Хоча Стандартна космологічна модель (СКМ), яка використовує як темну енергію космологічну сталу, успішно пояснює весь масив спостережень, ми не можемо відкинути можливість того, що роль темної енергії може відігравати не лише космологічна стала з рівнянням стану $p = w\rho$ де $w = - 1$, а й інші форми енергії. Спостережні дані показують, що параметр рівняння стану $w$ лежить у межах $ - 1.33 < w < - 0.79$
- квінтесенція $- 1 < w < - \frac{1}{3}$
- фантомна темна енергія $ - 1.33 < w < - 1$
- к-есенція
- тахіонне поле
- газ Чаплигіна $p = - \frac{A}{\rho }$
- тощо.
Усі ці види енергії представляють скалярне поле з різними рівняннями стану.
Покажемо, як розширення Всесвіту впливає на еволюцію скалярного поля.
Рівняння руху скалярного поля отримують аналогічно до рівнянь руху в класичній механіці — як варіаційну похідну дії за координатами,$$ \eqalign{ & \delta S = \delta \int {d^4 x\sqrt { - g} } \left( {\frac{1} {2}\partial _\mu \phi \partial ^\mu \phi - V(\phi )} \right) = \cr & = \int {d^4 x\sqrt { - g} } \left( {\frac{1} {2}\partial _\mu \phi \delta \partial ^\mu \phi + \frac{1} {2}\partial _\mu \delta \phi \partial ^\mu \phi - \frac{{dV(\phi )}} {{d\phi }}\delta \phi } \right) \cr} $$ Завдяки симетрії форми $\frac{1}{2}\partial _\mu \phi \delta \partial ^\mu \phi + \frac{1} {2}\partial _\mu \delta \phi \partial ^\mu \phi = \partial _\mu \delta \phi \partial ^\mu \phi $ (одночасне піднімання й опускання індексу не змінює знака доданків). Зауважимо також, що внаслідок лінійності операцій диференціювання та варіювання (тобто $\left[ {\partial _\mu ,\delta } \right]\phi = 0$ отримаємо $$ \delta S = \int {d^4 x\sqrt { - g} } \left( {\partial _\mu \phi \partial ^\mu \delta \phi - \frac{{dV(\phi )}} {{d\phi }}\delta \phi } \right) $$ розгляньмо похідну такого добутку $$ \partial _\mu \left( {\delta \phi \partial ^\mu \phi } \right) = \partial _\mu \delta \phi \partial ^\mu \phi + \left( {\partial _\mu \partial ^\mu \phi } \right)\delta \phi $$ $$ \delta S = \int {d^4 x\sqrt { - g} } \left[ { - \left( {\partial ^\mu \partial _\mu \phi } \right) - \frac{{dV(\phi )}} {{d\phi }}} \right]\delta \phi + \int {d^4 x\sqrt { - g} } \partial _\mu \left( {\delta \phi \partial ^\mu \phi } \right) $$ Оскільки варіювання відбувається за фіксованих на межі значень скалярного поля $\left. {\delta \phi } \right|_{x_\nu ^b } = 0$, а також завжди можна вибрати таку область інтегрування, щоб на її межі значення поля дорівнювали нулю. $$ \int {d^4 x\sqrt { - g} } \partial _\mu \left( {\delta \phi \partial ^\mu \phi } \right) = 0 $$ Тоді з огляду на довільність варіації $\delta \phi \ne 0$ $$ \left( {\partial ^\mu \partial _\mu \phi } \right) + \frac{{dV(\phi )}} {{d\phi }} = 0 $$ Розгляньмо, що означає позначення $\partial ^\mu \partial _\mu$: $$ \partial ^\mu \partial _\mu \phi = g^{\mu \nu } \partial _\mu \partial _\nu \phi = g^{\mu \nu } \partial _\mu \partial _\nu \phi - g^{\mu \nu } \Gamma _{\mu \nu }^\rho \frac{{d\phi }} {{dx^\rho }} $$
Оскільки ми розглядаємо скалярне поле, яке залежить лише від часу, в однорідному та ізотропному Всесвіті з метричним тензором, $$ g_{\mu \nu } = \left( {\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & { - a^2 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & { - a^2 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & { - a^2 } \\ \end{matrix} } \right) $$ $$ g^{\mu \nu } = \left( {\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & { - a^{ - 2} } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & { - a^{ - 2} } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & { - a^{ - 2} } \\ \end{matrix}} \right) $$ ураховуючи, що $$ \eqalign{ & \Gamma _{ij}^0 = \frac{1} {2}g^{00} \left( {\partial _j g_{0i} + \partial _i g_{0j} - \partial _0 g_{ij} } \right) = a\dot a\delta _{ij} \cr & \Gamma _{0j}^i = \frac{1} {2}g^{il} \left( {\partial _j g_{l0} + \partial _0 g_{lj} - \partial _l g_{0j} } \right) = \frac{{\dot a}} {a}\delta _{ij} \cr} $$ $$ \eqalign{ & \partial ^\mu \partial _\mu \phi = g^{00} \partial _0 \partial _0 \phi - g^{ij} \Gamma _{ij}^\rho \frac{{\partial \phi }} {{\partial x^\rho }} = \ddot \phi + a^{ - 2} \left( {\Gamma _{11}^0 + \Gamma _{22}^0 + \Gamma _{33}^0 } \right)\dot \phi = \cr & = \ddot \phi + a^{ - 2} \left( {3a\dot a} \right)\dot \phi = \ddot \phi + 3\frac{{\dot a}} {a}\dot \phi = \ddot \phi + 3H\dot \phi \cr} $$ у результаті приходимо до рівняння еволюції однорідного скалярного (дійсного) поля у Всесвіті, який розширюється $$ \ddot \phi + 3H\dot \phi + V'\left( \phi \right) = 0 $$ Це рівняння Кляйна—Ґордона
Зауважимо, що фонова взаємодія забезпечує збереження енергії скалярного поля, попри наявність «сили тертя» в рівнянні Кляйна—Ґордона. Доведемо це твердження.
Запишімо перший закон термодинаміки: $$ dE + pdV = TdS $$ оскільки ентропія Всесвіту зберігається, маємо: $$ dE + pdV = TdS = 0 $$ Тензор енергії-імпульсу $$ T_{\mu \nu } = \partial _\mu \phi \partial _\nu \phi - \frac{1} {2}g_{\mu \nu } \left[ {\frac{1} {2}g^{\alpha \beta } \partial _\alpha \phi \partial _\beta \phi - V(\phi )} \right] $$ для однорідного поля $\phi$, яке залежить лише від часу, зводиться до: $$ \eqalign{ & T_{00} = \rho = \partial _0 \phi \partial _0 \phi - \frac{1} {2}g^{\alpha \beta } \frac{{\partial \phi }} {{\partial x_\alpha }}\frac{{\partial \phi }} {{\partial x_\beta }} + V(\phi ) = \frac{1} {2}\dot \phi ^2 + V(\phi ) \cr & T_{ij} = \delta _{ij} p = \frac{1} {2}g^{\alpha \beta } \frac{{\partial \phi }} {{\partial x_\alpha }}\frac{{\partial \phi }} {{\partial x_\beta }} - V(\phi ) = \delta _{ij} \left( {\frac{1} {2}\dot \phi ^2 - V(\phi )} \right) \cr} $$ Оскільки $dE = Vd\rho + \rho dV$, тоді $dE + pdV = TdS = 0$ набуде вигляду: $$ Vd\rho + \rho dV + pdV = 0; $$ Винесемо за дужки $dV$ $$ Vd\rho + (\rho + p)dV = 0; $$ Де, як було показано вище, $$ \rho + p = \frac{1} {2}\dot \phi ^2 + V(\phi ) + \frac{1} {2}\dot \phi ^2 - V(\phi ) = \dot \phi ^2 $$
$V = a^3 V_0$ підставляємо в $Vd\rho + (\rho + p)dV = 0$ $$ Vd\rho + \dot \phi ^2 dV = 0; $$ $$ \eqalign{ & V\frac{{d\rho }} {{dt}} + \dot \phi ^2 \frac{{dV}} {{dt}} = 0; \cr & a^3 (\dot \phi \ddot \phi + V'_\phi \dot \phi ) + 3a^2 \dot a\dot \phi ^2 = 0 \cr} $$ І остаточно отримаємо $$ \ddot \phi + 3H\dot \phi + V'(\phi ) = 0 $$
Лише зареєстровані користувачі можуть залишати коментарі. Увійдіть або зареєструйтеся.
Коментарі (0):