Досліджено процеси утворення первинних чорних дір та акреції матерії на вже утворені первинні чорні діри. Наведено обмеження на можливу кількість первинних чорних дір різної маси, виведені з астрофізичних спостережень.
Вступ
Видається ймовірним, що на дуже ранніх стадіях розширення Всесвіту утворювалися первинні чорні діри (PBH). Справді, нині Всесвіт дуже однорідний та ізотропний на масштабах порядку космологічного горизонту. Водночас Всесвіт має добре розвинену структуру в масштабах галактик і менших утворень. Здається, галактики утворилися внаслідок зростання малих неоднорідностей через гравітаційну нестійкість. У такому разі теорія вимагає існування малих, але скінченних збурень фрідманівської метрики з амплітудами порядку 0.01, що містять приблизно стільки ж баріонів, скільки й сучасні галактики, на початку розширення Всесвіту поблизу космологічної сингулярності. Природно припустити, що амплітуда збурень на менших масштабах буде ще більшою. На тому масштабі, де амплітуда збурень була порядку одиниці, міг відбуватися гравітаційний колапс первинної матерії, коли космологічний горизонт ставав порядку масштабу збурень. Саме таким чином могли утворитися первинні чорні діри з масами від маси Планка і вище.
Можливість утворення первинних чорних дір згадали 1966 р. Зельдович і Новиков та 1971 р. Гокінг. Пізніше проблема PBH розглядалася в багатьох статтях. Первинні чорні діри стали предметом значного зацікавлення після того, як Гокінг (1974, 1975а) відкрив квантове випаровування чорних дір малої маси, оскільки тільки первинні чорні діри можуть мати такі малі маси. Процес Гокінга є важливим для фізики ранніх стадій розширення Всесвіту, з одного боку, і як можливий спосіб реєстрації первинних чорних дір у Всесвіті, з іншого. У цій статті обговорюється проблема утворення PBH і акреції матерії на них на ранніх стадіях еволюції Всесвіту, а також пов'язаний із цим процес зростання їхніх мас; особливу увагу буде приділено обмеженням на можливу кількість первинних чорних дір різних мас, що випливають з астрофізичних спостережень.
Утворення первинних чорних дір
Тут основними є дві такі проблеми:- Які відхилення від космологічної моделі Фрідмана на початку розширення призводять до утворення PBH?
- Як відбувається акреція навколишньої матерії на первинну чорну діру, що вже утворилася?
Обидві проблеми були сформульовані та проаналізовані в перших статтях про PBH (Зельдович, Новиков, 1966, 1967). Виявилося, що лише чисельні розрахунки можуть дати вичерпну відповідь на обидва запитання.
Відповідні обчислення, виконані Надеїним та ін. (1977, 1978), показують гідродинамічну картину утворення PBH і подальшої акреції нестаціонарного газу за найпростішого припущення про сферичну симетрію розглядуваного процесу.
Залежність процесу утворення PBH від амплітуди відхилення від плоскої моделі Фрідмана поблизу сингулярності (початку розширення) та від профілю цього відхилення (хоча й у межах припущення про сферичну симетрію) також обговорюється в цій роботі. Збурення метрики поблизу сингулярності розглядається як сферична область із супутнім 3-простором сталої додатної кривини, тобто збурена область відповідає певній частині замкненої моделі Фрідмана. Амплітуду відхилення можна охарактеризувати числом, що вимірює вирізану частку замкненого простору додатної кривини. Ця частина замкненого Всесвіту зшивається з плоскою моделлю Фрідмана через перехідну область. Ширина останньої, згідно з нашими розрахунками, є другим важливим параметром задачі.
Припускається також, що поза збуреною областю розв'язок точно збігається з плоскою моделлю Фрідмана. Отже, збурення є таким, що повна маса речовини всередині збуреної області точно така сама, якою вона була б у цій області в разі незбуреної моделі Фрідмана.
Метрика простору-часу задається формулою $$ds^2=c^2e^{\sigma}dt^2-e^{\omega}dR^2-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)$$ Вибрано супутню систему координат, $R$ — лагранжів радіус частинок. Рівняння стану матерії $P=\varepsilon/3$. Незбурена метрика описується такою формулою $$ds^2=c^2dt^2-a(t)\left[ dR^2+ R^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right ]$$ Відхилення від цієї формули характеризують збурення метрики. Поблизу сингулярності у збуреній області ми задаємо метрику так: $$ds^2=c^2dt^2-a(t)\left[ dR^2+ R^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2) \right ]$$ Отже, амплітуду збурення можна описати за допомогою $R_1$ — величини $R$ на межі збуреної області 3-простору сталої додатної кривини (див. рис. 1). Далі перехідна область простягається в інтервалі $$R_1< R< R_2,~~~R_2-R_1=\Delta$$ де розв'язок поступово зшивається із зовнішньою незбуреною областю. Розвиток процесу істотно залежить від ширини перехідної області. Справді, якщо $\Delta$ досить мале, при зростанні збурень густини $\delta\rho$ виникають круті градієнти тиску та бурхливі гідродинамічні явища. Якщо $\Delta$ велике, то градієнти тиску малі.
На рис. 2-4 показано результати обчислень (Надеїн та ін., 1978).
Якщо збурення метрики малі (мале $R_1=0.75R_{max}$, де $R_{max}=\pi/2$, рис. 2), початкове збурення густини перетворюється на звукову хвилю, що поширюється до нескінченності, і чорна діра не утворюється. Для великих $R_1=0.80R_{max}$ збурення густини великі, але первинні чорні діри все ж не утворюються, збурення поширюється у вигляді хвильового пакета.
Для $R_1=0.9R_{max}$, $\Delta=0.5R_1$ (рис. 3,4) утворюється PBH. На рис. 5 зображено криву, що показує, за яких $R_1$ і $\Delta$ утворюється первинна чорна діра, а за яких — ні, і початкові збурення стають звуковими хвилями. Можна зробити такі висновки. PBH можуть виникнути лише за дуже великих відхилень від моделі Фрідмана, що відповідають $R_1\approx 0.85-0.9R_{max}$.
Ширина перехідної області сильно впливає на утворення PBH. Чим вужче $\Delta$, тим більша роль градієнтів тиску, що перешкоджають утворенню PBH. До того, як було виконано чисельні розрахунки, робилися спроби оцінити важливість тиску при утворенні PBH за допомогою стаціонарних або самоподібних розв'язків. Було висловлено припущення, що тиск може сприяти акреції газу на PBH у процесі їхнього утворення та істотно збільшувати їхні маси. Carr і Hawking (1974) показали, що не існує самоподібного розв'язку, який призводить до катастрофічної акреції матерії на PBH, коли її розмір зростає так само швидко, як космологічний горизонт. Наші розрахунки показують, що насправді тиск сильно перешкоджає утворенню PBH, роблячи їхні маси меншими, ніж вони могли б бути за того самого початкового збурення, але без тиску $P=0$.
Справді, поблизу сингулярності в межах просторового перерізу $t=const$ густина енергії у збуреній області $R< R_1$ вища, ніж далеко від центру в плоскій моделі Фрідмана, і спрямований назовні градієнт тиску при $R_1$ прагне відкинути матерію геть. У перехідній області $\Delta$ густина $\rho$ мінімальна, і на зовнішній межі області $R_2$ спрямований усередину градієнт тиску породжує акрецію.
Однак цей ефект менш значущий для утворення PBH, ніж вищезгаданий градієнт при $R_1$, який призводить до витікання матерії зі збуреної області. У результаті маса PBH, яка насправді утворюється, становить лише $0.2-0.3$ від маси PBH, яка утворилася б за повної відсутності витікання, тобто у випадку $P=0$. Слід підкреслити, що розмір PBH відразу після її утворення набагато менший за космологічний горизонт.
Коли утворюється PBH, її маса становить близько $0.01-0.06$ від маси, охопленої сферою з радіусом, рівним космологічному горизонту. За таких умов акреція на PBH уповільнена і лише трохи збільшує масу PBH під час подальшої еволюції. Наші розрахунки це ясно показують. Цей висновок було доведено для самоподібних розв'язків (Carr, Hawking, 1974) [і було згадано як одну з можливостей Зельдовичем і Новиковим (1968)].
Багато інших цікавих гідродинамічних явищ виникає під час утворення PBH. Наприклад, якщо взяти перехідну область дуже вузькою, тоді виникають ударні хвилі (див. Надеїн та ін., 1978). У разі низького тиску припливні взаємодії руйнують сферичну симетрію та запобігають утворенню PBH для малих збурень.
Верхні межі спектра мас PBH
Інший підхід до проблеми первинних чорних дір полягає у визначенні верхніх меж спектра мас PBH на основі різних спостережних даних або космологічних наслідків їхнього існування. Спектр мас PBH становить великий інтерес не лише сам по собі, він також однозначно пов'язаний із початковим спектром адіабатичних збурень при $t=t_{pl}$, де $t_{pl}\approx 10^{-43}$ с (див. докладніші формули у Carr, 1975). Яким шляхом можна виявити первинні чорні діри? Ті, що мають маси $M>10^{15}$ г, утворившись, не надто змінилися до нинішнього етапу розвитку Всесвіту. Їхня втрата маси, спричинена квантовими ефектами, мала, а зростання маси завдяки акреції навряд чи може бути істотним, як було показано вище.
Такі PBH можна виявити лише завдяки їхньому гравітаційному притяганню. Нині внесок PBH у повну космологічну густину енергії не може істотно перевищувати критичної густини, $\rho_{crit}\approx 5\cdot 10^{-30}$ г см$^{-3}$ ($H/50$ км с$^{-1}$ Мпк$^{-1}$)$^2$. Як уперше показали Зельдович і Новиков (1966), ця умова накладає дуже сильне обмеження на $\varepsilon_{PBH}$ у момент їхнього утворення. Цей момент $T_0$ залежить від маси PBH: Причина цього полягає в тому, що коли Всесвіт розширюється за законом , густина енергії випромінювання спадає як, тоді як (через космологічне розширення швидкість PBH швидко спадає, отже, ефективним рівнянням стану для PBH є $P=0$). Характеризуватимемо спектр PBH у момент їхнього утворення величиною $\beta(M)=(\varepsilon_{PBH}/\varepsilon_m)_{t=t_0}$, де $\varepsilon_{PBH}(M)$ — густина енергії PBH з типовими масами окремої PBH порядку $M$, $\varepsilon_m$ — повна густина енергії випромінювання і речовини для $\Omega=1$ (якщо $\beta(M)\ll1$), то $\varepsilon_m\sim 1/Gt^2$). Тут ми припускаємо, що основна частина PBH зосереджена поблизу одного значення маси $M$. У разі широкого спектра PBH його амплітуду слід характеризувати похідною $d\beta/dM$.
Величина $\beta(M)$ являє собою всю ту частку матерії, яка сколапсувала в первинні чорні діри, що мали масу $M$ у момент їхнього утворення. Суцільна крива на рис. 6 показує верхню межу для $\beta(M)$ у випадку $\Omega_m=0.1$. Верхня межа для $\beta(M)$ в інтервалі $10^{16}$ g$< M < 10^{48}$ г випливає з наведеного вище аргументу (Зельдович, Новиков, 1966) і задається нерівністю $\beta(M)\lesssim 10^{-25}M^{1/2}$ г. Для $M>10^{15}M_\odot \approx 10^{48}$ г верхню межу для $\beta(M)$ і $\varepsilon_{PBH}$ можна істотно поліпшити на підставі відсутності 24-годинної великомасштабної анізотропії в реліктовому фоновому випромінюванні (Якби існували настільки великі чорні діри, ми мали б падати в гравітаційному полі найближчої з них і спостерігати анізотропію реліктового фонового випромінювання).
Інші способи встановлення верхньої межі для $\beta$ за $M>10^{15}$ г обговорюються в роботі (Carr, 1975) (див. також нещодавній огляд Carr, 1978), але вони не надто сильно змінюють отримані вище результати. Ситуація різко змінюється у випадку PBH з масами, меншими за $10^{15}$ г, оскільки внаслідок ефекту випаровування чорних дір, відкритого Гокінгом (1975), такі PBH уже випарувалися донині. Під час випаровування PBH випромінюють частинки й античастинки з характерними енергіями $E\approx 4-6\ T_{BH}$, де $T_{BH}=\hbar c^3/8\pi GM\approx 10^{13}/M$(г) ГеВ (для шварцшильдівської чорної діри). Час життя PBH $t_1$ залежить від її маси і має порядок $10^{-27}\ M^3$(г) с. Тут ми припускаємо картину Елементарної Частинки (а не картину Складеної Частинки), за якої число різних типів «справді елементарних частинок» наближається до 20-30; це означає, що рівняння стану в ранньому Всесвіті має вигляд $P_m=\varepsilon_m/3$.
Запровадимо величину $\alpha(M)=(\varepsilon_{PBH}/\varepsilon_m)_{t=t_1(M),\Omega=1}$ (тобто в момент повного випаровування PBH з масою $M$). Якщо $\alpha(M)< 1$, то $\beta$ пов'язана з $\alpha$ співвідношенням де $M_{pl}=2\cdot 10^{-5}$ г. Після завершення випаровування PBH густина народжених частинок буде де $n_m$ — повна числова густина частинок, а $n_B$ — густина баріонного числа в момент часу $t_1$ ($t_1$ у секундах) (Припустиме значення сталої Габбла 50 км с$^{-1}$ Мпс$^{-1}$). За $t_1\gtrsim 1$ с головний внесок у $n_m$ дають безмасові частинки і (за $t_1 < 10$ с) $e^+e^-$-пари. За підрахунками (Page, 1976), 45\% енергії, випроміненої PBH з масою $5\cdot 10^{14}$ g $< M<10^{17}$ г, припадає на релятивістські електрони й позитрони, 45\% — на нейтрино, 9\% — на фотони і 1\% — на гравітони. PBH з меншими масами випромінюють також $\pi$-мезони, нуклони та інші сильно взаємодіючі частинки.
Верхні межі для $\varepsilon_{PBH}(M)$ з масами $M\sim 10^{14}-10^{15}$ г, що випаровуються після рекомбінації, були отримані в роботах Chapline (1975), Page, Hawking (1976), Carr (1976). Найсильніше обмеження було отримано для PBH з масами $M\sim 10^{15}$ г зі спостережень $\gamma$-випромінювання (за припущення, що кластеризація PBH у галактичних гало відсутня). Повна густина $\gamma$-випромінювання, випроміненого цими PBH, не повинна перевищувати спостережуваної густини $\gamma$-випромінювання космічного фону. Ця межа становить $\alpha(10^{15}\ г)\lesssim 10^{-8}$, $\beta(10^{15}\ г)\lesssim 10^{-25}$. Перспективний метод пошуку PBH цієї маси нещодавно було запропоновано в роботі Rees (1977). Автор підкреслює, що колективні взаємодії електронів і позитронів, випромінених під час кінцевого вибуху PBH, з міжзоряним магнітним полем можуть породжувати миттєвий спалах у діапазоні радіохвиль (див. також детальні розрахунки цього процесу в роботі Blanford, 1977).
Однак нині цей механізм може бути використаний для поліпшення згаданої вище межі лише за додаткових припущень про кластеризацію PBH у гало галактик і про значення міжзоряного магнітного поля в околі PBH (див. результати та подальші перспективи в роботі Meikle, 1977). Крім того, сильне обмеження на спектр PBH в області мас $10^{13}$ g $< M< 10^{14}$ г випливає з розгляду впливу високотемпературного випромінювання PBH на кінетику рекомбінації (Насельський, 1978).
PBH у діапазоні мас $10^{11}$ g $< M< 10^{13}$ г випаровуються до рекомбінації, але випромінювання, що вивільнилося, не досягає стану рівноважного розподілу, оскільки числові густини баріонів та електронів малі й гальмівне випромінювання не може дати достатньої кількості фотонів в області спектра Релея — Джинса (деталі див. Сюняєв, Зельдович, 1970; Ілларіонов, Сюняєв, 1974, де досліджено випадок довільного джерела енергії). Таким чином, випромінені фотони мають спотворювати спектр фонового випромінювання.
Порівняння зі спостережуваним спектром фонового електромагнітного випромінювання показує, що в обговорюваній області мас $\alpha(M)<10^{-2}-1$, $\beta(M)M/M_{pl}<10^{-2}-1$ (Зельдович, Старобінський, 1976). Деякі верхні обмеження на $\varepsilon_{PBH}$ в області мас $10^{9}$ g $< M<10^{12}$ г можна отримати, якщо взяти до уваги вплив випромінених PBH адронів високих енергій (Зельдович та ін., 1977) і нейтрино (Вайнер і Насельський, 1977) на нуклеосинтез гелію (Зельдович та ін., 1977; Вайнер і Насельський, 1977) і дейтерію (Зельдович та ін., 1977) у ранньому Всесвіті. Неважко перевірити, що в прийнятій моделі з обмеженим числом справді елементарних частинок взаємодія між частинками, випроміненими окремою чорною дірою достатньо малої маси, несуттєва, навіть якщо ці частинки є адронами. Справді, якщо $T_{BH}\gg m_{p}$ (або маси кварка), усі випромінювані частинки є ультрарелятивістськими.
З іншого боку, частинки можуть випромінюватися лише одна за одною з характерними інтервалами $\Delta t=\delta^{-1}r_g/c$ за $\delta$ близько $(2-4)\cdot 10^{-2}$, якщо основну частку випромінених частинок становлять адрони й число елементарних адронів приблизно 10-20. Через дискретність процесу випромінювання в момент народження частинка ефективно оточена вакуумною порожниною розміром близько $\delta^{-1}r_g$ і за $r>\delta^{-1}r_g$ числова густина раніше випромінених частинок становить $n(r)\approx \delta r_g^{-1}r^{-2}(4\pi)^{-1}$. Внутрішня межа порожнини розширюється з ультрарелятивістською швидкістю. Беручи до уваги, що відносні швидкості частинок у системі спокою PBH малі (порядку $cm_p^2/E^2$, де $E$ — характерна енергія частинок, $E\sim (4-6)T_{BH}\gg m_p$) і припускаючи, що переріз сильної взаємодії близький до $(\hbar/m_\pi c)^2$, можна обчислити число зіткнень будь-якої випроміненої частинки з усіма іншими частинками, випроміненими тією самою чорною дірою.
Воно становить $\nu=4\pi\delta^2(m_p/m_\pi)^2(m_pT_{BH}/E^2)<1$, якщо $T_{BH}>m_p$. Таким чином, малі PBH впорскують нуклони високих енергій у навколишній простір. Антинуклони, випромінені PBH з масами $M\sim 10^9-10^{10}$ г ($t_1\sim 1-10^3$ с), анігілюють із фоновими нуклонами і збільшують відношення числа нейтронів до числа протонів у фоновій речовині без зміни густини повного баріонного числа $n_p+n_n$, оскільки випромінювання чорної діри симетричне щодо баріонного заряду з точністю до несуттєвих статистичних флуктуацій [якщо немає спеціального механізму, пов'язаного з CP-порушенням (Hawking, 1975b; Зельдович, 1976)]. Це призводить до зростання частки первинного $\mathrm{He}^4$. Тоді з порівняння зі спостережуваною часткою $\mathrm{He}^4$ (частка маси $Y_{\mathrm{He}^4}< 30\%$) можна отримати таку межу: $$ \alpha(M)<10^{-2}t_1^{1/6}\Omega, $$ для $10^9\ g< M<10^{10}$g ($t_1$ тут і далі виражено в секундах).
Обмеження на спектр PBH, отримані з розгляду впливу нейтрино $\nu_e$ та антинейтрино $\bar\nu_{\bar e}$ високих енергій, випромінених PBH, на відношення $n/p$ і нуклеосинтез $\mathrm{He}^4$, приблизно в $10^3$ разів слабші, якщо $\Omega=0.1$. Сильне обмеження на $\varepsilon_{PBH}$ в області $10^{10}\ г< M< 10^{13}$ г можна отримати з поширеності дейтерію. У цьому випадку найцікавіший для нас процес — це сколювання ядер первинного $\mathrm{He}^4$ ультрарелятивістськими нуклонами й антинуклонами, випроміненими PBH. Нейтрони, народжені внаслідок цього процесу (а також первинно випромінені PBH), швидко захоплюються фоновими протонами, утворюючи ядра дейтерію.
Середня довжина вільного пробігу $h$ до утворення $D$ менша, ніж $c\times$[час життя нейтрона $\sim 10^3$ с], якщо $t_1<10^5\Omega^{2/3}$ с. Дейтерій не згорає в достатніх кількостях у реакціях $D+D\rightarrow T+p$ або $D+D\rightarrow \mathrm{He}^4+n$, якщо $t_1>3\cdot 10^3\ с\ (\Omega=1)$ або $t_1>\cdot 10^3\ с\ (\Omega=0.1)$ Оскільки $Y_D$ не може перевищувати $5\cdot 10^{-5}$, ми отримуємо таку верхню межу для $\alpha$ в інтервалі $10^{10}$ g $< M<5\cdot 10^{10}$ г (Зельдович та ін., 1977): $$ \alpha\lesssim 10^{-6}t_1^{1/6}\Omega. $$ Зокрема, якщо $M\sim 10^{10}$ г і $\Omega=0.1$, тоді $\beta<5\cdot 10^{-22}$. Якщо $t_1>10^5$ с, основний внесок в обговорюваний ефект походить від реакції прямого народження дейтерію під час сколювання $\mathrm{He}^4$. Відомо, що частка цієї реакції становить приблизно 25\% за $E\gtrsim 1$ ГеВ.
Характерний час зіткнення між нуклонами й антинуклонами, випроміненими PBH, і фоновими ядрами $\mathrm{He}^4$ менший, ніж горизонт, навіть якщо $M\sim 10^{13}$ г ($t_1\sim 10^{12}$ с). Це приводить до межі для $\alpha$ в області $10^{11}\ г< M< 10^{13}$ г: $$ \alpha<5\cdot 10^{-6}t_1^{1/6}\Omega. $$ Таким чином, первинний вміст дейтерію є дуже чутливим індикатором PBH. Важливо підкреслити інший бік цього результату. Добре відомо, що спостережуваний вміст дейтерію важко пояснити в межах звичайної схеми нуклеосинтезу, якщо припускати високу густину речовини у Всесвіті [$\rho>6\cdot 10^{-31}\ г/см^3$, $\Omega>0.1$ або $\Omega>0.5$ у разі сильної, спеціально створеної неоднорідності (Wagoner, 1973; Зельдович, 1975)].
З отриманих вище результатів випливає, що наявність невеликого числа ($\beta\sim 10^{-20}$) чорних дір з $M\sim 10^{10}-10^{12}$ г дає нам унікальну можливість пояснити спостережуваний вміст дейтерію, навіть якщо $\Omega=1$. І через це практично жодна інша властивість Всесвіту не зміниться.
Зокрема, за $\Omega>0.1$ запропонований механізм дає невелике збільшення вмісту $\mathrm{He}^3$: $Y_{\mathrm{He}^3}\sim (1-3)\cdot 10^{-5}$, яке не суперечить спостережним даним (беручи до уваги можливість руйнування $\mathrm{He}^3$ у зорях). $\mathrm{He}^3$ утворюється і безпосередньо в процесі сколювання $\mathrm{He}^4$, і з дейтерію в реакції $D+D\rightarrow \mathrm{He}^3+n$. Вміст $\mathrm{He}^3$, утвореного таким способом, ніколи не перевищить вмісту дейтерію. Запропонований механізм не призводить до зростання вмісту $\mathrm{Li}^7$. Слід тут зазначити, що згідно з розрахунками (Wagoner) вміст $\mathrm{Li}^7$, утвореного в ранньому фрідманівському Всесвіті (без PBH), з $\Omega>0.1-0.2$ узгоджується зі спостереженнями. Важливо, що запропонований механізм не стикається з двома головними труднощами, характерними для всіх раніше запропонованих механізмів утворення дейтерію. Цими труднощами є (див., наприклад, Epstein et al., 1976; Epstein, 1977): а) надмірне утворення $\mathrm{Li}^6$ і $\mathrm{Li}^7$, а також $\mathrm{B}^{11}$; б) надмірне утворення $\gamma$-випромінювання.
Перша трудність не виникає, оскільки, з одного боку, частинки, випущені PBH, мають дуже високі характерні енергії $E\sim 50-5000$ ГеВ в інтервалі мас PBH $10^{10}\ г\gtrsim M\lesssim 10^{12}$ г (і тому перерізи утворення $\mathrm{Li}^6$ і $\mathrm{Li}^7$ дуже малі), а з другого боку, частка $\alpha$ (і $\bar\alpha$) частинок у випромінюванні PBH винятково мала (саме в зіткненнях $\alpha+\mathrm{He}^4$ утворюються ядра $\mathrm{Li}$). Швидкість утворення $\mathrm{B}^{11}$ у цій моделі навіть нижча, ніж зазвичай. Друга трудність не виникає, оскільки $\gamma$-випромінювання, що виникло під час сколювання $\mathrm{He}^4$, має достатньо часу для поглинання речовиною в ході подальшої еволюції Всесвіту.
Якщо $M_{PBH}< 10^9$ г ($t_1 < 1$ с), то випромінювання PBH швидко термалізується і питома ентропія Всесвіту (на баріон) $S$ зростає. Таким чином, верхні межі на $\alpha(M)$ для $M< 10^9$ г можна отримати шляхом порівняння накопиченої кількості ентропії з величиною, виміряною нині $S\approx 10^9/\Omega$ $(H/50\ км\ с^{-1}\ Мпк^{-1})^2$, де враховано внесок від реліктових термальних $\nu_e$, $\bar\nu_e$ і $\nu_\mu$, $\bar\nu_\mu$. Виявляється, що ентропія головним чином утворюється не в момент народження частинки PBH, а в ході подальшої релаксації та термалізації цих частинок. Обчислення показують (Zeldovich and Starobinsky, 1976), що якщо більшість PBH має типову масу M, то питома ентропія після релаксації становитиме $$ S=(1+S_0)\beta M/M_{pl} $$ де $S_0$ — початкова питома ентропія до випаровування PBH. Звідси випливає, що $\beta\lesssim (10^9/\Omega)(M_{pl}/M)$.
Зокрема, вся ентропія, спостережувана нині, може бути результатом випаровування PBH; щоб це мало місце, достатньо, наприклад, щоб половина речовини в початково холодному Всесвіті ($S_0\ll1$) колапсувала в PBH з $M\sim 10^4/\Omega$(г). Зауважимо, що навіть якщо $\beta(M)<1$, у цьому випадку пізніше буде стадія еволюції з $\varepsilon_{PBH}\gg\varepsilon_m$ і закон розширення $a(t)\sim t^{2/3}$. Якщо $M<10^4/\Omega$ (г), тоді можливе $\beta(M)>l$. Якщо PBH не концентруються поблизу певної однієї маси, а мають широкий спектр мас, тоді верхню межу на $\beta(M)$, отриману з міркувань про ентропію, можна уточнити (див. пунктирну лінію ліворуч на рис. 6).
Припустімо, наприклад, що спектр мас PBH має вигляд $d\beta(M)/dM=\gamma/M$ в інтервалі $M_{pl} < M < M_{max}$, де $\gamma=\mathrm{const}<1$. Цей спектр відповідає плоскому спектру початкових адіабатичних збурень метрики за $t=t_{pl}$. Тоді верхня межа для $\gamma$ становить $\gamma^2(M/М_{рl})^{4/3}<10^9/\Omega$, за $10^4$ g $<M_{max}<10^9$ г. Величина $\gamma\sim 1$ додатна лише якщо $M_{max}<100$ г. У цьому випадку еволюція Всесвіту проходить через послідовність стадій зі степеневими законами еволюції за $a(t)\sim t^{q_n}$, де $q_n=2/3-1/6\cdot 3^n$, $n=0,1,2, \ldots$, так що $q_0=l/2$, $q_1 = 11/18$, $q_2= 35/54$ і так далі. У реальному Всесвіті за $10^4$ g$ < M_{max}<10^9$ г можуть мати місце лише перші три стадії, і остання стадія з $q\ne 1/2$ має завершитися до $t = 1$ с.
При отриманні наступного обмеження істотним було припущення, що чорні діри не залишають після себе жодних залишків, хоча теорія народження пар у гравітаційному полі чорної діри, яку розглядають класично, застосовна лише за $M>M_{pl}\approx 2\cdot 10^{-5}$ г. Якщо припустити, що чорні діри випаровуються лише до маси $M_{pl}$, а потім випаровування якимось чином зупиняється, то ми маємо отримати дуже сильні обмеження на верхні межі $\beta(M)$ за $M<10^{9}$ g: $\beta < 10^{-20}M^{3/2}(g)$. Ця межа випливає з аргументів щодо віку Всесвіту і є такою самою, як для PBH з масою в інтервалі $10^{16}g< M< 10^{48}$ г. Зокрема, $\beta(M) < 10^{-27.5}$ за $M\sim 10^{-5}$ г відповідає середньоквадратичній амплітуді збурень метрики $h < 0.03$ на масштабі $10^{-33}$ см (якщо припускається гауссів розподіл для збурень і рівняння стану $P=\varepsilon/3$). Отже, космологічні аргументи вказують, що або чорні діри випаровуються повністю, або флуктуації метрики на масштабі $10^{-33}$ см істотно менші за одиницю.
Висновок
Обидві проблеми були сформульовані й проаналізовані в перших статтях про PBH (Зельдович, Новиков, 1966, 1967). Виявилося, що лише чисельні розрахунки можуть дати вичерпну відповідь на обидва питання. (Крім PBH у літературі обговорюються також білі діри. Було показано, що квантові ефекти поблизу сингулярності (Зельдович та ін., 1974), як і акреція (Eardley, 1974), істотні для білих дір, завдяки чому вони швидко стають різновидом чорних дір.)
Відповідні обчислення, виконані Надьожиним та ін. (1977, 1978), показують гідродинамічну картину утворення PBH і подальшої акреції нестаціонарного газу за найпростішого припущення про сферичну симетрію розглядуваного процесу. Залежність процесу утворення PBH від амплітуди відхилення від плоскої моделі Фрідмана поблизу сингулярності (початку розширення) і від профілю цього відхилення (хоча й у межах припущення про сферичну симетрію) також обговорюється в цій роботі. Збурення метрики поблизу сингулярності розглядається як сферична область із супутнім 3-простором сталої додатної кривини, тобто збурена область відповідає певній частині замкненої моделі Фрідмана. Амплітуду відхилення можна охарактеризувати числом, що вимірює вирізану частку замкненого простору додатної кривини. Ця частина замкненого Всесвіту зшивається з плоскою моделлю Фрідмана через перехідну область. Ширина останньої, згідно з нашими розрахунками, є другим важливим параметром задачі.
Новиков І. Д., Полна́рев А. Г., Старобінський А. А., Зельдович Я. Б.
Переклад здійснив В. О. Соловйов.
Лише зареєстровані користувачі можуть залишати коментарі. Увійдіть або зареєструйтеся.
Коментарі (0):