Вакуумна енергія: міфи та реальність

Квантова механіка зруйнувала старий міф про те, що вакуум є порожнім простором. Тепер усі погоджуються, що вакуум заповнений нульовими флуктуаціями релятивістських квантових полів. Однак новий погляд породив нові міфи. Головний міф — проблема космологічної сталої, або «неймовірна легкість простору-часу».

Частковий переклад чудової статті Г. Е. Воловика Vacuum Energy: Myths and Reality;

1. Вступ: старі й нові міфи

Він ґрунтується на припущенні, що природне значення густини енергії квантового вакууму (і, отже, космологічної сталої) визначається планківським масштабом енергії

\[{{\Lambda }_{natural}}\sim \frac{E_{Planck}^{4}}{{{\hbar }^{2}}{{c}^{3}}}\] (1)

Це значення фантастично велике порівняно зі спостережуваною верхньою межею КС. Це змушує нас думати, що Всесвіт украй неприродний.

Споріднений міф — нульова енергія бозонного квантованого поля та від’ємна енергія діраківського моря ферміонних квантованих полів є домінантними джерелами вакуумної енергії. Підсумовування за всіма модами аж до масштабу планківської енергії дає оцінку, що відповідає (1). Можливо,  суперсиметрія між ферміонами та бозонами може зменшити обрізання, але результат усе одно буде неймовірно високим.

Але запитаймо себе: чи справді рівняння (1) дає природне значення вакуумної енергії?

Один із міфів полягає в тому, що величина вакуумної енергії важлива лише за наявності гравітації, а в решті випадків її можна усунути зсувом енергії. Це не так. Розгляд багаточастинкової системи, здійснений у розділі 3, показує, що належним чином уведена густина вакуумної енергії добре визначена в будь-якій системі (релятивістській чи нерелятивістській, з гравітацією чи без неї) і не залежить від вибору нуля. Макроскопічні властивості квантового вакууму не залежать від того, чи є в системі гравітація. Якщо так, то проблеми, пов’язані з вакуумною енергією, можна розглянути в загальнішому контексті, без звернення до систем із гравітацією.

Звісно, існують  багаточастинкові  системи, де динамічні метричні поля виникають як колективні моди квантового вакууму. Крім того, ми маємо приклади, у яких гравітація виникає разом зі складниками Стандартної моделі — кіральними ферміонами та калібрувальними полями. Однак ці приклади не є істотними для обговорення загальних властивостей квантового вакууму, пов’язаних із вакуумною енергією.

Наступний міф — енергія фальшивого вакууму. Фальшивий вакуум — стан, що відповідає локальному мінімуму енергії. Він має вищу енергію, ніж істинний вакуум, що відповідає абсолютному мінімуму. З цієї причини припускається, що якщо $\Lambda =0$ в істинному вакуумі, то вона має бути додатною (і великою?) у фальшивому вакуумі. Це важливо для такого явища, як інфляція, — експоненційного розширення Всесвіту. Близький за змістом міф — вплив порушення симетрії фазового переходу на вакуумну енергію.

Ще один міф — залежність енергії вакууму від його вмісту. Справді, на перший погляд це твердження здається правильним. Вакуум — складна структура, що містить багато внесків від різних квантових полів. Зокрема, є багато ферміонних компонентів, кожен із власною масою. Тому вакуумна енергія має залежати від мас ферміонів, полів Гіґґса тощо.

Як випливає з досвіду роботи з конденсованою матерією, коротка відповідь на поставлене вище запитання звучить так: природне значення вакуумної енергії дорівнює нулю і, отже, не залежить від вмісту вакууму, від розбіжності енергії нульових коливань, від того, чи є вакуум фальшивим або істинним, від фазових переходів у вакуумі тощо.

Якщо природне значення вакуумної енергії дорівнює нулю, то чи маємо ми повернутися до старого міфу про те, що вакуум не гравітує?  Ні, не маємо, оскільки спостереження ненульової КС призвели до нового міфу про те, що це спостереження спричинило кризу у фізиці. Легше припустити, що вакуумна енергія дорівнює нулю, ніж шукати відсутні 120 порядків.

Одним зі збурень вакууму, що призводить до ненульової вакуумної енергії, є граничні умови. Це збурення призводить до ефекту Казимира. Можна показати, що  нульова енергія між пластинами в ефекті Казимира має гравітувати, тоді як у вакуумі за межами пластин — ні. Схоже запитання поставив Полчинський: чому енергія нульових коливань має гравітувати в середовищі, що оточує атом (лембівський зсув), але не у вакуумі.

Рис. 1. Якщо вакуумна енергія від’ємна $\left( \varepsilon <0 \right),$ вакуум намагається розширитися $\left( p=-\varepsilon >0 \right),$ рухаючи поршень праворуч. Щоб досягти рівноваги, необхідно прикласти зовнішню силу, яка штовхатиме поршень ліворуч і компенсуватиме додатний тиск вакууму $\left( {{p}_{vac}}=-{{\varepsilon }_{vac}} \right).$ Така сама ситуація має місце в конденсованій матерії (газі, рідині та твердому тілі) за $T=0.$ Аналогічно міркуючи, ми бачимо, що якщо вакуумна енергія додатна, то  прикладена сила має тягнути поршень праворуч, щоб компенсувати від’ємний тиск вакууму. Аналогічна ситуація має місце в рідині та твердому тілі за $T=0,$ але не в газі, який може перебувати в рівновазі лише за додатного тиску. На відміну від газу, рідина й тверде тіло — самоузгоджені субстанції в тому сенсі, що можуть перебувати в рівновазі без зовнішніх сил. Тому за відсутності взаємодії з навколишнім середовищем густина енергії вакууму та вакуумний тиск набувають свого природного значення ${{\varepsilon }_{vac}}=-{{p}_{vac}}=0$.

2. Яке природне значення вакуумної енергії?

Почнімо з проблеми космологічної сталої, яка ґрунтується на міфі про те, що природне значення густини енергії квантового вакууму і, отже, космологічної сталої визначається планківським масштабом енергії.

2.1. Природне мікроскопічне значення

Щоб проникнути в суть проблеми, погляньмо, чи правильне це припущення для таких квантових багаточастинкових систем, як квантова рідина або тверде тіло. На перший погляд воно здається правильним. Мікроскопічна фізика (атомна фізика) визначає характерний масштаб величин, що описують рідину або тверде тіло. Роль планківської довжини відіграє міжатомна відстань. Роль планківської енергії відіграє або температура Дебая, або температура плавлення, або температура переходу в надплинний стан. У результаті маємо такі оцінки для характерної температури, густини енергії та тиску

\[{{T}_{micro}}\sim {{E}_{Planck}}\sim \hbar c/a;\quad {{\varepsilon }_{micro}}\sim {{p}_{micro}}\sim \frac{E_{Planck}^{4}}{{{\hbar }^{3}}{{c}^{3}}}\] (2)

Тут $c$ — швидкість звуку або інших бозонних чи ферміонних збуджень, що відіграють роль максимально досяжної швидкості (швидкості світла).

2.2 Природне макроскопічне значення

Попри зовнішню схожість формул (1) і (2), припущення про те, що мікроскопічний (планківський) масштаб природним чином входить у вакуумну енергію, неправильне. 

\[{{T}_{macro}}=0;\quad {{p}_{macro}}=0\] (3)

Ці співвідношення демонструють гігантську різницю між параметрами мікро- та макрофізики. Багаточастинкова система як ціле підпорядковується законам макрофізики, які не залежать від деталей мікрофізики. Тому загальні властивості будь-якої системи будуть дивними, якщо вакуум не підпорядковується тим самим правилам. Тиск вакууму — макрофізична характеристика, тому природне значення густини вакуумної енергії має дорівнювати нулю

\[{{\Lambda }_{natural}}={{\varepsilon }_{vac}}=-{{p}_{vac}}=0\] (4)

(за умови, що ми вважаємо, що наш Всесвіт не взаємодіє з «навколишнім середовищем»).

3. Абсолютне значення енергії вакууму має значення лише для гравітації

Можна навести аргументи на користь того, що вакуумна енергія важлива лише для гравітації, тобто лише гравітація чутлива до вакуумної енергії, а в усіх інших випадках вакуумну енергію можна усунути зсувом нульового рівня. Ось чому аналогія з конденсованою матерією не має сенсу. Доки гравітація не виникає в конденсованій матерії. Це ще один міф.

По-перше, нас цікавить не абсолютне значення повної енергії вакууму. Нас цікавить космологічна стала, яка являє собою густину енергії вакууму, а ця густина пов’язана з тиском вакууму рівнянням стану

\[{{\varepsilon }_{vac}}=-{{p}_{vac}}\] (5)

Незалежно від того, присутня чи відсутня гравітація, вакуум є субстанцією з таким рівнянням стану. І це не залежить від вибору нульового рівня енергії. Розгляньмо, як рівняння стану (5) виникає у вакуумі (основному стані) конденсованої матерії.

3.1. Квантова теорія поля конденсованої матерії.

Правила гри дуже прості: основний стан конденсованої матерії — аналог вакууму. Частинкоподібні збудження над основним станом — квазічастинки. Вони є аналогом матерії. Квазічастинки не розсіюються на вихідних атомах рідини або твердого тіла, якщо рідина або тверде тіло перебуває в основному стані (але ж тоді й немає квазічастинок?). Саме з цієї причини для квазічастинок однорідний основний стан є ідеальним вакуумом.

Перше, що ми маємо встановити, — це те, що термодинамічний потенціал у квантовій конденсованій матерії відіграє роль густини вакуумної енергії. Почнімо з «Теорії Всього» для конденсованої матерії. Засаднича  мікроскопічна фізика рідини або твердого тіла, що складається з $N$атомів, — квантова механіка. Система описується $N$-частинковою хвильовою функцією$\Psi \left( {{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}}\ldots {{{\vec{r}}}_{N}} \right)$. Відповідний багаточастинковий гамільтоніан

\[H=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\sum\limits_{i=1}^{N}{\sum\limits_{j=i+1}^{N}{U\left( {{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}} \right)}}\] (6) де $m$ — маса «голого» атома.

У термодинамічній границі, коли $V\to \infty $ і $N$ макроскопічно велике, можливий альтернативний опис системи в термінах квантованих полів, відомий як вторинне квантування. Квантовані поля подаються бозонними або ферміонними операторами знищення атомів $\psi (\vec{x})$. Багаточастинковий гамільтоніан  (6) перетворюється на гамільтоніан квантової теорії поля (КТП)

\[\begin{align} {{{\hat{H}}}_{QFT}}=\hat{H}-\mu \hat{N}=\int{d\vec{x}{{\psi }^{+}}(\vec{x})\left[ -\frac{{{\nabla }^{2}}}{2m}-\mu  \right]\psi (\vec{x})} \\ +\frac{1}{2}\int{d\vec{x}d\vec{y}U\left( \vec{x}-\vec{y} \right){{\psi }^{+}}(\vec{x}){{\psi }^{+}}(\vec{y})\psi (\vec{y})\psi (\vec{x})} \\ \end{align}\] (7)

Тут $\hat{N}=\int{dx{{\psi }^{+}}(\vec{x})\psi (\vec{x})}$ — оператор числа частинок (числа атомів), $\mu $ — хімічний потенціал, множник Лагранжа, введений для врахування збереження числа атомів.

Можна показати, що вакуум у КТП визначається не гамільтоніаном $\hat{H}$, а гамільтоніаном \[{{\hat{H}}_{QFT}}=\hat{H}-\mu \hat{N}\]. Тому густина енергії вакууму в описі КТП визначається термодинамічним потенціалом $E-\mu N$, який є вакуумним середнім гамільтоніана ${{\hat{H}}_{QFT}}$

\[{{\varepsilon }_{vac}}=\frac{1}{V}{{\left\langle {{{\hat{H}}}_{QFT}} \right\rangle }_{vac}}\] (8)

Гамільтоніан (7) слугує відправною точкою для побудови ефективної КТП, яка описує квазічастинки за низьких енергій та їхній вакуум.

3.2. Рівняння стану для вакууму в конденсованій матерії

Перевірмо, що густина енергії (8) є правильним вибором для густини енергії вакууму. Зробимо це за допомогою термодинамічного  співвідношення Гіббса — Дюгема, яке справджується в термодинамічній границі$N\to \infty $. Це співвідношення стверджує, що якщо конденсована матерія перебуває в рівновазі, то вона підпорядковується такому співвідношенню між середньою енергією $\left\langle {\hat{H}} \right\rangle $ та іншими термодинамічними змінними: температурою $T$, ентропією $S$ і числом частинок $N=\left\langle {\hat{N}} \right\rangle $, хімічним потенціалом $\mu $ та тиском $p$:

\[E-TS-\mu N=-pv\] (9)

Застосовуючи це співвідношення до рівноважного вакууму, тобто рівноважного стану за $T=0$, ми отримаємо співвідношення (5) між густиною енергії вакууму та його тиском

\[{{\varepsilon }_{vac}}=\frac{1}{V}{{\left\langle {{H}_{QFT}} \right\rangle }_{vac}}=\frac{1}{V}{{\left\langle {\hat{H}} \right\rangle }_{vac}}-\frac{1}{V}\mu {{\left\langle {\hat{N}} \right\rangle }_{vac}}=-{{p}_{vac}}\] (10)

Рис. 2. Сценарій у фізиці конденсованого стану для еволюції густини енергії $\epsilon _{vac}$ фізичного вакууму під час фазового переходу першого роду з рівноважного стану хибного вакууму в рівноважний стан істинного вакууму. До фазового переходу, тобто в хибному, але рівноважному вакуумі, має бути $\epsilon _{vac} =0.$ Протягом перехідного періоду мікроскопічні параметри вакууму змінювалися на нові, що відповідають рівноважному стану, в якому умова $\epsilon _{vac} =0.$ не виконується.

3.3 Термодинаміка вакууму

Термодинамічний аналіз не залежить від мікроскопічної структури вакууму і тому може бути застосований до будь-якого квантового вакууму. Це твердження випливає з простого аналізу рівноваги поршня між квантовим вакуумом і порожнім простором (див. рис. 1). Сила, що діє на поршень, дорівнює $F=-\frac{d{{E}_{vac}}}{dx}=-A\frac{d{{E}_{vac}}}{dV}=-A{{\varepsilon }_{vac}}$А, де $A$ — площа поршня. З іншого боку, сила, поділена на площу, становить тиск вакууму. І ми приходимо до рівняння стану (5).

Отже, з термодинаміки випливає загальна властивість:  вакуум поводиться як середовище з рівнянням стану (5). Це й не дивно. Адже вище ми бачили, що таке рівняння стану застосовне до вакууму релятивістської квантової теорії поля (РКТП). Це показує, що проблему вакуумної енергії можна розглянути із загальнішого погляду, не обмежуючись релятивістськими гамільтоніанами, а включаючи й польовий підхід. Крім того, не суттєво, включається гравітація чи ні, тобто чи є вакуум гравітуючим, чи ні.

Вакуумна енергія відіграє важливу роль навіть за відсутності гравітації. Уявімо собі світ без гравітації, тобто світ, де метричні поля не входять до низькоенергетичного сектору, або світ, де ньютонівська стала всесвітнього тяжіння $G=0$. У такому світі матерія має розширюватися завдяки тиску матерії. Однак, порівнюючи цю ситуацію з тією, що виникає в конденсованій матерії, де роль вакууму відіграє основний стан, а роль матерії —  квазічастинки, ми побачимо в розділі 8.1, що Всесвіт у такому світі може бути стабілізований вакуумним тиском, який компенсує тиск матерії.

Замість висновку

Лише зареєстровані користувачі можуть залишати коментарі. Увійдіть або зареєструйтеся.