Рівняння Дірака для електрона стало для фізики поворотним пунктом у багатьох відношеннях. У 1928 році, коли Дірак запропонував своє рівняння, з усіх елементарних частинок науці були відомі лише електрони, протони й фотони. Вільні рівняння Максвелла описують фотони, передбачені Ейнштейном у 1905 році. Цю ранню роботу поступово розвинули Ейнштейн, Бозе та інші, а в 1927 році Йордан і Паулі створили повну математичну схему для опису вільних фотонів шляхом запровадження квантування в максвеллівську теорію вільного поля. Здавалося також, що протон, як і електрон, досить добре описується рівнянням Дірака. У теорію Дірака чудово вписувалася електромагнітна взаємодія, яка описує, як фотони впливають на електрони й протони, завдяки ідеї калібрування (запровадженій Вейлем у 1918 році). Початок формулюванню повної теорії електронів (або протонів), що взаємодіють із фотонами (тобто квантової електродинаміки), поклав сам Дірак у 1927 році. Отже, здавалося, що під рукою є всі більш-менш основні засоби для опису всіх частинок, які існують у Природі, а також найочевидніших взаємодій між ними.
Витоки сучасної фізики елементарних частинок
І все ж фізики того часу здебільшого не були настільки нерозумними, щоб припускати, ніби все це ось-ось приведе їх до «теорії всього». Вони усвідомлювали, що ні сили, які утримують ядро від розпаду (нині це називається сильною взаємодією), ні механізм, відповідальний за радіоактивний розпад (тепер це називається слабкою взаємодією), не можна пояснити без подальшого просування вперед. Якби єдиними складовими атомів, зокрема атомних ядер, були діраківські протони й електрони, що взаємодіють лише через електромагнітне поле, тоді всі звичайні ядра (за винятком одиночного протона, який становить ядро атома водню) мали б миттєво розпадатися через електростатичне відштовхування внаслідок переважання додатних зарядів. Мало існувати щось доти невідоме, що створює сильне притягання між частинками всередині ядра!
У 1932 році Чедвік відкрив нейтрон, і це зрештою привело до заміни раніше популярної протонно-електронної моделі ядра новою моделлю, згідно з якою ядро містить протони й нейтрони, сильна взаємодія між якими утримує ядро від розпаду. Але навіть ця сильна взаємодія була ще не всім, що вислизало з розуміння того часу. Радіоактивність урану, відома від спостереження Анрі Беккереля в 1896 році, виявилася результатом ще однієї — слабкої — взаємодії, відмінної і від сильної, і від електромагнітної. Навіть сам нейтрон, полишений сам на себе, розпадається приблизно за 15 хвилин.
Одним із загадкових продуктів радіоактивного розпаду виявилося невловиме нейтрино, попередню гіпотезу про існування якого висунув Паулі в 1929 році, але яке не було безпосередньо виявлено аж до 1956 року. Саме вивчення радіоактивності зрештою принесло фізикам несподівану популярність і впливовість наприкінці Другої світової війни та після неї...
Багато що змінилося від часів початкового проникнення у фізику елементарних частинок у першій третині XX століття. Зараз, на початку XXI століття, ми маємо значно повнішу картину, відому під назвою Стандартної моделі фізики елементарних частинок. Ця модель описує майже всю спостережувану поведінку широкого класу відомих нині елементарних частинок. До фотона, електрона, протона, позитрона, нейтрона й нейтрино згодом приєдналися різні інші різновиди нейтрино, мюон, піони (ефектно передбачені Юкавою в 1934 році), каони, лямбда- й сигма-частинки, а також омега-мінус-частинка, знаменита завдяки історії її передбачення. У 1955 році експериментально виявили антипротон, у 1956 році — антинейтрон. Існують об’єкти нового типу — кварки, глюони та W- і Z-бозони, а також ціла зграя частинок, існування яких настільки швидкоплинне, що їх ніколи не спостерігали безпосередньо; їх відносять до «резонансів». Формалізм сучасної теорії вимагає також існування нестаціонарних об’єктів, які називають «віртуальними частинками», а також величин, іменованих «духами», щодо яких можливість безпосереднього спостереження виключена.
Існує також приголомшливе розмаїття гіпотетичних (і поки не виявлених) частинок, передбачених деякими теоретичними моделями, які поки не вписуються в загальноприйняту схему елементарних частинок, — «Х-бозони», «аксіони», «фотино», «скварки», «глюїно», «магнітні монополі», «дилатони» тощо. Є ще примарна частинка Гіґґса, не виявлена на момент написання цієї книги, існування якої в тій чи іншій формі (можливо, не як одиночної частинки) істотне для сьогоднішньої фізики елементарних частинок, у якій пов’язане із цією частинкою поле Гіґґса визначає масу кожної елементарної частинки.
Рівняння Дірака
$$\left(i\hbar c \, \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0$$ Із рівняння Дірака випливає, що електрон має власний механічний момент кількості руху — спін, рівний ħ/2, а також власний магнітний момент, рівний магнетону Бора $e\hbar/2Мc$, які раніше (1925) були відкриті експериментально (e і m — заряд і маса електрона, с — швидкість світла, $\hbar$ — стала Дірака (редукована стала Планка)). За допомогою рівняння Дірака було отримано точнішу формулу для рівнів енергії атома водню (і воднеподібних атомів), що включає тонку структуру рівнів, а також пояснено ефект Зеемана. На основі рівняння Дірака було знайдено формули для ймовірностей розсіяння фотонів вільними електронами (комптон-ефекту) та випромінювання електрона під час його гальмування (гальмівного випромінювання), які отримали експериментальне підтвердження. Однак послідовний релятивістський опис руху електрона дає квантова електродинаміка.
Характерна особливість рівняння Дірака — наявність серед його розв’язків таких, що відповідають станам із від’ємними значеннями енергії для вільного руху частинки (що відповідає від’ємній масі частинки). Це створювало труднощі для теорії, оскільки всі механічні закони для частинки в таких станах були б неправильними, а переходи в ці стани у квантовій теорії можливі. Справжній фізичний зміст переходів на рівні з від’ємною енергією з’ясувався згодом, коли було доведено можливість взаємоперетворення частинок. Із рівняння Дірака випливало, що має існувати нова частинка (античастинка щодо електрона) з масою електрона й електричним зарядом протилежного знака; таку частинку справді відкрив у 1932 році К. Андерсон, і її назвали позитроном. Це стало величезним успіхом теорії електрона Дірака. Перехід електрона зі стану з від’ємною енергією у стан із додатною енергією та зворотний перехід інтерпретуються як процес утворення пари електрон-позитрон і анігіляція такої пари.
Рівняння Дірака справедливе і для інших частинок зі спіном 1/2 (в одиницях $\hbar$) — ферміонів, наприклад мюонів, нейтрино; при цьому добра відповідність досліду досягається за прямого застосування рівняння Дірака до простих (а не складених) частинок, як-от щойно згаданих. Для протона й нейтрона (складених частинок, які складаються з кварків, зв’язаних глюонним полем, але також мають спін 1/2) воно за прямого застосування (як до простих частинок) приводить до неправильних значень магнітних моментів: магнітний момент «діраківського» протона «має бути» рівним ядерному магнетону $e\hbar/2Мc$ (М — маса протона), а нейтрона (оскільки він не заряджений) — нулю. Дослід же показує, що магнітний момент протона приблизно у 2,8 раза більший за ядерний магнетон, а магнітний момент нейтрона від’ємний і за абсолютною величиною становить близько 2/3 від магнітного моменту протона. Аномальні магнітні моменти цих частинок зумовлені їхньою складеною природою та сильними взаємодіями.
Насправді це рівняння застосовне до кварків, які також є елементарними частинками зі спіном 1/2. Модифіковане рівняння Дірака можна використовувати для опису протонів і нейтронів, які не є елементарними частинками (вони складаються з кварків). Іншу модифікацію рівняння Дірака — рівняння Майорани — застосовують у деяких розширеннях Стандартної моделі для опису нейтрино.Зигзаг-представлення електрона
У цій та низці наступних статей пропонується короткий путівник Стандартною моделлю сучасної фізики елементарних частинок.
Почнімо дещо нестандартно, переформулювавши рівняння Дірака у «2-спінорному представленні». Спінор Паулі, що описує частинку зі спіном - [значення спіну в оригіналі пошкоджене], є двокомпонентною величиною $\psi_a$- (Компонентами є $\psi_0$- і $\psi_1$.) З урахуванням вимог теорії відносності нам знадобляться також величини зі штрихованими індексами $A', B', C’$,..., які з’являються під час комплексного спряження, застосованого до нештрихованих індексів. Виявляється, що описаний вище діраківський спінор $\psi$ з його чотирма комплексними компонентами можна подати у вигляді пари 2-спінорів, $\alpha_a$ і $\beta_{a’}$, один з яких має нештрихований індекс, а інший — штрихований:
$$\psi=(\alpha_a,\beta_{a’}) $$
Тоді рівняння Дірака можна записати у вигляді рівняння, яке пов’язує ці два 2-спінори, причому кожен із них відіграє щодо іншого роль «джерела» з «константою зв’язку» $2^{-1/2}M$, що визначає «силу взаємодії» між ними:
$$\nabla^{A}_{B’ }\alpha_a =2^{-1/2}M\beta_{B’}, ~~\nabla ^{B’}_{A }\beta_{B’} =2^{-1/2}M,\alpha _{A’}, $$
Оператори $\nabla^{A}_{B’ }$ і $\nabla^{B}_{A’ }$ є 2-спінорними представленнями звичайного оператора градієнта $\nabla$. Не слід надавати великого значення всім цим індексам, множникам $2^{-1/2}$ і точній формі цих рівнянь — я наводжу їх тут лише для того, щоб показати, як можна включити рівняння Дірака в загальні межі 2-спінорного аналізу і як це, щойно зроблено, може допомогти по-новому поглянути на природу рівняння Дірака.
Форма цих рівнянь показує, що діраківський електрон можна вважати таким, що складається з двох складників — $\alpha_A$ і $\beta_{A’}$. Їм можна надати певного фізичного змісту.
Можна уявити картину, у якій існують дві «частинки», одна з яких описується величиною $\alpha_A$, а інша — $\beta_{A’}$, причому обидві не мають маси й кожна з них безперервно перетворюється на іншу. Дамо цим частинкам імена «зиг» і «заг», тож $\alpha_A$ описуватиме частинку «зиг», а $\beta_{A’}$ — частинку «заг». Будучи безмасовими, вони мають рухатися зі швидкістю світла, однак натомість можна вважати, що вони «гойдаються» вперед-назад, причому рух уперед частинки «зиг» безперервно перетворюється на рух назад частинки «заг» і навпаки. Фактично це реалізація явища, яке називають «zitterbewegung» («тремтіння») і яке полягає в тому, що миттєвий рух електрона через участь у таких коливаннях завжди відбувається зі швидкістю світла, хоча повний усереднений рух електрона характеризується швидкістю, меншою за швидкість світла. Кожен із зазначених складників має спін величиною $\frac{1}{2}\hbar$ у напрямку руху, що відповідає лівому обертанню для частинки «зиг» і правому для частинки «заг». (Це пов’язано з тим, що частинка «зиг» $\alpha_A$ має нештрихований індекс, який відповідає від’ємній спіральності, а частинка «заг» $\beta_{A’}$ — штрихований індекс, що відповідає додатній спіральності.)
Зауважимо, що хоча швидкість увесь час змінюється, напрямок спіну в системі спокою електрона залишається сталим (рис. 1). За такої інтерпретації частинка «зиг» виступає джерелом для частинки «заг», а частинка «заг» — джерелом щодо частинки «зиг»; сила зв’язку між ними визначається величиною $M$.
Рис. 1. Зигзаг-представлення електрона. а) Електрон (або іншу масивну частинку зі спіном $\frac{1}{2}\hbar$) можна розглядати як такий, що осцилює в просторі-часі між безмасовою частинкою «зиг» із лівою спіральністю (спіральність $-\frac{1}{2}$ описується нештрихованим 2-спінором $\alpha_A$ або, у звичніших для фізиків позначеннях, частиною, яку проєктує оператор -$\frac{1}{2}(1-\gamma_5)$) і безмасовою частинкою «заг» із правою спіральністю (спіральність $+\frac{1}{2}$ описується штрихованим 2-спінором $\beta_{A'}$ або частиною, яку проєктує оператор $\frac{1}{2}(1+\gamma_5)$). Кожна з частинок є джерелом для іншої з масою спокою як константою зв’язку. б) З погляду 3-простору, у системі спокою електрона відбувається безперервна зміна швидкості (завжди рівної за величиною швидкості світла), проте напрямок спіну залишається сталим. (Для більшої наочності зображено картину не зовсім у системі спокою електрона — натомість електрон повільно зміщується праворуч.)
На рис. 2 подано діаграмне представлення внеску цього процесу в повний «фейнманівський пропагатор». Кожен окремий зигзаг-процес має скінченну довжину, проте вся їхня сукупність, яка включає зигзаги дедалі більшої довжини, робить внесок у повний процес поширення електрона відповідно до матриці $2\times2$, зображеної на рис. 2. При цьому частинка «зиг» стає частинкою «заг», потім «заг» перетворюється на «зиг», та знову на «заг» і так далі на деякому скінченному відрізку.
Розглядаючи процес загалом, ми виявимо, що середня частота, з якою це відбувається, пов’язана оберненим співвідношенням із параметром зв’язку — масою М; фактично це «частота де Бройля» електрона.
Необхідно, однак, зробити зауваження щодо того, як слід інтерпретувати фейнманівські діаграми. Зображуваний процес можна цілком правомірно розглядати як просторово-часовий опис того, що відбувається, проте під час розгляду на квантовому рівні слід мати на увазі, що навіть у випадку однієї частинки одночасно протікає безліч таких процесів. Кожен із них слід розглядати як один із внесків у певну квантову суперпозицію величезної кількості різних процесів. Реальний квантовий стан визначається всією суперпозицією загалом. Кожна окрема фейнманівська діаграма — це лише одна з її компонент.
Необхідно, однак, зробити зауваження щодо того, як слід інтерпретувати фейнманівські діаграми. Зображуваний процес можна цілком правомірно розглядати як просторово-часовий опис того, що відбувається, проте під час розгляду на квантовому рівні слід мати на увазі, що навіть у випадку однієї частинки одночасно протікає безліч таких процесів. Кожен із них слід розглядати як один із внесків у певну квантову суперпозицію величезної кількості різних процесів. Реальний квантовий стан визначається всією суперпозицією загалом. Кожна окрема фейнманівська діаграма — це лише одна з її компонент.
У такому самому дусі слід розуміти й наведений вище опис руху електрона як гойдання вперед-назад, за якого «зиг» безперервно перетворюється на «заг» і навпаки. Реальний рух складається з великої (фактично нескінченно великої) кількості таких окремих процесів, тож спостережуваний рух електрона можна розглядати як результат певного їх «усереднення» (хоча, строго кажучи, тут має місце квантова суперпозиція). Так відбувається у випадку лише вільного електрона. Насправді електрон безперервно взаємодіє з іншими частинками (наприклад, із фотонами — квантами електромагнітного поля). Усі подібні процеси взаємодії також мають бути включені до загальної суперпозиції.
Маючи все це на увазі, поставмо запитання: наскільки «реальні» частинки «зиг» і «заг»? Чи це лише артефакти певного математичного формалізму, яким я скористався тут для опису рівняння Дірака для електрона? Виникає запитання загальнішого характеру: наскільки виправдано з фізичного погляду керуватися міркуваннями витонченості певного математичного опису, а потім намагатися видати це за опис «реальності»? У цьому випадку слід почати з постановки питання про важливість (а також витонченість) самого 2-спінорного формалізму як математичного методу. Я маю попередити читача, що цей формалізм не належить до широко вживаних фізиками, які займаються рівнянням Дірака та його застосуваннями, зокрема квантовою електродинамікою (КЕД) — найуспішнішим розділом квантової теорії поля.
Рис. 2. Кожен зигзаг-процес окремо робить внесок, як частина нескінченної квантової суперпозиції, у повний «пропагатор» на зразок фейнманівських діаграм. Зображений ліворуч стандартний фейнманівський пропагатор у вигляді прямої лінії представляє цілу матрицю з нескінченних сум скінченних зигзагів, показану праворуч.
Читача, який уже трохи знайомий із фейнманівськими діаграмами, може збентежити використане тут вертикальне впорядкування в часі. У квантовій теорії поля зазвичай малюють діаграми, на яких часова змінна збільшується зліва направо. Цей вибір, за якого час плине знизу вгору, узгоджується з прийнятим у теорії відносності, оскільки такий напрямок часу обирають для більшості просторово-часових діаграм.
Більшість фізиків користується формалізмом «діраківських спінорів» (або 4-спінорів), у якому спінорні індекси відкидаються. Замість 2-спінора $\alpha_A$ вони використовують 4-спінор $(1-\gamma_5)\psi$ (називаючи його «лівоспіральною частиною діраківського електрона» або
якось подібно, замість моєї частинки «зиг») LINK8 [посилання в оригіналі не оформлене]. Величина $\gamma_5$ є добутком
$$\gamma_5=-i\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3$$
і має властивість антикомутувати з кожним з елементів алгебри Кліффорда, причому $\gamma_5^2=1$. Аналогічно замість $\beta_{A’}$ використовується $(1+\gamma_5)\psi$ (правоспіральна частина).
Хтось може зауважити, що це лише питання позначень, і справді можна переходити від 2-спінорного формалізму до 4-спінорного й назад. Зигзаг-представлення безумовно застосовне (хоча й не завжди застосовується) до будь-якого формалізму, проте до 2-спінорного формалізму воно ближче, ніж до 4-спінорного. То чи реальні частинки «зиг» і «заг»? Можна сказати, що вони реальні тією самою мірою, якою реальний сам «діраківський електрон», — як надзвичайно корисний ідеалізований математичний опис одного з найфундаментальніших елементів Всесвіту. Але чи є це реальною «реальністю»?
Лише зареєстровані користувачі можуть залишати коментарі. Увійдіть або зареєструйтеся.
Коментарі (3):
Уважаемый Den, возможно ли узнать имя автора статьи?
Мною и проф. Коруховым была предложена модель очень похожего механизма движения вещества.
Ну, да. Простите. Это Пенроуз "Путь к реальности".