з них помітять наші очі або вимірювальна апаратура, і ми побачимо, де перебуває частинка. Її зображення, отримане таким способом, не буде ідеально чітким: деталі, менші за довжину хвилі, неодмінно виявляться розмитими, тож положення не можна буде виміряти точніше, ніж до довжини хвилі. Щоб упоратися з цією складністю, нам доведеться використовувати дедалі короткохвильовіше світло, але тут вступає в дію квантова природа світла. Воно складається з фотонів, енергія яких обернено пропорційна довжині хвилі. Коли частинку освітлюють дуже короткохвильовим світлом, вона опиняється під обстрілом дуже енергійних фотонів. Під впливом їхніх ударів вона зазнає віддачі, через що її швидкість змінюється. Ця віддача — джерело невизначеності: що більшої точності ми хочемо досягти під час вимірювання положення, то короткохвильовіше світло ми повинні використовувати і то сильнішим буде його вплив на спостережувану частинку.
Навіть якщо нас не цікавить швидкість частинки, міркування Гейзенберга вказують, що для підвищення точності локалізації частинки нам знадобиться дедалі більше енергії. У будь-якій реальній фізичній системі з обмеженою енергією точність визначення положення теж обмежена. Тож ми не можемо ідеально точно вказати положення частинок, а змушені використовувати крупнозернистий опис. Припустімо, що об’єм нашого О-регіону поділено на кубічні комірки розміром, скажімо, 1 сантиметр кожна. Крупнозернистий опис стану полягає в зазначенні комірок, які займає кожна частинка в регіоні. Точніший опис вийде, якщо ми зменшимо розмір комірок. Однак для такого уточнення є межа, оскільки енергетична ціна локалізації частинок у маленьких комірках зрештою перевищить усю доступну енергію О-регіону.
Очевидно, що кількість способів, якими можна розподілити скінченну кількість частинок по скінченній кількості комірок, теж скінченна. Виходить, матерія, що заповнює наш О-регіон, може перебувати лише у скінченній кількості різних станів. Дуже грубо це число можна оцінити як 10 у степені $10^{90}$, тобто одиниця, за якою йде $10^{90}$ нулів — набагато більше, ніж умістилося б на сторінках цієї книги. Це фантастично величезне число, але для нас важливо, що воно все ж скінченне.
Функціональний інтеграл
Функціональний інтеграл (континуальний інтеграл, інтеграл за траєкторіями, фейнманівський інтеграл за траєкторіями) — запис або результат функціонального інтегрування (інтегрування за траєкторіями). Найширше застосовується у квантовій фізиці (квантовій теорії поля, теорії струн і т. д.) і статистичній фізиці, а також під час вивчення низки класів стохастичних процесів загалом.
Під функціональним інтегруванням формально мають на увазі обчислення інтеграла деякого функціонала $\Phi$ за простором функцій $x(t)$ або якоюсь його підмножиною.
Найтиповішим прикладом області інтегрування в просторі функцій є множина всіх функцій заданого простору, що задовольняють умову фіксації їхніх значень у двох точках (на кінцях відрізка) такого простору: $$\int D x\ \Phi[x],$$ який визначається як границя (скінченновимірного) інтеграла за простором деяких скінченновимірних апроксимацій функцій $x(t)$ за прямування вимірності цих апроксимацій до нескінченності; звичайний і найпростіший спосіб полягає в розгляді функції $x$ на скінченній множині точок $t_1, t_2,\dots,t_N,$ визначаючи тоді функціональний інтеграл у найпростішому випадку рівномірного розбиття, яким можна й обмежитися, як $$\lim_{N\to\infty}\int\int\dots\int dx_1 dx_2 \dots dx_N \Phi[{x_1,x_2,\dots,x_N}],$$ де під $$\Phi[{x_1,x_2,\dots,x_N}]$$ мається на увазі відповідна апроксимація функціонала $\Phi[x],$ інтегрування ж мається на увазі окремо за $$x_1, x_2, \dots,x_N$$ від $-\infty$ до $+\infty$ (у разі фіксованих $x_1$ і $x_N$ за ними інтегрувати не потрібно).
Коректність уже цього визначення перебуває під питанням у тому сенсі, що навіть для багатьох випадків, які становлять фізичний інтерес, не кажучи вже про загальнішу постановку питання, не доведено самого існування границі (зокрема, її однаковості за вибору різних типів розбиття; більше того, у низці прикладів різні типи дають різний результат), а в багатьох випадках немає способу вказати чіткі критерії вибору «правильного» типу розбиття, який приведе саме до потрібного результату, а отже, коректність визначення міри інтегрування не доведена навіть для багатьох випадків, які становлять фізичний інтерес, принаймні у звичайному розумінні.
Також серйозну складність становить точне обчислення таких інтегралів (за винятком гауссового випадку). Проте вже те, що точно обчислюються хоча б інтеграли гауссового типу, дає дуже багато для застосування методу функціонального інтегрування. Зокрема, цей результат можна взяти за визначення функціонального інтеграла для цього випадку й довести, що, будучи так визначеним, він справді має властивості інтеграла: допускає інтегрування частинами, заміни змінних і т. д.
Обчислення функціонального інтеграла зазвичай зводиться до того, щоб обчислити суму (суперпозицію) деякої величини (зазвичай це ймовірність для класичної статфізики або амплітуда ймовірності для квантової механіки) за «всіма» траєкторіями (тобто за всіма доступними класичній частинці у випадку броунівського руху і за всіма, які можна уявити, у випадку квантової механіки).
Поки що все йде непогано. Є, щоправда, одна складність: далекі регіони можуть містити більше матерії та енергії, ніж наш. Рідкісні великі квантові флуктуації під час інфляції іноді породжують сильно переущільнені регіони, повні високоенергетичних частинок. Зі зростанням їхньої енергії кількість можливих станів теж зростає. Але лише до певної межі. Якщо накачувати в регіон дедалі більше енергії, його гравітація посилюватиметься, і зрештою він цілком перетвориться на чорну діру. Таким чином, гравітація встановлює абсолютну верхню межу кількості можливих станів регіону даного розміру незалежно від його вмісту.
Точне значення цієї межі ще належить установити. Уперше про неї заговорив Якоб Бекенштейн (Jacob Bekenstein) у 1980-х роках, а потім вона з’явилася в працях із суперструн Герарда Гофта (Gerard't Hooft), Леонарда Сасскінда (Leonard Susskind) та інших. У роботі Бекенштейна припускалося, що максимальна кількість станів у регіоні залежить тільки від його меж. Для О-регіону виходило значення 10 у степені $10^{123}$, (1 з більш ніж гуголом нулів!).
Підрахунок історій
Але скінченною є не тільки кількість різних станів О-регіону — те саме можна сказати й про кількість його можливих історій.
Історія описується ланцюжком станів у послідовні моменти часу. Такі поняття, як історія, вочевидь, дуже сильно відрізняються у квантовій і класичній фізиці (Це обмеження не застосовується до областей, що перевищують розміри космічного горизонту. Припускається, що на межі воно застосовне до О-регіону, який за розмірами збігається з горизонтом.). У квантовому світі майбутнє не визначається однозначно минулим. Одні й ті самі початкові умови можуть вести до безлічі різних результатів, і ми можемо підраховувати лише їхні ймовірності. Унаслідок цього діапазон можливостей значно розширюється. Але квантова невизначеність знову не дає нам змоги розрізнити історії, які надто схожі одна на одну.
Це справді дуже гарна ідея. Відповідно до філософії інтегралів за траєкторіями, ми не лише отримуємо, що класична історія дає основний внесок у повну амплітуду (а отже, і в повну ймовірність), а й знаходимо менші квантові поправки до класичної поведінки, що виникають через наявність не цілком класичних історій, внески яких не цілком гасять один одного; такі поправки часто можна спостерігати експериментально.
Хоча в наведеному вище описі йшлося про точкову частинку, що рухається в силовому полі, ці ідеї виявляються цілком загальними і їх можна застосовувати як до динаміки полів, так і до руху частинок. Тут знову-таки «історії полів», що представляють класичні розв’язки рівнянь поля, дають основний внесок, до якого існують квантові поправки, зумовлені не цілком класичними історіями.
Квантова частинка, як правило, не має однозначно визначеної історії. Це не дивно, оскільки, як ми знаємо, вона не має й чітко визначеного положення. Але невизначеність не означає, що ми просто не знаємо, яким шляхом рухається частинка від свого джерела до детектора. Ситуація набагато дивовижніша: схоже, що частинка рухається одночасно безліччю різних шляхів і всі вони роблять свій внесок у результат процесу.
Цю шизофренічну поведінку найкраще ілюструє знаменитий двощілинний експеримент (рис. 11.4). Установка складається з джерела світла і фотопластинки, яка закрита непрозорим екраном із двома вузькими щілинами. Світло проходить крізь щілини і створює зображення на пластинці. Експеримент уперше здійснив на початку XIX століття англійський фізик Томас Юнг. Він виявив, що зображення складається зі світлих і темних смуг, які чергуються. Світло від обох щілин падає на всі точки фотопластинки. Але в одні місця світлові хвилі приходять у фазі (гребені та западини двох хвиль збігаються), підсилюючи одна одну, тоді як в інших місцях вони опиняються в протифазі (гребені однієї хвилі припадають на западини іншої) і взаємно гасяться. Так візерунок зі смуг пояснюється хвильовою природою світла.
Дивовижні речі починаються, коли ми зменшуємо інтенсивність джерела світла до такого рівня, що фотони випромінюються ним поштучно — один за одним. Кожен фотон залишає цятку на фотопластинці. Спочатку вони розташовуються
безладно, але вражає те, що через деякий час вони складаються у візерунок, який точно збігається зі смугами, отриманими раніше. Фотони потрапляють на екран поодинці, тому ті, що пройшли крізь одну щілину, не можуть взаємодіяти з тими, що пройшли крізь іншу. Але як тоді їм вдається "підсилювати" або "гасити" один одного?
Щоб глибше розібратися в питанні, можна подивитися, що станеться, якщо змусити фотони проходити крізь одну або крізь іншу щілину. Припустімо, ми проводимо експеримент, відкривши лише одну щілину, а потім на такий самий час відкриваємо іншу, не змінюючи фотопластинку. Оскільки фотони проходять крізь установку по одному, це не повинно нічого змінити, і ми очікуємо отримати той самий візерунок. Правильно? Ні. У цій зміненій версії експерименту жодних смуг не спостерігається, а на знімку будуть лише обриси двох щілин.
Звідси випливає, що уявлення, ніби фотон проходить крізь одну зі щілин, не зважаючи на те, чи відкрита інша, є хибним. Коли відкриті обидві щілини, фотон якимось чином "відчуває" дві можливі історії, якими він може рухатися. Вони спільно визначають імовірність того, що фотон потрапить у конкретне місце на пластинці. Це явище називається квантовою інтерференцією між історіями.
Квантова інтерференція рідко проявляється так наочно, як у двощілинному експерименті, але вона впливає на поведінку кожної частинки у Всесвіті. Рухаючись з одного місця в інше, частинки "вивідують" безліч різних маршрутів, тож замість чітко визначеного минулого ми маємо заплутану мережу історій, що інтерферують.
Як тоді можна бути впевненим, що певна подія справді відбулася? Як надати змісту поняттю історії? Відповідь знову повертає нас до грубозернистого опису.
Як і раніше, поділимо простір на маленькі комірки і задамо грубозернистий стан системи (О-регіону в нашому випадку), вказавши "адреси" комірок для всіх частинок. Грубозерниста історія задається послідовністю таких станів через рівні інтервали часу, наприклад, кожні дві секунди. Підкреслимо важливий момент: ефект інтерференції зазвичай сильний лише для дуже близьких одна до одної історій. Якщо збільшувати розміри комірок та інтервали часу, то різні грубозернисті історії дедалі сильніше відрізнятимуться одна від одної, і в певний момент їхня інтерференція виявиться цілком мізерною. Після цього можна говорити про альтернативні історії системи.
Формалізм квантової механіки в термінах грубозернистих історій був розроблений відносно недавно, у 1990-х роках, Робертом Гриффітсом, Роланом Омне, Джеймсом Гартлом і Мюрреєм Гелл-Манном (Robert Griffiths, Roland Omnes, James Hartle and Murray Gell-Mann). Вони виявили, зокрема, що мінімальний розмір комірок, за якого ще можна говорити про визначеність історії, як правило, є мікроскопічним, а мінімальний інтервал часу — це крихітна частка секунди. Не дивно, що в макроскопічному світі людського досвіду історія видається добре визначеною.
Грубозерниста історія відбувається за скінченне число кроків, і будь-яка обмежена в часі історія має складатися зі скінченного числа моментів. У кожен момент система може перебувати лише у скінченному числі станів, а отже, і число різних історій системи має бути скінченним.
Неважко отримати оцінки числа можливих історій О-регіону від Великого вибуху до наших днів. Як і слід було очікувати, вийшло ще одне "гуголплексне" число: 10 у степені $10^{150}.$ Реальна кількість квантових станів та історій О-регіону не така важлива, але скінченність їхнього числа має важливі наслідки для нашого обговорення.
Уривок із книги А. Віленкіна "Many Worlds in One: The Search for Other Universes"
Лише зареєстровані користувачі можуть залишати коментарі. Увійдіть або зареєструйтеся.
Коментарі (0):