Квантова гравітація у Флатландії

Уявіть, що світ не тривимірний, а двовимірний. Якою тоді була б сила гравітації? Несподівані відповіді на це запитання вказують фізикам шлях до єдиної теорії природи. Від самого становлення як науки фізика шукає єдність у природі. Ісаак Ньютон показав, що та сама сила, яка змушує яблуко падати, утримує планети на їхніх орбітах. Джеймс Клерк Максвелл об’єднав теорії електрики, магнетизму й оптики в єдину теорію електромагнетизму. Через століття фізики додали до неї слабкі ядерні сили та створили теорію електрослабкої взаємодії. Альберт Айнштайн поєднав простір і час у єдиний просторово-часовий континуум.

Сьогодні в цих пошуках бракує ланки, яка об’єднала б теорію гравітації та квантову механіку. Айнштайнова теорія гравітації — загальна теорія відносності — описує народження Всесвіту, орбіти планет і падіння Ньютонового яблука. Квантова механіка описує атоми й молекули, електрони та кварки, фундаментальні субатомні сили й багато іншого. Однак ці теорії виявляються несумісними, коли потрібно застосовувати їх обидві — там, де сильні і гравітаційні, і квантові ефекти, наприклад у чорних дірах. Найуспішніші спроби фізиків об’єднати їх у квантову теорію гравітації зазнали фіаско. Отримані за її допомогою відповіді часом не мали сенсу. Або відповідей не було взагалі. Попри 80 років роботи кількох поколінь фізиків, зокрема близько десятка нобелівських лауреатів, квантова теорія гравітації залишається невловною.

Притисніть фізика до стіни якимось каверзним запитанням — і почуєте у відповідь: «Запитайте щось простіше». Фізики просуваються вперед, будуючи прості моделі, які включають окремі складники складного реального світу. Науковці працювали над багатьма такими моделями квантової гравітації, зокрема наближеннями, правильними за слабкої гравітації, або окремими випадками, як-от чорними дірами.

Можливо, найнезвичніший підхід — знехтувати цілим просторовим виміром і подивитися, як працюватиме гравітація у двовимірному Всесвіті. (Формально фізики описують цю ситуацію як «(2+1)-вимірний простір», маючи на увазі два просторові виміри й час.) Принципи, які керують гравітацією в такому спрощеному Всесвіті, можливо, застосовні й до нашого тривимірного, що дає нам такий потрібний ключ до теорії об’єднання.

Ідея відкинути один вимір має цікаву історію. У романі Едвіна Ебботта (Edwin Abbott) «Флатландія: небилиця про багато вимірів», що вийшов у 1884 р. (див.: Ебботт Е., Бюргер Д. Флатландія. Сферландія. М.: Мир, 1976), розповідається про пригоди Квадрата — мешканця двовимірного світу трикутників, квадратів та інших геометричних фігур. Хоча Ебботт написав цей роман як сатиричну пародію на вікторіанське суспільство — у Флатландії існує сувора ієрархія з лініями-жінками в основі класової піраміди та колами-жерцями на її вершині, — Флатландія спричинила сплеск інтересу до геометрії просторів із різною кількістю вимірів і досі популярна серед математиків та фізиків. Науковці, які намагаються осягнути багатовимірний світ, починають зі спроб уявити, який вигляд мав би наш тривимірний світ очима Квадрата. Крім усього іншого, Флатландія надихнула фізиків, які вивчають такі матеріали, як графен, що, власне, і є двовимірною структурою (див.: Гейм А., Кім Ф. Вуглець — країна див // ВМН, № 7, 2008).

Перші теорії гравітації у Флатландії, що з’явилися на початку 1960-х рр., стали суцільним розчаруванням. У двовимірному просторі змінам гравітаційного поля буквально бракує місця для поширення. Однак наприкінці 1980-х рр. ця тема отримала друге життя, коли науковці зрозуміли, що гравітація діє незвичним способом. У двовимірному просторі вона також вибудовує космос і навіть утворює чорні діри. Гравітація у Флатландії стала хрестоматійним прикладом нестандартного мислення, що дає змогу піддати деякі наші умоглядні ідеї, як-от так званий голографічний принцип або виникнення часу з безчасся, ретельній математичній перевірці.

Керування часом

Коли фізики намагаються створити квантову теорію певної сили, вони беруть за відправну точку відповідну класичну теорію. У випадку гравітації це загальна теорія відносності. Саме тут і починаються неприємності. Загальна теорія відносності описується складною системою з десяти рівнянь, кожне з яких містить до тисячі членів. Ми не можемо розв’язати ці рівняння в загальному вигляді й тому стикаємося з неймовірно складною задачею, будуючи їхні квантові версії. Але загадка, чому квантова теорія гравітації така невловна, лежить іще глибше.

Всесвіт загалом описується однією-єдиною хвильовою функцією, яка містить увесь час — минулий, теперішній і майбутній. Але як вона породила динамічний світ, у якому ми живемо?

Згідно із загальною теорією відносності, те, що ми називаємо «гравітацією», насправді є проявом форми простору-часу. Земля обертається навколо Сонця не тому, що її притягує певна сила, а тому, що вона рухається найпрямішим з усіх можливих шляхів у просторі-часі, викривленому масою Сонця. Об’єднання квантової механіки й теорії гравітації означає, що потрібно якимось чином квантувати структури самого простору-часу.

Можливо, сказане не здається аж таким серйозним викликом. Однак наріжний камінь квантової механіки — принцип невизначеності Гайзенберґа: ідея, що фізичні величини за своєю природою розмиті, тобто хаотично флуктуюють і не мають визначеного значення, доки їх не виміряють або не піддадуть подібному процесу. У квантовій теорії гравітації флуктуює сам простір-час, розхитуючи тим самим риштовання, за допомогою якого зводиться будівля всієї решти фізики. Простіше кажучи, ми так і не знаємо, що таке квантовий простір-час.

Ці принципові перешкоди на шляху до осмислення квантованого простору-часу проявляються кількома особливими способами. Один із них — добре відома «проблема часу». Час — фундаментальна характеристика спостережуваної нами дійсності. Майже кожна фізична теорія зрештою зводиться до опису того, як певна частина Всесвіту змінюється з часом. Тому нам, фізикам, варто було б краще знати, що таке «час», але прикра правда полягає в тому, що ми цього не знаємо.

Для Ньютона час був абсолютним: він лежить поза природою, впливає на матерію, а матерія на нього не впливає. Традиційні формулювання квантової механіки приймають цю ідею абсолютного часу. Однак теорія відносності розвінчала абсолютний час. Різні спостерігачі, які рухаються один відносно одного, по-різному відчувають час і навіть можуть не погодитися щодо одночасності двох подій. Годинники, як і все інше, що змінюється з часом, у сильному гравітаційному полі йдуть повільніше. Переставши бути зовнішнім параметром, час стає активною частиною Всесвіту. Але якщо не існує ідеального годинника, розташованого поза Всесвітом, який визначав би швидкість змін, то час має виникати із самої внутрішньої структури Всесвіту (див.: Каллендер К. Час як ілюзія // ВМН, № 9, 2010). Але як? Важко навіть зрозуміти, із чого почати.

Проблема часу має менш відомого родича — проблему спостережуваних. Фізика — емпірична наука: для будь-яких спостережуваних величин теорія має давати передбачення, які можна перевірити експериментально. У традиційній фізиці ці величини прив’язані до конкретних точок: напруженість електричного поля «тут» або ймовірність знайти електрон «там». Поняття «тут» і «там» ми характеризуємо координатами х, у та z, а наші теорії передбачають, як спостережувані залежать від них.

Однак, за Айнштайном, просторові координати — лише довільні, придумані людьми ярлики, до яких Всесвіту загалом немає жодного діла. Але якщо неможливо об’єктивно визначити точку в просторі, то не можна казати, що знаєш, що там відбувається. Чарлз Торре (Charles Torre) з Університету штату Юта показав, що квантова теорія гравітації не може мати суто локальних спостережуваних, тобто спостережуваних, значення яких залежить лише від однієї точки простору-часу. Отже, науковцям залишилися нелокальні спостережувані — величини, значення яких залежать одразу від багатьох точок. У загальному випадку ми навіть не знаємо, як означити такі об’єкти, і ще менше — як використати їх для опису спостережуваного світу.

Третя проблема — як виник наш Всесвіт? Чи народився він із нічого? Чи відокремився від батьківського Всесвіту? Чи сталося щось зовсім інше? Кожна з можливостей створює труднощі для квантової теорії гравітації. Пов’язана із цим проблема — незмінний фаворит письменників-фантастів: «кротовини», які утворюють тунелі між різними точками простору або навіть часу. Фізики цілком серйозно міркують над цією ідеєю (за минулі 20 років у наукових журналах опубліковано понад тисячу статей про «кротовини»), водночас не маючи відповіді на запитання, чи можливі такі структури взагалі.

Нарешті, остання група запитань стосується найзагадковіших із відомих науці утворень — чорних дір. Вони, можливо, відкривають нам найширше вікно в сутність простору й часу. На початку 1970-х рр. Стівен Гокінґ (Stephen Hawking) показав, що чорні діри мають світитися, мов розжарене вугілля, — випускати випромінювання з так званим спектром абсолютно чорного тіла. У будь-якій іншій фізичній системі температура відображає внутрішній стан її мікроскопічних складників. Коли ми кажемо, що в кімнаті спекотно, то насправді маємо на увазі, що молекули повітря в ній рухаються енергійніше. У випадку чорної діри «молекули» мають бути квантово-гравітаційними. Це зовсім не молекули у звичному сенсі, а певна невідома базова мікроскопічна структура, яка повинна мати можливість змінюватися, — те, що фізики назвали б «ступенями вільності». Що там відбувається насправді, ніхто не знає.

Неприваблива модель

На перший погляд Флатландія здається не надто придатним місцем для пошуку відповідей на всі ці запитання. У Флатландії Ебботта є безліч законів, але серед них немає закону гравітації. У 1963 р. польський фізик Анджей Старушкевич (Andrzej Staruszkiewicz), застосувавши загальну теорію відносності, розрахував, яким цей закон міг би бути. Він виявив, що масивний об’єкт у Флатландії згорне двовимірну площину навколо себе в конічну поверхню — так само, як роблять капелюх, скручуючи плоский аркуш паперу. Невеликий об’єкт, проходячи через вершину цього конуса, виявить, що його траєкторія змінилася, подібно до того, як у нашому Всесвіті орбіти комет змінюються під впливом Сонця. У 1984 р. Стенлі Дезер (Stanley Deser) з Університету Брандейса, Роман Яців (Roman Jackiw) із Массачусетського технологічного інституту та Герард ’т Гоофт (Gerard't Hooft) з Утрехтського університету в Нідерландах розрахували, як квантові частинки рухатимуться в такому просторі.

Така геометрія набагато простіша за складну картину кривини, яку створює гравітація в нашому тривимірному Всесвіті. У Флатландії немає відповідника Ньютонового закону тяжіння: натомість величина сили залежить від швидкостей об’єктів, і два тіла у стані спокою не притягуються одне до одного. Така простота приваблива. Вона означає, що квантова теорія Старушкевича буде простішою за повномасштабну квантову загальну теорію відносності у тривимірному просторі. На жаль, ця теорія надто проста: квантувати нічого. У двовимірному просторі немає місця для одного з найважливіших елементів Айнштайнової теорії — гравітаційних хвиль.

Розгляньмо простіший приклад з електромагнетизму. Електричні та магнітні поля створюються електричними зарядами й струмами. Як показав Максвелл, вони можуть відокремлюватися від своїх джерел і вільно поширюватися у вигляді електромагнітних хвиль. У квантовій версії теорії Максвелла хвилі перетворюються на фотони — кванти світла. Так само гравітаційні поля загальної теорії відносності можуть відокремлюватися від своїх джерел у вигляді вільно поширюваних гравітаційних хвиль, і фізики припускають, що квантова теорія гравітації міститиме частинки, названі гравітонами, які й поширюються в просторі.

Світлова хвиля поляризована: її електричне поле коливається в напрямку, перпендикулярному до напрямку поширення. Гравітаційна хвиля також має поляризацію, але тут картина складніша: поле коливається не в одному, а у двох напрямках, перпендикулярних до напрямку поширення. У Флатландії для такої поведінки просто немає простору. Оскільки напрямок поширення фіксований, залишається лише один перпендикулярний до нього напрямок. Попри окремі спалахи інтересу, відкриття Старушкевича почали забувати. Але згодом, у 1989 р., на сцену вийшов Едвард Віттен (Edward Witten) з Інституту перспективних досліджень у Принстоні (штат Нью-Джерсі). Віттен, один із провідних світових фахівців із математичної фізики, працював над особливим класом полів, у яких хвилі не можуть вільно поширюватися. Коли науковець зрозумів, що двовимірна гравітація належить до цього класу, він додав до теорії вкрай необхідний складник — топологію.

Бубликоландія

Віттен звернув увагу на те, що, навіть якщо гравітація не може поширюватися у вигляді хвиль, вона все одно надзвичайно сильно впливає на загальну форму простору. Цей ефект не проявляється, коли Флатландія — просто площина: для нього потрібна складніша топологія. Коли крижані скульптури тануть, деталі розмиваються, але окремі риси, наприклад отвори, зберігаються досить довго. Це описує топологія. Кажуть, що дві поверхні мають однакову топологію, якщо одну можна плавно деформувати в іншу без розрізів, розривів чи склеювань. Наприклад, півсфера та диск мають однакову топологію: якщо розтягнути півсферу, прикладаючи силу вздовж її краю, вийде диск. У сфери інша топологія: щоб перетворити її на півсферу, потрібно відрізати від неї частину. Тор — поверхня бублика — приклад ще однієї топології. Поверхня кавової чашки має таку саму топологію, що й тор: її ручка схожа на тор, а решту можна вирівняти без надрізів і розривів. Із цим пов’язаний старий жарт математиків про те, що тополог не може відрізнити пончик від чашки кави.

Хоча здається, що тори складаються з кривих, якщо розглядати їхню внутрішню геометрію, а не дивитися на них ззовні, можна помітити, що насправді вони можуть бути плоскими. З топологічного погляду тор робить тором те, що його можна повністю обійти у двох різних напрямках: крізь отвір або вздовж обода. Ця риса знайома кожному, хто грав у відеоігри доби 1980-х рр., у яких персонаж, зникнувши праворуч на екрані, знову з’являється ліворуч. Екран плоский, його властивості підкоряються законам планіметрії, наприклад тому, що паралельні прямі ніколи не перетинаються. Проте його топологія тороїдальна.

Насправді існує нескінченна родина таких торів — усі вони плоскі, але різні, і відрізняються параметром, названим модулем. Гравітація в тороїдальному Всесвіті змушує модуль змінюватися з часом. Тор, який під час великого вибуху народжується як лінія, розкривається; у міру розширення Всесвіту його геометрія стає дедалі квадратнішою. Виходячи з результатів Віттена, я показав, що цей процес можна квантувати, перетворивши класичну теорію гравітації на квантову. Квантова гравітація у Флатландії — теорія не про гравітони, а про тори, які змінюють свою форму. Такий погляд означає відхід від звичного уявлення про квантову теорію як про теорію дуже малого. Квантова гравітація у двох вимірах — фактично теорія, що розглядає весь Всесвіт як єдиний об’єкт. Ця здогадка дає нам достатньо багату модель для дослідження деяких фундаментальних концептуальних проблем квантової теорії.

У пошуках часу

Наприклад, теорія гравітації Флатландії показує, як час міг би виникнути з фундаментально позачасової реальності. В одному з формулювань цієї теорії весь Всесвіт описується єдиною квантовою хвильовою функцією за допомогою математичного апарату, який фізики зазвичай застосовують для опису елементарних частинок і атомів. Ця хвильова функція не залежить від часу, оскільки вже містить увесь час — минуле, теперішнє та майбутнє. Якимось чином ця «позачасова» хвильова функція породжує зміни, які ми спостерігаємо у світі. Тут доречно згадати афоризм Айнштайна, який любив казати, що час — це те, що вимірюють годинником. Час не відокремлений від Всесвіту: його визначає підсистема, пов’язана з рештою Всесвіту, так само як настінний годинник синхронізований з обертанням Землі.

Теорія дає змогу обрати один із багатьох різних варіантів годинника, і наш вибір визначає, що саме ми розуміємо під терміном «час». Квадрат із Флатландії Ебботта може визначати час за показами атомних годинників на супутниках, подібних до тих, які використовують у системі глобального позиціювання. Він може відлічувати час за довжиною кривих, що починаються від Великого вибуху, за розміром Всесвіту, який розширюється, або за величиною червоного зміщення, спричиненого цим розширенням. Коли він зробить свій вибір, усі інші фізичні спостережувані змінюватимуться відповідно до часу на його годиннику. Модуль тороподібного Всесвіту пов’язаний, наприклад, із його розміром, і Квадрат сприймає це як еволюцію Всесвіту в часі. Отже, теорія без сторонньої допомоги породжує час із позбавленого часу Всесвіту. Ці ідеї не нові, але квантова гравітація у Бубликоландії нарешті дала вихідні дані, які можна використати в розрахунках і перевірити, що загальна картина не просто приваблива, а справді працює. Деякі означення часу мають цікаві наслідки — наприклад, припущення, що простір може скластися.

Щодо проблеми спостережуваних, Бубликоландія дає нам багато реально вимірюваних величин — саме модулів. Суть у тому, що ці величини нелокальні: вони не стосуються конкретних місць, а описують структуру всього простору. Усе, що вимірює Квадрат, зрештою є змінною, яка заміщує ці нелокальні величини. У 2008 р. Катаріна Мойсбургер (Catherine Meusburger), яка нині працює в Ерлангенсько-Нюрнберзькому університеті в Німеччині, показала, що ці модулі відповідають реальним космологічним величинам, як-от часам запізнення та червоним зміщенням світла. Я показав, як вони пов’язані з рухом об’єктів.

Теорія гравітації Флатландії обіцяє добрі новини шукачам «кротовин»: принаймні одне з її формулювань допускає зміну топології простору. Квадрат може ввечері лягти спати у Сферландії, а наступного ранку прокинутися у Бубликоландії, що еквівалентно утворенню тунелю між двома далекими куточками Всесвіту. У деяких версіях теорії можна описати народження Всесвіту з нічого внаслідок первинної зміни топології.

На краю Всесвіту

Оскільки гравітація у Флатландії недорозвинена, фахівці в цій галузі (зокрема і я) вважали загальновизнаним фактом неможливість двовимірних чорних дір. Однак у 1992 р. троє фізиків — Максімо Баньядос (Maximo Banados), який нині працює в Папському католицькому університеті Чилі, Клаудіо Бунстер (Claudio Bunster) і Хорхе Санеллі (Jorge Zanelli), обидва з Центру наукових досліджень у Вальдівії, Чилі, — приголомшили світ, або принаймні наш маленький його куточок, показавши, що теорія все ж допускає існування чорних дір, якщо Всесвіт містить певний вид темної енергії.

Так звані BTZ-чорні діри дуже схожі на справжні, з нашого Всесвіту. Утворена з речовини, що стискається під власною вагою, така діра оточена горизонтом подій — бар’єром, який пропускає лише в один бік і з-за якого ніщо не може повернутися. Для зовнішнього спостерігача горизонт подій має вигляд краю Всесвіту: будь-який об’єкт, що перетнув його, повністю відрізаний від нас. Згідно з обчисленнями Гокінґа, Квадрат побачив би її світіння за температури, яка залежить від її маси та моменту імпульсу.

Цей результат ставить нову загадку. За відсутності гравітаційних хвиль або гравітонів гравітація у Флатландії мала б також не мати гравітаційних ступенів вільності, які пояснювали б температуру чорної діри. Однак вони якимось чином з’являються. Причина в тому, що сам горизонт подій додає структуру, відсутню в порожньому двовимірному просторі. Горизонт подій існує в певній частині простору, що математично додає до початкової теорії низку додаткових величин. Коливання, які розгойдують горизонт подій, дають додаткові ступені вільності. Дивовижно, але ми виявили, що вони точно відтворюють результати Гокінґа.

Оскільки ступені вільності — властивості самого горизонту подій, вони в певному сенсі розташовані на краю Флатландії. Тому вони є практичним втіленням захопливої гіпотези про природу квантової гравітації — голографічного принципу. Цей принцип стверджує, що просторовий вимір може бути замінним. Багато фізиків вважають, що так само, як голограма фіксує тривимірне зображення на плоскій плівці, фізику d-вимірного світу можна повністю відобразити простішою теорією у d-1 вимірах. У теорії струн — спробі об’єднати загальну теорію відносності з квантовою механікою, що просунулася найдалі, — ця ідея наприкінці 1990-х рр. привела до нового підходу: створення квантової теорії гравітації (див.: Малдасена Х. Ілюзія гравітації // ВМН, № 2, 2006).

Теорія гравітації Флатландії пропонує спрощений сценарій для перевірки цього підходу. Трохи більш ніж чотири роки тому Віттен і Александер Мелоні (Alexander Maloney), який нині працює в Університеті Макгілла, знову здивували світ фізики, припустивши, що голографічні передбачення, схоже, не працюють у найпростішій формі двовимірної теорії гравітації. Вони виявили, що теорія, вочевидь, передбачає неможливі теплові властивості чорних дір. Цей несподіваний результат свідчить, що гравітація — тонше явище, ніж ми очікували, і відповіддю став новий сплеск досліджень Флатландії. Можливо, гравітація в чистому вигляді просто не має сенсу, а проявляється разом з іншими силами й частинками. Можливо, теорію Айнштайна слід переглянути. Імовірно, нам потрібно знайти спосіб повернути деякі локальні ступені вільності. Або ж голографічний принцип не завжди чинний. Можливо, простір, як і час, — не фундаментальні складники Всесвіту. Якою б не була відповідь, Флатландія вказала нам напрямок, яким інакше ми могли б не піти.

Хоча ми не здатні створити справжню двовимірну чорну діру, можливо, зуміємо експериментально перевірити деякі передбачення моделі Флатландії. Кілька лабораторій у світі працюють над двовимірними аналогами чорних дір. Наприклад, рідина, що тече швидше за звук, утворює звуковий горизонт подій, з-за якого не може вирватися звукова хвиля. Експериментатори також створили двовимірні чорні діри за допомогою електромагнітних хвиль, які поширюються вздовж поверхні. Такі аналоги мають демонструвати квантове світіння, багато в чому подібне до світіння чорних дір.

Квантова теорія гравітації у Флатландії виникла як ігровий майданчик для фізиків — найпростіше поле для дослідження ідей, що стосуються квантової теорії гравітації реального світу. Вона вже дала нам цінний урок про час, спостережувані й топологію, який можна перенести до реальної тривимірної теорії гравітації. Модель здивувала своїм багатством: несподівано важливою роллю топології, незвичайними чорними дірами та дивними голографічними властивостями. Можливо, невдовзі ми повністю зрозуміємо, що означає бути Квадратом у плоскому світі.

Переклад: А.П. Кузнецов

ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА:

1. Quantum Gravity in 2+1 Dimensions. Steven Carlip. Cambridge University Press, 1998.
2. The Planiverse: Computer Contact with a Two-Dimensional World. A.K. Dewdney. Springer, 2001.
3. Quantum Gravity in 2+1 Dimensions: The Case of a Closed Universe. Steven Carlip in Living Reviews in Relativity, Vol. 8: 2005. www.livingreviews.org/lrr-2005-l
4. Глосарій квантової гравітації на вебсторінці Стівена Карліпа: http://snurl.com/carlip
5. Патрісія Шварц пропонує подорож у часі у Флатландії: www.theory.caltech.edu/people/patricia/lctoc.html

ПРО АВТОРА

Стівен Карліп (Steven Carlip) змінив кілька занять: працював друкарем, редактором газети й робітником на заводі, перш ніж вирішив стати фізиком. Він навчався під керівництвом Брайса Девітта (Bryce DeWitt), одного із засновників квантової теорії гравітації. Нині Стівен Карліп — професор Каліфорнійського університету в Девісі, член Американського фізичного товариства та його британського аналога — Інституту фізики.

Лише зареєстровані користувачі можуть залишати коментарі. Увійдіть або зареєструйтеся.