Релятивістський кухоль

Ця замітка є спробою просто пояснити, чому знамените співвідношення $E=mc^2$ неправильно виражає суть теорії відносності Ейнштейна. Замітка адресована переважно шкільним учителям, а частина її — тим університетським професорам, які дозволяють собі говорити, що маса тіла зростає зі зростанням його швидкості або імпульсу, і тим самим вводять в оману шкільних учителів та їхніх учнів.

Стаття Л. Б. Окуня The "Relativistic" Mug

Моральне здоров’я сучасного суспільства та його матеріальний добробут неможливі без високого статусу науки в країні. А це, певною мірою, визначається тим, наскільки адекватно наука відображається в дзеркалі масової культури. Понад двадцять років я збираю артефакти масової культури (від листівок і футболок до науково-популярних статей і книжок), присвячені «знаменитій формулі Ейнштейна».

Кухоль Relativity.

Колонка 1.
У 1905 році 26-річний Ейнштейн запропонував спеціальну теорію відносності, використовуючи рівняння: $E=mc^2$, де $E$=енергія, $m$=маса, $c$=швидкість світла. Спеціальна теорія відносності виражає думку, що матерія та енергія є по суті різними формами одного й того самого. Будь-яка маса має пов’язану з нею енергію, і навпаки.

Колонка 2.
СПЕЦІАЛЬНА теорія ВІДНОСНОСТІ Альберта Ейнштейна. У 1850-х роках було обчислено, що світло рухається з фіксованою швидкістю 670 мільйонів миль на годину. Однак, хоч би як швидко ми рухалися, наздогнати світло ми не можемо. Ейнштейн припустив, що якщо швидкість світла завжди фіксована, то щось інше має змінюватися, а саме має змінюватися маса. Предмет має ставати важчим у міру того, як його швидкість наближається до швидкості світла. Він дійшов висновку, що енергія та маса мають бути пов’язані між собою.

Колонка 3.
Його формула означає, що маленькі кількості маси можна перетворити на величезні кількості енергії... ...що розкрило секрет того, як сяють зорі, і послужило ключем до атомної енергії.

Мої уточнення та коментарі

Колонка 1. Як відомо, у 1860-70-х роках Максвелл об’єднав оптику з фізикою електричних і магнітних явищ, відкривши рівняння, що описують не лише статичне, а й електромагнітне поле, яке рухається у вакуумі зі швидкістю світла. У 1880-90-х роках низка фізиків, виявивши, що рівняння Максвелла не узгоджуються з рівняннями механіки Ньютона, спробували зберегти рівняння Ньютона і за швидкостей, порівнянних зі швидкістю світла, сховавши все нове в гіпотезу про те, що маса тіла зростає зі зростанням його швидкості. Ці спроби тривали і в ХХ столітті; їх коротко описано в статтях [1], [2]. Однак досить скоро з’ясувалося, що так можна вчинити не з усіма рівняннями Ньютона; наприклад, так не можна вчинити зі знаменитим рівнянням ${\bf F}=m{\bf a}$, де ${\bf F}$ — сила, а ${\bf a}$ — прискорення. Виявилося, що треба змінити самі рівняння механіки Ньютона, зберігши при цьому незалежність маси від швидкості, але встановивши новий, дуже важливий зв’язок маси та енергії. Зауважимо, що зв’язок сили з імпульсом при цьому зберігся: ${\bf F}=d{\bf p}/dt$, але зв’язок імпульсу зі швидкістю ${\bf p}=m{\bf v}$ став, як ми побачимо, іншим. Усе це супроводжувалося зміною мови та філософії фізики. Улітку 1905 року Ейнштейн опублікував детальну статтю [3], у якій запропонував теорію, незабаром названу теорією відносності Ейнштейна, оскільки в ній на електромагнітні явища було поширено принцип відносності Галілея-Ньютона.

Згідно з цим принципом, жодними дослідами всередині замкненого простору (наприклад, каюти корабля) неможливо з’ясувати, чи рухається він прямолінійно й рівномірно, чи перебуває у спокої. Потім цю теорію поширили і на щойно відкриті ядерні явища, і за нею закріпилася назва спеціальна теорія відносності (СТВ). По суті, СТВ — це теорія руху та взаємодії швидких частинок, швидкість яких порівнянна зі швидкістю світла. Такі частинки почали називати релятивістськими. (У 1915 році Ейнштейн запропонував загальну теорію відносності (ЗТВ), яка описує гравітаційні явища. Але в цій замітці ми її не торкатимемося.) Восени 1905 року з’явилася коротка замітка Ейнштейна [4] про те, що маса тіла є мірою енергії, яка в ньому міститься. У теорії відносності повна енергія вільного тіла $E$ дорівнює сумі його кінетичної енергії, тобто енергії руху тіла як цілого $E_K$ та енергії, що міститься в тілі, яке перебуває у спокої, тобто енергії спокою $E_0$: \begin{equation} E=E_K + E_0. \end{equation} Звісно, уявлення про вільне тіло, ізольоване від усіх зовнішніх впливів, є ідеалізацією, абстракцією. Але абстракція лежить в основі наукового методу і є винятково плідною. Усвідомлення того, що будь-яке тіло у стані спокою має енергію, було найбільшим відкриттям ХХ століття.

Величина цієї енергії виражається через масу тіла $m$ співвідношенням Ейнштейна: \begin{equation} E_0=mc^2. \end{equation} (Саме в такому вигляді Ейнштейн записав рівняння (44) у лекціях «Сутність теорії відносності» [5], прочитаних ним у 1921 році, хоча поняття енергії спокою $E_0$ з’явилося вже в нотатці [4] 1905 року.) Оскільки кінетична енергія звичайних тіл, що нас оточують, задається відомою формулою механіки Ньютона $E_K=mv^2/2$ і оскільки швидкість звичайних тіл $v$ набагато менша за швидкість світла $c$, то їхня кінетична енергія незмірно менша за їхню енергію спокою. Але в повсякденному житті енергія спокою не проявляється. Ейнштейн одразу ж зауважив, що частина цієї енергії виділяється під час розпаду радіоактивних ядер. На жаль, як на початку, так і протягом усього ХХ століття, багато відомих фізиків формулювали співвідношення Ейнштейна в «спрощеному вигляді», опускаючи індекс нуль біля енергії: \begin{equation} E=mc^2 \end{equation} і трактуючи це співвідношення як зростання маси зі зростанням не лише енергії, а й імпульсу та швидкості тіла. Відомий лист 1948 року до Барнетта — автора книги «Всесвіт доктора Ейнштейна», у якому Ейнштейн застерігає від використання поняття маси, залежної від швидкості (дивіться копію рукопису цього листа в [1]). Але часом, особливо в науково-популярних текстах, і він опускав індекс нуль. По суті, семантичне завихрення в його творчості виникло при зіткненні двох мов — старої нерелятивістської та нової релятивістської.

Колонка 2. Твердження про те, що світло завжди має фіксовану швидкість 670 мільйонів миль на годину, — правильне, але твердження, що це було обчислено в 1850-х роках, не цілком правильне. Те, що швидкість світла скінченна, а не нескінченна, з’ясував у 1676 році Ремер, який визначив її за спостереженнями супутника Юпітера. З них випливало, що вона становить приблизно 200 000 км/с. Перші й точніші вимірювання в земних умовах здійснив Фізо в 1849 році. А те, що швидкість 300 000 км/с з високою точністю фіксована, тобто не залежить від швидкості джерела світла і спостерігача, виявили в 1887 році Майкельсон і Морлі. Висновок про те, що енергія і маса пов’язані між собою, безсумнівно правильний, оскільки $E_0=mc^2$. А от твердження про те, що маса тіла повинна змінюватися разом із його швидкістю, завідомо неправильне. У теорії відносності, на відміну від механіки Ньютона, мірою інерції є не маса тіла $m$, а його повна енергія $E$, а імпульс тіла $\bf p$ пов’язаний із його швидкістю $\bf v$ не співвідношенням Ньютона ${\bf p}=m{\bf v}$, а співвідношенням \begin{equation} {\bf p}=(E/c^2){\bf v}. \end{equation}

У результаті змінити імпульс тіла тим важче, чим більша його енергія $E$. І тільки за нульового імпульсу, коли $E=E_0$, тобто коли повна енергія дорівнює енергії спокою, тільки тоді $E/c^2=m$. Відчути, що саме енергія частинки є мірою її інерції, можна на прикладі Великого електрон-позитронного колайдера LEP, який працював у ЦЕРН в останнє десятиліття ХХ століття. У його кільцевому тунелі завдовжки 27 км електрони і позитрони з енергією близько 50 ГеВ летіли назустріч одне одному. У цьому кільці їх утримувало досить слабке поле залізних магнітів, розташованих у тунелі. (Якби поля не було, частинки летіли б за інерцією по прямій лінії.) Так само це поле утримувало б і протони з тим самим імпульсом і майже тією самою енергією, попри те, що маса протона майже в 2000 разів більша за масу електрона. У 2010 році в тому самому тунелі запрацював Великий адронний колайдер LHC. Щоб утримувати в ньому протони з енергією 3500 ГеВ, знадобилося в 70 разів сильніше поле надпровідних магнітів. Отже, мірою інерції частинки є її повна енергія.

Колонка 3. Тут усе правильно, якщо говорити про формулу $E_0=mc^2$ і врахувати, що в ядерних реакціях у зорях, на Сонці та на Землі частина енергії спокою частинок, що згорають, перетворюється на енергію руху продуктів горіння. Це саме, звісно, стосується і всіх процесів горіння.

Чотири виміри світу

Тепер я хотів би сказати кілька слів тим, хто більш-менш знайомий із чотиривимірним математичним апаратом теорії відносності, введеним Мінковським у 1908 році [6]. У чотиривимірному світі (4-світі) Мінковського часова координата події $ct$ і 3-вектор її просторового положення $\bf r$ утворюють чотиривимірний вектор. Аналогічно енергія вільного (ізольованого) тіла $E$ (точніше, $E/c^2$) і три компоненти його імпульсу $\bf p$ (точніше, ${\bf p}/c$) утворюють чотири компоненти псевдоевклідового 4-вектора. Маса тіла $m$ є скаляром, що дорівнює довжині цього 4-вектора: \begin{equation} m^2=E^2c^{-4}-{\bf p}^2c^{-2}. \end{equation} (Слово «псевдоевклідовий» вказує на те, що квадрат довжини 4-вектора дорівнює не сумі, а різниці квадратів його $E$- і {$\bf p$}-компонент.) Тейлор і Вілер у книзі відкладають величини енергії та імпульсу по ортогональних осях, а на гіпотенузі прямокутного трикутника відкладають величину маси за допомогою потовщеного відрізка. Але можна просто зобразити співвідношення (5) у вигляді прямокутного трикутника, якщо переписати його у вигляді $E^2=m^2c^4+{\bf p}^2c^2$.Тоді енергія — гіпотенуза, а маса та імпульс — катети. Звідси, зокрема, випливає, що \begin{equation} E_K=\sqrt{m^2c^4+{\bf p}^2c^2}-mc^2. \end{equation}

Основне співвідношення спеціальної теорії відносності (5) перевірено в тисячах дослідів з точністю до десятка значущих цифр. З нього для тіла, що має масу, за імпульсу, рівного нулю, випливає формула $E_0=mc^2$, де індекс нуль біля енергії вказує на те, що $E_0$ — це енергія не тіла, що рухається, а саме тіла, що перебуває в спокої. Якщо ж переписати це саме співвідношення у вигляді $(Ec^{-2} - m)(Ec^{-2} + m)={\bf p}^2c^{-2}$, то при $E_K \ll E_0$ без розкладання квадратного кореня отримуємо ньютонівське $E_K={\bf p}^2/2m$. Аналогічно для релятивістських частинок отримуємо $E-|{\bf p}|c=mc^2/2E$. (Це рівняння дуже важливе при описі нейтринних осциляцій.) З того самого співвідношення (5) і формули (4) для швидкості ${\bf v}={\bf p}c^2/E $ випливає, що швидкість безмасового фотона за будь-якої енергії дорівнює $c$. Отже, спеціальна теорія відносності бездоганна, чого не можна сказати про її популяризації. На жаль, раптова хвороба і смерть Мінковського не дозволили йому переконати сучасників у перевагах чотиривимірного світу, і вони продовжували «запихати» зміст теорії відносності в тривимірні рівняння механіки Ньютона.

Хоча Ейнштейн використовував чотиривимірність при формулюванні загальної теорії відносності як теорії гравітаційної взаємодії, рівняння $E^2c^{-4}-{\bf p}^2c^{-2}=m^2$ у його зібранні творів мені знайти не вдалося. Уперше воно з’явилося в статтях Клейна [9], Фока [10], Гордона [11] (1926) і особливо в працях Дірака [12] (1930), у яких було створено релятивістську квантову механіку. (Ейнштейн, попри те, що він стояв біля витоків поняття кванта, так і не прийняв квантової механіки.) І тільки пізніше ця формула з’явилася не лише в квантовій, а й у класичній електродинаміці, у підручнику "«Теорія поля"» Ландау і Ліфшиця в 1941 році (російською мовою) [13].

Чотиривимірність дала змогу єдиним чином описувати як масивні, так і безмасові частинки матерії. Вона дала змогу зрозуміти, що маса і матерія — це не одне й те саме, що енергія та імпульс — це міри всіх процесів і всіх рухів у природі. Що ж до маси частинок, то вона стає несуттєвою в процесах за дуже високих енергій $E \gg mc^2$.

Швидкість світла як одиниця швидкості

Існування універсальної максимальної швидкості $c$ дає змогу виражати будь-яку швидкість $v$ в одиницях $c$ як безрозмірне число $\beta=v/c$. При цьому очевидно, що для самої $c$ отримуємо $\beta=1$. Це дозволяє взагалі позбутися літери $c$ у рівняннях теорії відносності, записавши рівняння (2), (4), (6) у вигляді \begin{align} E_0=m,\hspace{7mm} m^2=E^2-{\bf p}^2,\hspace{7mm} {\bf v}={\bf p}/E. \end{align} Рівняння ж (3) $E=mc^2$ зводиться до $E=m$. Воно явно суперечить рівнянню (1) $E=E_K+E_0=E_K+m$ і, отже, неправильне.

Висновок

У 1980-х роках Володя Грибов, погляди якого на $E=mc^2$ повністю збігалися з моїми, по-дружньому радив мені не боротися з цим неправильним рівнянням, бо перемогти його неможливо. З відчуттям постійної поразки писав я попередній текст для тому «Грибов-80» влітку 2010 року під час небувалої спеки та смогу в Москві, що не могло не погіршити якість тексту. Восени, кілька тижнів тому, Юлія Нірі нагадала мені, що цей текст є по суті продовженням того, що я опублікував у томі «Грибов-75». Там я порівняв формулу $E=mc^2$ з вірусом. Справді, поняття релятивістської маси, заховане в цій формулі, — це семантичний вірус, дуже схожий на комп’ютерні віруси. Заражені ним люди (вони часто називають себе релятивістами) переконані, що Релятивістська Маса — це головний портал, який веде до будівлі Теорії Відносності. Вони переконані в цьому, тому що вважають масу мірою інерції. Вони ігнорують той факт, що маса є мірою інерції лише для дуже повільних тіл і частинок, у яких енергія спокою $E_0$ настільки більша за кінетичну енергію $E_K$, що кінетичною енергією можна знехтувати.

За не дуже малих швидкостей маса — це лише наближена міра інерції. Для швидких же частинок (фотонів, нейтрино, протонів у Великому адронному колайдері), для яких $E_K \gg mc^2$, мірою інерції є їхня енергія $E$. Загальновідомо, що формули у фізиці — це продовження звичайної мови: рівняння — це закодовані фрази, а символи, з яких складаються рівняння, замінюють звичайні слова або терміни. Щоб не виникало плутанини, кожен символ має бути однозначно пов’язаний із відповідним йому терміном. Чи можна ввести в теорію відносності поняття релятивістської маси? Безумовно — можна: $m_r=E/c^2$, хоча це буде просто іншим позначенням енергії, оскільки $c$ — універсальна константа. Чи можна після цього ввести поняття релятивістської маси спокою: $m_{r0}=m$? Безумовно — можна. Звісно, можна ввести і те, і друге; але немає потреби, тому що СТВ і без $m_r$, і без $m_{r0}$ є завершеною, самоузгодженою теорією. А от цю релятивістську масу спокою $m_{r0}$ позначати символом $m_0$ і називати її просто масою спокою вже недобре, тому що це вже ніби передбачає, що в СТВ маса $m$ залежить від швидкості.А всі ми чудово знаємо, що в СТВ $m$ — лоренцівський інваріант: маса $m$ одна й та сама у спокої та в русі, і навішувати на неї індекси безглуздо. Але справжня біда виникає, коли $m_r$ називають масою і позначають символом $m$, а звичайну ньютонівську масу $m$ у СТВ називають масою спокою і починають позначати $m_0$. Це змішування двох мов («французької з нижньогородською») спотворює чудову теорію, призводить до неймовірної плутанини, що триває вже сто років, перешкоджає розумінню суті СТВ.

А «релятивісти-філософи» при цьому стверджують, що ньютонівська механіка нібито не є граничним випадком ейнштейнівської і що ці дві теорії нібито неспівмірні. Унаслідок зворотного впливу масової культури на наукову літературу в найкращому підручнику з фізики ХХ століття, що вийшов у 1960-х роках, — «Фейнманівських лекціях з фізики» — у багатьох розділах повторюється твердження, що згідно з теорією відносності маса зростає зі зростанням швидкості. Те саме стверджує і маленька популярна книжечка Ландау та Румера «Що таке теорія відносності?». (Цю книгу було написано в 1930-х роках, до арешту обох авторів, а вийшла вона друком у 1950-х роках, після звільнення Румера із заслання. (Ландау провів у в’язниці рік.)) «Теорія поля» Ландау і Ліфшиця, що вийшла друком у 1940-х роках, була першим підручником у світі, в якому маса послідовно не залежала від швидкості. Проте поняття енергії спокою та символ $E_0$ у ній були відсутні, а формулу Ейнштейна було подано у формі $E=mc^2$. Ця невідповідність збереглася навіть в останньому виданні книги, що вийшло у XXI столітті. Воістину, ніхто не досконалий. Недосконала наша мова: «думка висловлена є неправда».

Література

[1] The concept of mass. Physics Today. June 1989, 31-36.
http://www.itep.ru/theor/persons/lab180/okun/em_3.pdf

[2] Формула Эйнштейна: $E=mc^2$. "«Не смеётся ли Господь Бог"»?. Успехи физ. наук, 178 (5), 541-555 (2008).
http://ufn.ru/ufn08/ufn08_5/Russian/r085g.pdf

[3] Einstein A/ Zur Electrodynamik bewegter Körper. Ann Phys 17, 891-921 (1905).
К электродинамике движущихся тел. Собрание научных трудов т 1, с 7 М Наука (1965).

[4] Einstein A. Ist die Tragheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhänging?. Ann Phys 18, 639-641 (1905).
Зависит ли инерция тела от содержащейся в нём энергии? Собрание научных трудов т 1, с 36, М Наука (1965).

[5] Einstein A. Four lectures on the theory of relativity, held at Princeton University in May 1921. Collected papers of Albert Einstein v 7, doc 71. Princeton (1997).
Сущность теории относительности. Собрание научных трудов т 2, с 5, М Наука (1965).

[6] Minkowski H. Raum und Zeit. Phys Zeit 10, 104-111 (1909).
Пространство и время. УФН 69, 303-320 (1959).

[7] Теория относительности и теорема Пифагора. Успехи физ. наук, 178 (6), 647-653 (2008).
http://ufn.ru/ufn08/ufn08_6/Russian/r086j.pdf

[8] Taylor E F, Wheeler J A. Spacetime physics. New York (1992) (pp 246-252 Dialog: Use and Abuse of the concept of mass).

[9] Klein O. Quantum Theorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie. Zeit f Physik 37, 895-906 (1926).

[10] Fock V. Über die Iinvarianten Form der Wellen- und der Bewegungsgleichungen für einen geladenen Massenpunkt. Zeit f Physik 39, 226-232 (1926).
Об инвариантной форме волновых уравнений и уравнений движения заряженной точечной массы УФН 180, 874-877 (2010).

[11] Gordon W. Der Compton Effect nach der Schrödingerschen Theorie. Zeit f Physik 40, 117-133 (1926).

[12] Dirac P A M. The principles of quantum mechanics (1930).
Принципы квантовой механики М Наука, (1979).

[13] Ландау Л Д, Лифшиц E M. Теория поля. М (1941).

[14] The virus of relativistic mass in the year of physics in Gribov memorial volume (quarks, hadrons and strong interactions). Yu L Dokshitzer, P Levai, J Nyri Editors, WS, 470-473 (2006).
http://www.itep.ru/theor/persons/lab180/okun/em_22.pdf

[15] Feynman R P, Leighton R B, Sands M. The Feynman lectures on physics. Addison-Wesley (1963).
Фейнмановские лекции по физике. УРСС М (2004).

[16] Ландау Л Д., Румер Ю Б Что такое теория относительности?. Советская Россия М (195).

[17] Energy and Mass in Relativity Theory. World Scientific (2009).
http://www.worldscibooks.com/physics/6833.html

[18] Mass versus relativistic and rest masses. Am. J. Phys. 77,(5), 430-431 (2009).
http://www.itep.ru/theor/persons/lab180/okun/doc/AJP000430.pdf

Лише зареєстровані користувачі можуть залишати коментарі. Увійдіть або зареєструйтеся.