Гіпотеза великих чисел Дірака та еволюція констант

Гіпотеза великих чисел стала результатом досліджень Поля Дірака в 1937 році. У той період П. Дірак вивчав відношення сил і параметрів різних масштабів. Ці відношення виражаються великими безрозмірними числами: близько 40 порядків величини.

Володимир Авданін

Санкт-Петербург, Росія

Вступ

Так, наприклад, відношення кулонівської сили до сили тяжіння між протоном і електроном прийнято позначати через D_o:

${{D}_{o}}=\frac{{{F}_{C}}}{{{F}_{G}}}\,\,\approx \,2.27\cdot {{10}^{39}}$ (1)

Згідно з гіпотезою Дірака, еквівалентність відношень різних величин не є простим збігом, а зумовлена залежністю фундаментальних фізичних сталих від часу, тобто від віку Всесвіту [1,2]. Найповніший виклад проблеми можна знайти в роботах [3, 4, 5]. У нашій статті основним постулатом є незмінність у ході космологічного розширення таких величин: планківських одиниць (маси, довжини та часу), сталої Планка, швидкості світла. Сталість гравітаційної сталої буде показано як наслідок прийнятого постулату. На цій підставі виконано порівняльний аналіз двох космологічних епох — сучасної та планківської (10^-43 секунди після Великого вибуху). Запропоновано залежності від часу таких фізичних величин і констант, як стала Габбла, стала тонкої структури, космологічна стала, маса, густина, відстань та ін. Зроблено висновок про сталість швидкості збільшення маси матерії Всесвіту, що дорівнює близько 4 ∙ 10 ³⁵ kg/s протягом усіх епох, починаючи з планківської. Зазначено, що в ході космологічного розширення відбувається пропорційне збільшення маси матерії та маси, що відповідає темній енергії, у результаті сумарна маса гравітаційно зв’язаного Всесвіту дорівнює нулю, що не суперечить закону збереження маси.

Радіус когерентності

Перш ніж аналізувати безрозмірні великі числа Дірака, визначимося з деякими поняттями, що використовуються в цій статті. Основним із них є поняття радіуса гравітаційної когерентності тіла, що має масу. Внаслідок існування антигравітації вакууму (темної енергії) гравітаційний вплив тіла, що має масу, хоч і поширюється нескінченно, але має цілком визначену межу дії в умовах темної енергії. Цю межу можна назвати межею гравітаційної когерентності (або зв’язаності). Ця обставина зумовлена існуванням темної енергії у Всесвіті. Як показано в роботах А. Д. Чернова [6], на деякій відстані R_o від центра мас сила відштовхування, створювана темною енергією, і сила притягання, створювана на тій самій відстані сумарною масою, що міститься у сфері цього радіуса, стануть рівними. Цей радіус R_o — це радіус гравітаційної когерентності маси, який залежить від маси й визначає межу її гравітаційного впливу. З умови рівності сил притягання та відштовхування випливає, що радіус R_o дорівнює:

${{R}_{o}}={{\left( \frac{G\,{{m}_{{}}}}{H_{o}^{2}{{\Omega }_{\Lambda }}} \right)}^{1/3}}={{\left( \frac{3{{m}_{{}}}}{8\pi \,{{\Omega }_{\Lambda }}\,{{\rho }_{c}}} \right)}^{1/3}}$ (2)

тут Ω_Λ — густина темної енергії в одиницях критичної густини ρ_c , H_o — стала Габбла, G — гравітаційна стала. Позначимо через ρ_o середню густину матерії, що міститься у сфері радіуса R_o. Назвемо її густиною когерентності:

${{\rho }_{o}}=\,\,\frac{3H_{o}^{2}}{4\pi G}{{\Omega }_{\Lambda }}=2{{\rho }_{V}}\,\approx \,1.3\cdot {{10}^{-26}}kg/{{m}^{3}}$ (3)

Тут ρ_V≈ 6.6 ∙ 10^-27 kg/m³ — густина вакууму (темної енергії). Отже, густина когерентності дорівнює подвоєному значенню густини темної енергії. Введемо позначення:

$\,{{\omega }_{o}}={{H}_{o\,}}\sqrt{{{\Omega }_{\Lambda }}}$ (4)

і запишемо вирази (2) і (3) у такій формі:

_{${{R}_{o}}={{\left( \frac{G\,{{m}_{{}}}}{\omega _{o}^{2}} \right)}^{1/3}}$} (5)

Вирази (2-5) стануть нам у пригоді під час подальшого розгляду. Тут величина ω _o≈ 1.9 ∙ 10 ^-18 s^-1 є константою і має розмірність кутової частоти. Нагадаємо, що на відміну від радіуса R_o для кожної маси m існує гравітаційний (або критичний) радіус R_G, який залежить від її значення:

 ${{R}_{G}}=\frac{2G\,{{m}_{{}}}}{c_{{}}^{2}}$                                                              (6)                                         

Гравітаційний радіус R_G і радіус когерентності R_o для заданого значення маси пов’язані таким виразом:

${{R}_{G}}=\frac{2\omega _{o}^{2}}{{{c}^{2}}}R_{o}^{3}$                                                              (7)

що показано на рис. 1. У разі рівності радіусів R_G і R_o маємо:

$r_{og}^{{}}={{R}_{G}}={{R}_{o}}=\frac{c}{\omega _{o}^{{}}\sqrt{2}}\approx \,1.1\cdot {{10}^{26}}m\approx \,11.6\,\,Gyr$                          (8)

Таким чином, для сфери з радіусом, що дорівнює 11.6 мільярдів світлових років, характерна рівність критичної густини та густини когерентності, і, отже, для неї середня густина матерії в одиницях критичної густини дорівнює Ω_M = Ω_Λ = 0,5, а маса такої області Всесвіту становитиме:

$M_{og}=\frac{{{c}^{3}}}{H_{o}^{{}}\,G\sqrt{8{{\Omega }_{\Lambda }}}}$                                                     (9)

Припустімо, що саме в області, яка відповідає радіусу r_og, відбувається зміна прискореного розширення Всесвіту на сповільнене (відповідно до часової шкали після Великого вибуху — навпаки, спочатку було сповільнення, а потім прискорення). Це підтверджується останніми даними щодо наднової SN 1997ff [9]. Саме на цій межі гравітаційний радіус «випереджає» радіус когерентності Всесвіту.

Розгляньмо далі характерні відстані у Всесвіті, пов’язані з величинами ρ_o і ω_o. За час, що дорівнює T_U= 1/ω_o, промінь світла пройде відстань:

                                                              ${{R}_{U}}\,=\,\frac{c}{{{\omega }_{o}}}\,=\sqrt{\frac{3}{\Lambda }}\approx \,1.56\cdot {{10}^{26}}m\approx \,16.3\,\,Gyr$          (10)                                         де Λ — космологічна стала. Ця відстань відповідає азимутальній (тангенціальній) швидкості, що дорівнює швидкості світла, і, як буде показано далі, є радіусом когерентності сучасного Всесвіту. Час T_U= 1/ω_o після Великого вибуху визначимо як вік Всесвіту, що відповідає сучасній епосі, на відміну від t — поточного віку в ході розширення. Звідси з урахуванням (7) гравітаційний радіус Всесвіту в сучасну епоху дорівнює R_G = 2R_U ≈ 3,12 ∙ 10 ^{26 m} ≈ 32.6 Gyr і перебуває за межами гравітаційно зв’язаної сфери (тобто ця область більше не бере активної участі в «житті» спостережуваної частини Всесвіту, не маючи з нею причинно-наслідкових зв’язків). Для кожної епохи існує своє значення радіуса Габбла, на якому матерія досягає радіальної швидкості світла в ході розширення Всесвіту:

${{R}_{H}}(t)=\frac{C}{{{H}_{o\,}}(t)}=\,\,t\sqrt{{{\Omega }_{\Lambda }}}\,\,$                                             (11)                    

У сучасну епоху R_H ≈ 1.32 ∙ 10 ²⁶ m  ≈ 13.8 Gyr за умови, що H_o ≈ 70 (km/s)/Mpc. Залежність розглянутих відстаней від часу є лінійною і представлена на рис. 2. Теоретично можна припустити, що масштаби всього Всесвіту значно більші за масштаби його спостережуваної частини. Так, за період, що дорівнює T_∞ = 2π /ω_o, промінь світла пройде відстань:

                         ${{R}_{U}}\,=\,\frac{2\pi \,c}{{{\omega }_{o}}}\,\approx \,105\,\,Gyr$

Безрозмірні числа

Наші подальші міркування ґрунтуватимемо на постулаті про незмінність планківських одиниць. Знайдемо відношення космологічних і планківських величин, а саме:  величини ω_o і планківської частоти ω_pl, далі — величини R_U і планківської довжини l_pl, а також — віку Всесвіту T_U і планківського часу t_pl. Отримаємо просту залежність:

$\frac{{{\omega }_{pl}}}{{{\omega }_{o}}}=\frac{{{R}_{U}}}{{{l}_{pl}}}=\,\frac{{{T}_{U}}}{{{t}_{pl}}}=\sqrt{\frac{3\,{{c}^{3}}}{\,\Lambda \hbar \,G\,}}$                                          (12)

Введімо позначення:

                                                                                                    ${{D}_{U}}=\,\frac{3\,{{c}^{3}}}{\,\Lambda \hbar \,G\,}$                                                  (13)

і доповнімо вираз (12) таким очевидним співвідношенням: D_U= (R_o(pl) /  l_pl)³, де R_o(pl) — це радіус когерентності планківської маси. Звідси маємо:

                                                   ${{D}_{U}}={{\left( \frac{{{\omega }_{pl}}}{{{\omega }_{o}}} \right)}^{2}}={{\left( \frac{{{R}_{U}}}{{{l}_{pl}}} \right)}^{2}}=\,{{\left( \frac{{{T}_{U}}}{{{t}_{pl}}} \right)}^{2}}={{\left( \frac{{{R}_{o(pl)}}}{{{l}_{pl}}} \right)}^{3}}\approx 9.2\cdot {{10}^{121}}$                          (14)

Отже, ми отримали ще одне велике число Дірака, яке простим чином пов’язує фізичні параметри, що характеризують сучасну та планківську епохи відповідно. Пропорційні співвідношення різних фізичних фундаментальних констант, що відповідають двом епохам — сучасній і планківській, — можна пояснити одночасною зміною параметрів у процесі розширення Всесвіту, тобто однаковою залежністю від часу. У сучасну космологічну епоху ця залежність виражається числом D_U і його похідними значеннями. Знайдемо два похідні значення:

$D_{U}^{1/2}=\,{{\left( \frac{3\,{{c}^{3}}}{\,\Lambda \hbar \,G\,} \right)}^{1/2}}\approx 9.6\cdot {{10}^{60}},\,\,\,D_{U}^{1/3}=\,{{\left( \frac{3\,{{c}^{3}}}{\,\Lambda \hbar \,G\,} \right)}^{1/3}}\approx 4.5\cdot {{10}^{40}}$

Космологічна стала Λ

З (12) випливає:                                                        

  $\Lambda =\frac{3\,}{\,l_{pl}^{2}\,}\,\,{{\left( \frac{{{t}_{pl}}}{{{T}_{U}}} \right)}^{2}}$                                                     (15)

— вираз для константи в сучасну епоху (t = T_U). Для планківської епохи (t=  t_pl) маємо:

          ${{\Lambda }_{0}}=\frac{3\,}{\,l_{pl}^{2}\,}$                                                         (16)

Таким чином, космологічна стала від моменту закінчення планківської епохи до теперішнього часу зменшилася від значення порядку 10⁷⁰ m^-2   до 10^-52 m^-2, тобто на 122 порядки величини. З (15) і (16) отримаємо:

 ${{D}_{U}}=\frac{{{\Lambda }_{0}}}{\,\Lambda \,}$                                                      (17)

Залежність константи від часу має такий вигляд:

   $\Lambda (t)\,=\frac{3}{{{c}^{2}}{{t}^{2}}}$                                                    (18)

Таким чином, у ході космологічного розширення константа Λ зменшується пропорційно квадрату часу (див. рис. 3).

Стала тонкої структури.

Після планківської епохи почалася епоха великого об’єднання, яка тривала між 10^-43 і 10^-35 s після Великого вибуху. Всесвіт розширюється й охолоджується після планківської епохи, і різні типи взаємодій починають відрізнятися один від одного за величиною. Після епохи великого об’єднання почалася епоха роздування (інфляції) — між 10^-35 і 10^-32 s після Великого вибуху. У цю епоху Всесвіт усе ще переважно заповнений випромінюванням, починають утворюватися кварки, електрони та нейтрино. Далі настає епоха електрослабких взаємодій — між 10^-32 і 10^-12 s після Великого вибуху. Електромагнітні та слабкі взаємодії поки що становлять єдину електрослабку взаємодію. У теорії електрослабкої взаємодії показано, що значення сталої тонкої структури (сила електромагнітної взаємодії) залежить від характерної енергії розглядуваного процесу. Стверджується, що стала тонкої структури логарифмічно зростає зі збільшенням енергії. Спостережуване значення сталої тонкої структури справедливе за енергій порядку маси електрона. Ми припускаємо, що таке значення сталої α сформувалося саме на межі двох епох: епохи інфляції та епохи електрослабких взаємодій.

Велике число, що враховує сталу тонкої структури α і дорівнює exp(1/α), було запропоновано в 1948 році [7]. Видається можливим використати це велике число для вираження залежності константи α від часу τ, що відповідає кінцю епохи інфляції та початку формування єдиної електрослабкої взаємодії. Для цього введімо величину, що дорівнює логарифму часу τ, вираженого в одиницях планківського часу. Залежність має такий вигляд:

                                                        $\,{{e}^{1/\alpha }}=\frac{\sqrt{D_{U}^{{}}}}{\ln (\tau /\,{{t}_{pl}})}$                                                     (19)

звідси виразимо час формування сучасного значення константи α ≈ 0.00729735..:

${{\tau }_{\alpha }}\,=\,\,{{t}_{pl}}\,{{e}^{\sqrt{D_{U}^{{}}}/{{e}^{1/\alpha }}}}\approx 3\cdot {{10}^{-31}}s$ (20)

після Великого вибуху, що відповідає кінцю епохи інфляції, що й треба було показати. Значення константи в будь-який момент часу t після Великого вибуху можна знайти за формулою:

_{$\,\alpha ={{\left[ \ln \frac{\sqrt{D_{U}^{{}}}}{\ln (t/\,{{t}_{pl}})} \right]}^{-1}}$} (21)

Сучасне значення константи також можна знайти за такою емпіричною формулою:

_{$\,\alpha =2{{\left[ \ln D_{U}^{{}}\frac{{{r}_{e}}}{{{\lambda }_{e}}} \right]}^{-1}}$} (22)

де r_e/ λ_e — відношення класичного радіуса електрона до його комптонівської довжини хвилі.

Густина матерії та енергії

У загальному вигляді густина вакууму (темної енергії) дорівнює:

${{\rho }_{\begin{smallmatrix} V \\ \end{smallmatrix}}}=\frac{\Lambda {{c}^{2}}\,}{8\pi \,G\,\,}$ (23)

Звідси з урахуванням виразу для космологічної сталої (16) отримаємо абсолютне значення густини темної енергії в планківську епоху:

Звідси випливає: $\frac{{{\rho }_{Vo}}\,\,}{{{\rho }_{V}}\,}={{D}_{U}}$ (25)

Можна записати й так: ${{\rho }_{V}}(t)\,={{\rho }_{Vo}}{{\left( \frac{{{t}_{pl}}}{t} \right)}^{2}}=\frac{3}{8\,\pi G\,{{t}^{2}}}$ (26)

Це означає, що в процесі розширення Всесвіту густина темної енергії зменшується пропорційно квадрату віку Всесвіту t, вираженого в секундах. Щоб знайти відносне значення густини темної енергії в планківську епоху в одиницях критичної густини (яка була на той момент), визначимо цю критичну густину. Запишемо значення критичної густини для маси M:

${{\rho }_{g}}=\,\frac{3c_{{}}^{6}}{32\pi \,M_{{}}^{2}{{G}^{3}}}$ (27)

За М приймемо m_pl (планківську масу) й отримаємо критичну густину ρ_co Всесвіту в планківську епоху (за умови сталості с і G):

${{\rho }_{c\,o}}=\,\frac{3c_{{}}^{5}}{32\pi \,\hbar {{G}^{2}}}$ (28)

а також отримаємо залежність критичної густини від часу:

${{\rho }_{c}}(t)\,={{\rho }_{co}}{{\left( \frac{{{t}_{pl}}}{t} \right)}^{2}}=\frac{3}{32\,\pi G\,{{t}^{2}}}$ (29)

Можемо записати вираз у загальному вигляді для відносної густини:

${{\Omega }_{\Lambda }}=\,\,\,{{\left( \frac{r\,dt}{t\,dr} \right)}^{2}}$ (30)

де r — це розмір тієї області, у масштабах якої ми визначаємо середнє значення густини; його значення перебуває в межах 2 l_pl≤ r≤ R_G = 2 R_U (тобто визначається діапазоном значень горизонту подій у ході розширення Всесвіту). Звідси відносне значення густини, що відповідає гравітаційному радіусу (як у планківську епоху, коли r= 2 l_pl, так і в сучасну епоху, коли r= 2 R_U), дорівнює: Ω_Λ= 4.0.

Аналогічно, відносне значення густини, що відповідає радіусу когерентності (як у планківську епоху, коли r= l_pl, так і в сучасну епоху, коли r= R_U), дорівнюватиме: Ω_Λ= 1.0.

У сучасну епоху відносна густина темної енергії в спостережуваній частині Всесвіту, обмеженій радіусом Габбла (r= R_H), відповідно до (30) становить:

${{\Omega }_{\Lambda }}({{R}_{H}})=\,\,\,\frac{R_{H}^{2}}{T_{U}^{2}\,{{c}^{2}}\,}\approx \,0.72\div \,0.73$ (31)

Залежність відносної густини від r в окремо взяту епоху показано на рис. 4 у верхній частині графіка. Залежність критичної густини та густини темної енергії в абсолютному вираженні показано в нижній його частині.

Закон Габбла

З урахуванням (4 і 30):

${{H}_{o\,}}=\frac{{{\omega }_{o}}}{\sqrt{{{\Omega }_{\Lambda }}}}=\frac{dr}{r\,dt}$ (32)

Для радіуса когерентності завжди буде справедливим Ω_Λ = 1 і H_o= ω_o. Для сучасної епохи маємо табличне значення сталої Габбла:

${{H}_{o\,}}=\,\frac{1}{{{T}_{U}}\sqrt{{{\Omega }_{\Lambda }}}\,}\approx 70\,(km/s)Mpc\,\,\,\,\,\,$

Стала Габбла, строго кажучи, не є сталою величиною, оскільки в різних областях Всесвіту навіть в одну епоху значення цього параметра залежить від Ω_Λ. А величина ω_o залежить тільки від часу. Тому закон Габбла логічно подати відповідно до (32) так:

$\frac{dr}{\,dt}=r\frac{{{\omega }_{o}}(t)}{\sqrt{{{\Omega }_{\Lambda }}}}$ (33)

що в принципі нічого не змінює, крім акцентів, проте може пояснити розбіжності в розрахункових даних щодо сталої Габбла, причому розбіжності саме в √Ω_Λ разів, що цілком зрозуміло, якщо поглянути на формулу.

Маса

Оцінка значення маси видимого Всесвіту залежить від того, що собою становить радіус ${{R}_{U}}\,$ ≈ 1.56 ∙ 10 ²⁶ m ≈ 16.3 Gyr у виразі (10). Визначаючи R_U як радіус когерентності, отримаємо з урахуванням (2 і 5) значення повної маси Всесвіту:

${{M}_{U}}\,=\frac{8\pi \,{{\rho }_{V}}R_{U}^{3}}{3}=\frac{{{c}^{3}}}{G\omega _{o}^{{}}}\approx 2.1\cdot {{10}^{53}}\,kg$ (34)

Знайдемо масу темної енергії в межах радіуса R_U. Оскільки маса темної енергії в межах довільної сфери дорівнює ефективній гравітуючій густині вакууму ε_G = - 2ρ_v, помноженій на об’єм цієї сфери [6], то отримаємо:

${{M}_{\Lambda }}\,({{R}_{U}})=\frac{4\pi \,{{c}^{3}}}{3\,\omega _{o}^{3}}\,\cdot \,(-2{{\rho }_{V}})=\,-\frac{{{c}^{3}}}{G\omega _{o}^{{}}}\,\approx -2.1\cdot {{10}^{53}}\,kg$ (35)

Порівнюючи вирази (33) і (34), маємо: M_U = - M_Λ. Це означає, що сумарна маса Всесвіту як цілісного, гравітаційно зв’язаного об’єкта, обмеженого радіусом когерентності R_U≈ 16.3 Gyr, дорівнює M_U + M_Λ = 0, тобто нулю. Припущення про існування від’ємних мас призводить до певних складнощів в інтерпретації принципу еквівалентності і закону збереження імпульсу. Проте рівність сумарної маси нулю точно визначає межу області гравітаційної когерентності будь-якого об’єкта. Зі збільшенням об’єму густини маси матерії та випромінювання зменшуються з різною швидкістю, пропорційно третьому й четвертому степеням радіуса відповідно. Але, маючи на увазі зміну із часом, ми говоримо про однакове збільшення складових маси (M_U і M_Λ) з плином часу і припускаємо існування «нульового балансу» маси/енергії на межі когерентності Всесвіту на всіх стадіях розширення після Великого вибуху. У загальній теорії відносності (ЗТВ) допускається існування локальних просторових областей із від’ємною густиною енергії-імпульсу. Частина Всесвіту (у межах сфери радіуса R_U) охоплена силами домінантної гравітації — це свого роду «гравітуюче ядро». Друга частина — між сферами радіусів R_U і R_g — охоплена силами домінантної антигравітації, причому 2R_U= R_g. Значенню R_U відповідає сумарна нульова маса. Але R_g — гравітаційний радіус, «зсередини» якого діє антигравітація. Залишається припустити, що область R_g — це область надвисокого тиску, тобто сингулярності, яка вийшла за межі гравітаційно зв’язаного Всесвіту.

Далі. Знайдемо відношення маси Всесвіту до планківської маси. Наступні вирази є очевидними:

$\frac{{{M}_{U}}}{{{m}_{pl}}}=-\frac{{{M}_{\Lambda }}}{{{m}_{pl}}}=\frac{{{T}_{U}}}{{{t}_{pl}}}\,\,\,\,\,\,\text{}\,\,\,\,\text{  }{{\left( \frac{{{M}_{U}}}{{{m}_{pl}}} \right)}^{2}}\,={{\left( \frac{-{{M}_{\Lambda }}}{{{m}_{pl}}} \right)}^{2}}={{D}_{U}}$ (36)

Другий вираз можна записати й у такій формі:

         ${{M}_{U}}(t)\,={{m}_{pl}}\frac{t}{{{t}_{pl}}}=\left( \frac{{{c}^{3}}}{G} \right)\,\,t$                                                 (37)      

Таким чином, маса Всесвіту (як і модуль маси темної енергії) зростає прямо пропорційно часу. На рис. 6 показано залежність маси Всесвіту від його віку.

Вираз (37) формально нагадує припущення Дірака [2]:            

     $G=\left( \frac{{{c}^{3}}}{{{M}_{U}}} \right)t$                                                    (38)

де G, як припускається, — величина змінна, M_U — величина стала, t — вік Всесвіту в секундах. Запропонований нами вираз (37) за змістом суперечить останньому виразу, оскільки в межах наших міркувань: M_U~ t і G= const, що не суперечить ЗТВ, а відповідно до припущення Дірака M_U~ t² і G~ 1/t, що суперечить постулатам ЗТВ. Слід зазначити, що в межах обох гіпотез буде правильним GM_U~ t і c = const.

Далі. Припустімо, що існує мінімально можлива в природі «елементарна» маса. У контексті нашого викладу вираз для неї може мати вигляд:

    _{${{m}_{\min }}=\frac{\hbar \,{{\omega }_{o}}}{{{c}^{2}}\,}$}                                                          (39)

Очевидно, що                                                            

   $\,\frac{{{M}_{U}}}{{{m}_{\min }}}\,\,=\,{{\left( \frac{{{T}_{U}}}{{{t}_{pl}}} \right)}^{2}}={{D}_{U}}$                                                (40)

звідси залежність мінімальної маси від часу має вигляд:

 ${{m}_{\min }}(t)={{m}_{pl}}\,\,\frac{{{t}_{pl}}}{t}\,=\frac{\hbar }{t\,{{c}^{2}}}$                                         (41)

Із (40 і 41) також випливає:

                                                                        ${{m}_{pl}}^{2}={{M}_{U}}\,(t)\,\,{{m}_{\min }}(t)$                                                    (42)

і, отже, відоме велике число Дірака з (1) набуде вигляду:

 ${{D}_{o}}=\,\alpha \frac{{{M}_{U}}{{m}_{\min }}}{{{m}_{p}}\,{{m}_{e}}\,}$                                       (43)

де m_p і m_e — маси протона й електрона відповідно. Зауважимо, що в планківську епоху маса Всесвіту та мінімальна маса дорівнювали планківській масі (див. рис. 6):                                               

Існують пропозиції ввести енергетичне велике число Дірака, наприклад, у [8]. Однак, якщо й існує енергетичне велике число Дірака, то в контексті наших міркувань воно має такий вигляд:

$\,\frac{{{M}_{U}}\,{{}^{2}}}{{{m}_{\min }}{{}^{2}}}=\,\frac{{{M}_{U}}}{{{m}_{\min }}}={{D}_{U}}$                                                           (44)

З урахуванням останніх виразів можна зробити висновок про сталість швидкості збільшення маси матерії у Всесвіті, починаючи з планківської епохи:

$\theta \,=\frac{dM}{dt}=\frac{{{c}^{3}}}{G}=const$                                                       (45)

Можна записати:                                   

        $\theta \,={{H}_{pl\,}}{{m}_{pl}}={{H}_{o\,}}{{M}_{H}}$≈ 4 ∙ 10 ³⁵  kg/s                                                (46)

де M_H — маса Всесвіту в об’ємі сфери радіуса Габбла:

 ${{M}_{H}}\,=\frac{{{c}^{3}}}{GH_{o}^{{}}}$                                                                (47)

Відзначимо одну примітну властивість знайденого значення маси Всесвіту (34). Із виразу (12), зокрема, випливає:           

         ${{M}_{U}}={{\rho }_{pl}}\,l_{pl}^{2}\,{{R}_{U}}$,                                                            (48)

тобто маса Всесвіту дорівнює масі еквівалентної «струни», що має поперечний переріз, рівний квадрату планківської довжини, густину, рівну планківській густині, і довжину, рівну радіусу когерентності Всесвіту. Тут ми маємо непряме підтвердження так званої струнної теорії світобудови.

Відзначимо також одну примітну властивість запропонованого значення мінімальної маси (39). Якщо припустити існування гіпотетичної частинки такої маси (близько 2.26 ∙ 10 ^-69 kg), то її комптонівська довжина хвилі дорівнюватиме:

 ${{\lambda }_{U}}=\frac{2\pi \,\hbar }{c{{m}_{\min }}\,}=\,2\pi {{R}_{U}}$(49)

тобто дорівнює «довжині кола» всього Всесвіту. Таке граничне значення комптонівської довжини, як відомо, приписується частинці «квінтесенції», яка є альтернативою ідеї темної енергії.

Гравітаційна стала G

Із виразу (12) отримаємо:

_{$\omega _{o}^{2}=\frac{G\,{{M}_{U}}}{R_{U}^{3}}\,\,\,\,\,\text{}\,\,\,\,\,\,\omega _{pl}^{2}=\frac{G\,{{m}_{pl}}}{l_{pl}^{3}}$}                   (50)

Розв’язуючи ці рівняння спільно, робимо принциповий висновок, що в процесі розширення Всесвіту гравітаційна стала G від часу не залежить, G = const, що відповідає положенням загальної теорії відносності й нашому початковому постулату про сталість планківських одиниць.

      Фізичний зміст великого числа D_U

Таким чином, поряд із відомим безрозмірним числом D_o≈ 2.27 ∙ 10 ³⁹, ми знайшли значення ще одного великого числа Дірака, що дорівнює D_U ≈ 9.2 ∙ 10¹²¹. Неважко показати, що безрозмірне число D_U — це відношення сили гравітаційної взаємодії між матерією Всесвіту, що має масу М_U і темною енергією Всесвіту, що має масу М_Λ, до сили кулонівської взаємодії між двома планківськими зарядами:

                                                                     $\,D_{U}^{{}}=\,\,\frac{{{F}_{G}}({{M}_{\Lambda }},\,{{M}_{U}})}{{{F}_{C}}({{q}_{pl}},\,{{q}_{pl}})}$                                                      (51)

Таким чином, логічно припустити, що Великий вибух — це результат зіткнення двох тривимірних бран, що мають планківський заряд, що й визначило надалі пропорції великомасштабної структури Всесвіту. Крім того, відповідно до (22) число D_U також із великою точністю виражає відношення корпускулярних і хвильових властивостей електрона в сучасну епоху:

_{$\,D_{U}^{{}}=\frac{{{r}_{e}}}{{{\lambda }_{e}}}\,{{e}^{{2}/{\alpha }\;}}\,=\frac{2\pi }{\alpha }{{e}^{{2}/{\alpha }\;}}$}                                                (52)

Висновок

Отже, на підтвердження гіпотези Дірака підсумуємо залежність різних величин від часу:

РЕЗЮМЕ  

 Еволюція фундаментальних констант

В. В. Авданін

Згідно з гіпотезою великих чисел Дірака (LNH), надзвичайно великі числа, які характеризують співвідношення між силами та параметрами різних масштабів, мають бути пов’язані з віком Всесвіту. Ця залежність має призводити до зміни фундаментальних констант із плином часу. Незмінність планківських одиниць маси, довжини й часу, сталої Планка, швидкості світла та гравітаційної сталої в ході космологічного розширення становить головний постулат, який обговорюється в цій статті. На цій основі проведено порівняльний аналіз двох космологічних епох — сучасної та планківської епохи (10^-43 секунд після Великого вибуху). Водночас автор припускає залежність від часу таких фізичних величин і констант, як стала Габбла, стала тонкої структури, космологічна стала, маса, густина, відстань тощо, і визначає значення відносної густини темної енергії в різні епохи. Автор доходить висновку про сталість швидкості збільшення маси Всесвіту, яка дорівнює добутку маси Всесвіту та сталої Габбла (взятих для певної епохи). Ця швидкість становить приблизно 4 ∙ 10 ³⁵  кг/с і не змінювалася протягом усіх епох, починаючи з планківської. Автор зазначає, що в ході космологічного розширення відбувається пропорційне збільшення маси матерії та маси, що відповідає темній енергії. У результаті повна маса гравітаційно зв’язаного Всесвіту дорівнює нулю, що не суперечить принципу збереження маси.

Список літератури

1.      P. A. M. Dirac.  A New Basis for Cosmology // Proc. R. Soc. Lond. A. — 1938. — Т. 165. — С. 199-208.

2.      P.A.M. Dirac. Cosmological Models and the Large Numbers Hypothesis. Proceedings of the Royal Society of London, vol. A338, N1615 pp. 439-446. DOI:10.1098/rspa.1974.0095.

3.      V. E. Shemi-Zadah.(2002). Coincidence of Large Numbers, exact value of cosmological parameters and their analytical representation. arxiv: gr-qc/0206084.

4.      Ross A. McPherson.(2008). The Numbers Universe: An Outline of the Dirac/Eddington Numbers as Scaling Factors for  Fractal, Black Hole Universes, EJTP 5, No. 18, pp. 81-94.

5.      Saibal Ray, Utpal Mukhopadhyay, Partha Pratim Ghosh: Large Number Hypothesis: A Review arXiv:0705.1836v1.

6.      А.Д. Чернов. Темная энергия вблизи нас. ГАИШ МГУ.

7.      E. Teller (1948). On the change of physical constants. Physical Review, vol.73 pp. 801-802.  

 DOI:10.1103/PhysRev.73.801.

8.      J. Casado (2004). Connecting Quantum and Cosmic Scales by a Decreasing-Light-Speed Model. arxiv: astro-ph/0404130 [astro-ph].

9.      The Farthest Known Supernova: Support for an Accelerating Universe and a Glimpse of the Epoch of Deceleration. arXiv:astro-ph/0104455v1.pdf  27 Apr 2001.

Лише зареєстровані користувачі можуть залишати коментарі. Увійдіть або зареєструйтеся.