СУПЕРЧИСЛА в теорії струн

Забута числова система, відкрита ще в XIX столітті, здатна дати найпростіше пояснення того, чому наш Всесвіт може мати десять вимірів. Ще в школі ми здобули базові знання про числа. Натуральні, раціональні, ірраціональні, дійсні числа та основні алгебричні операції над ними: додавання, віднімання, множення й ділення — чого ж іще? Проте математики знають, що числова система, яку ми вивчаємо в школі, тобто множина дійсних чисел, — лише одна з можливих. Ба більше, інші системи часто виявляються кориснішими для різних геометричних або фізичних застосувань. Одну з найнезвичайніших альтернатив становлять октоніони (або октави). Забуті майже одразу після відкриття в 1843 р., за останні кілька десятиліть вони знову набули популярності завдяки теорії струн. Крім того, якщо теорія струн правильна, ці числа допоможуть пояснити, чому Всесвіт має певну кількість вимірів.

Інші числа

Октоніони — далеко не перший винахід чистої математики, який згодом почали використовувати в різних прикладних науках. Ці числа не були й першою альтернативою класичній моделі, яку застосовували на практиці. Усе почалося з дійсних чисел, які сьогодні вивчають у школах. Відомо, що множину всіх дійсних чисел можна описати за допомогою числової осі, отже, ця множина одновимірна. На це можна подивитися і з іншого боку: оскільки кожній точці прямої можна поставити у відповідність деяке дійсне число, пряма має розмірність один.

Якщо теорія струн правильна, то октоніони зможуть пояснити, чому наш Всесвіт має бути десятиивимірним

До початку XVI ст. жодних інших чисел, крім дійсних, відомо не було. Уже в добу Відродження математики зіткнулися зі складнішими рівняннями, які неможливо було розв’язати, використовуючи лише дійсні числа. У цій ситуації квадратний корінь із -1 став своєрідною секретною зброєю, винайденою італійським математиком, інженером, фізиком, медиком і астрологом Джероламо Кардано. Якщо раніше математики, стикаючись із неможливістю розв’язати ті чи інші рівняння, змушені були припиняти обчислення, то Кардано дозволив собі ввести це містичне на той час позначення, включивши його у свої обчислення, результатами яких однаково ставали дійсні числа. Хоча середньовічний учений, можливо, і сам не до кінця розумів суть зробленого ним відкриття, відповіді він отримував правильні. У 1545 р. Кардано опублікував свої ідеї у знаменитій праці «Велике мистецтво, або про алгебраїчні правила». Із цього й почалися суперечки про те, чи справді існує квадратний корінь із -1, чи це не більш ніж трюк для обчислення квадратних коренів і кубічних рівнянь. Попри те, що з цим числом було пов’язано безліч забобонів і містичних уявлень, такі відомі математики, як Готфрід Лейбніц, Абрахам де Муавр, Леонард Ейлер, Жан Д’Аламбер, Карл Гаусс, продовжували розвивати теорію чисел вигляду а + ib, де i — квадратний корінь із -1, а а і b — дійсні числа, які відповідно називаються дійсною та уявною частинами комплексного числа.

Геометричну інтерпретацію таких комплексних чисел дали незалежно один від одного Каспер Вессель і Жан Робер Арган. Її суть полягає в тому, що комплексному числу ставиться у відповідність точка на площині з координатами а по осі х і b по осі у. Аргану також належить ідея про те, що чотири основні алгебраїчні операції з цими числами можна подати як геометричні перетворення на комплексній площині. Щоб краще зрозуміти, у чому річ, наведемо приклад із царини дійсних чисел. Додаванню та відніманню двох дійсних чисел геометрично відповідає зсув осі ліворуч або праворуч. Множенню та діленню відповідають стиснення й розтягнення числової осі. Наочно можна уявити, що, наприклад, множення або ділення на число 2 «розсуває» або «зсуває» точки осі у два рази відповідно, а множення на -1 повертає вісь на 180°.

Аналогічно можна уявити операції з комплексними числами. Проте тут є кілька особливостей. Додаванню та відніманню двох комплексних чисел, як і раніше, відповідає зсув. Однак цього разу зсув першої точки відбувається вздовж двох осей на величини, що дорівнюють дійсній та уявній частинам другого числа відповідно. Такий зсув найлегше описати з погляду правил додавання векторів. Що ж до множення та ділення, то з геометричного погляду цим операціям відповідають не лише стиснення й розтягнення, як у випадку з дійсними числами, а й поворот на певний кут. Наприклад, множенню на число i відповідає поворот на 90° проти годинникової стрілки. Неважко помітити, що повторне множення на число i призведе до ще одного повороту на 90°, що відповідатиме множенню початкового числа на -1.

Отже, усі операції, введені для дійсних чисел, визначені й для комплексних чисел. Фактично використання комплексних чисел розширює наші можливості й дозволяє, наприклад, розв’язувати рівняння, які не мають дійсних коренів. У такому разі логічно припустити, що комплексні числа, а точніше комплексна площина — не межа, і можна побудувати числову систему, що відповідає простору з більшою кількістю вимірів. Проте таке розширення було розроблено лише через десятиліття, а про можливе застосування такої числової системи заговорили вже в наші дні.

Відкриття Гамільтона

У 1835 р. у віці 30 років математик і фізик Вільям Ровен Гамільтон розробив новий спосіб подання комплексних чисел, які до нього, за Арганом, записували винятково як а + ib. Видатний ірландський математик звернув увагу на те, що комплексне число однозначно подається парою дійсних чисел, яку можна записати у вигляді (а, b). Він довів, що якщо комплексними числами вважати такі пари й визначити для них основні арифметичні операції, це не суперечитиме геометричній інтерпретації Аргана. Але Гамільтон не лише розробив алгебраїчну систему комплексних чисел, а й тривалий час досліджував можливості її розширення до алгебри трійок дійсних чисел. Передбачалося, що ця алгебра мала б виявитися корисною під час розв’язування просторових задач математичної фізики, але він зазнав невдачі. Гамільтон навіть згадував, що певний час, коли він щоранку спускався до сніданку, його маленький син незмінно запитував, чи вдалося йому нарешті перемножити його трійки. У відповідь батько лише хитав головою і змушений був визнати, що для цих чисел він визначив лише додавання та віднімання. На той момент він не знав, що задача, яку він перед собою поставив, нерозв’язна.

Річ у тім, що Гамільтон намагався створити числову систему розмірності три, де були б визначені операції додавання, віднімання, множення та ділення, тобто алгебру. Взагалі алгеброю, або алгебраїчною системою, називається деяка множина (у цьому випадку числова) та операції над нею. У 1958 р. було доведено, що будь-яка алгебра, у якій визначено операцію ділення, може мати розмірність один (дійсні числа), два (комплексні числа), чотири або вісім. Гамільтон, проте, зміг знайти розв’язання своєї проблеми. 16 жовтня 1843 р. дорогою до Ірландської королівської академії в Дубліні, проходячи вздовж Королівського каналу, він раптом зрозумів, що в тривимірному просторі повороти, стиснення та розтягнення не можна описати лише трьома числами. Йому знадобилися чотири числа, що визначають таким чином чотиривимірний простір. Елементи цього простору — кватерніони — можна записати у вигляді а + bi + cj + dk, де a, b, с і d — дійсні числа, а i,j і к — квадратні корені з -1. Гамільтон пізніше написав: «У той момент у моїй голові наче з’явився гальванічний елемент, що створив електричні розряди думок. Саме вони й привели мене до тих фундаментальних співвідношень між i,j і к, якими я користуюся й досі». Він навіть викарбував ці співвідношення на мосту Брум-Бридж, і цей чудовий акт математичного вандалізму згодом увічнили пам’ятною табличкою.

Може здатися дивним, що для опису тривимірного простору необхідно використовувати точки простору розмірності чотири. Три з чотирьох чисел необхідні для того, щоб описати повороти в тривимірному просторі. Для наочності можна уявити собі літак, для орієнтування якого необхідно знати кути тангажа (кут між поздовжньою віссю літака та горизонтальною площиною), рискання (відхилення від курсу праворуч або ліворуч відносно вертикальної осі) і крену (поворот літака навколо його поздовжньої осі). Що ж до четвертого числа, то воно необхідне для опису розтягування або стискання.

Гамільтон витратив решту життя на розроблення теорії кватерніонів та її застосувань. Сьогодні багато його відкриттів перекладено мовою векторної алгебри, теорії матриць тощо. Проте й кватерніони виявилися корисними для розв’язання багатьох задач, починаючи від стабілізації систем у літакобудуванні й закінчуючи розробленням платформ для комп’ютерних ігор.

Після кватерніонів

Для визначення кватерніонів недостатньо просто сказати, що числа i, j і к — це квадратні корені з -1. Неминуче виникають запитання, чи рівні вони між собою, чи існують вони. Ці та подібні запитання ставив Вільяму Гамільтону його друг, ірландський юрист і математик Джон Грейвс, у бесідах з яким і народилися основи теорії великого ірландського вченого. Наступного дня після свого пророчого відкриття Гамільтон надіслав Грейвсу листа, у якому описав основні ідеї майбутньої теорії. Грейвс відповів через дев’ять днів, вітаючи колегу зі сміливою ідеєю, але й додаючи при цьому: «Є щось, що мене бентежить у цій системі. Я не впевнений, що таке вільне збільшення кількості уявних одиниць, а також приписування їм надприродних властивостей минеться безкарно». А далі йшло запитання: «Якщо завдяки вашій алхімії з’являться три фунти золота, то навіщо на цьому зупинятися?» Але, як і Кардано до нього, Грейвс відклав свої запитання й узявся до створення власного «золота». 26 грудня він знову написав Гамільтону листа, у якому описував нову числову систему розмірності вісім, яку назвав октавами (нині вона має назву октоніони). Відкриття не зацікавило Гамільтона, але він пообіцяв зробити про нього повідомлення в Ірландському королівському товаристві, що сприяло б публікації результатів роботи Джона Грейвса. Однак Гамільтон зволікав, і першість відкриття октоніонів дісталася молодому геніальному математику Артуру Кейлі, який зробив його незалежно від Грейвса в 1845 р.

Чому ж Гамільтон так недбало поставився до відкриття свого друга? Безперечно, він був надто захоплений власним відкриттям, але розумів, що октоніони порушують деякі звичні закони арифметики. Він зіткнувся з цим навіть у відкритих ним кватерніонах. Річ у тім, що при перемножуванні дійсних чисел порядок множників не має значення. Інакше кажучи, для дійсних чисел операція множення комутативна. Те саме справедливо й для комплексних чисел. Але для кватерніонів ця властивість не виконується. Порядок перемножування двох чисел має велике значення, оскільки ця операція з геометричного погляду означає поворот у тривимірному просторі, і зміна порядку множення може привести до іншого повороту. У цьому можна переконатися на наочному прикладі. Якщо взяти книжку, перевернути її так, щоб було видно обкладинку, а потім повернути за годинниковою стрілкою на чверть оберту так, щоб було видно сторінки, то отримаємо одне положення книжки в просторі. Якщо ті самі операції повторити у зворотному порядку, то положення книжки буде іншим (врізка ПРОБЛЕМИ З ПОВОРОТАМИ).

Що стосується октоніонів, то для цих чисел порушується не тільки закон комутативності множення, а й так звана асоціативність цієї операції. Інакше кажучи, звична для дійсних чисел тотожність (х • у) z = х (у • z) для октоніонів не виконується. Таке порушення закону асоціативності здається звичним для операції віднімання дійсних чисел: наприклад, результат операції (3 - 2) - 1 відрізняється від результату 3 - (2 - 1). Проте до того, що множення не має цієї властивості, необхідно звикнути.

Протягом майже 100 років подібні дослідження були не більш ніж математичною теорією, вправою для розуму. У наш час несподівано з’ясувалося, що «вправи», виявляється, дуже результативні, наприклад, для сучасних досліджень у фізиці елементарних частинок і, зокрема, у теорії струн.

Симетрія і струни

У 70-80-х рр. XX ст. вчені розробили теорію суперсиметрії (згодом було доведено зв’язок між суперсиметрією і теорією струн). З’ясувалося, що ця теорія проявляється на багатьох фундаментальних рівнях, а у Всесвіті існує симетрія між матерією та силами природи. Кожна частинка матерії (наприклад, електрон) має свого суперпартнера, який має здатність до взаємодії. І навпаки, кожна частинка — переносник взаємодії (наприклад, фотон — носій електромагнітної взаємодії) має свого партнера — частинку матерії. Одна з ідей, заснована на теорії суперсиметрії, полягає в тому, що закони фізики мають залишитися незмінними, якщо поміняти частинки матерії та їхніх суперпартнерів місцями. Можна уявити собі, що наш Всесвіт відбивається в певному незвичайному дзеркалі, яке не тільки міняє «право» і «ліво» місцями, а й замінює частинки на їхніх суперпартнерів і навпаки. Проте, попри красу цієї теорії, фізики досі не знайшли її експериментального підтвердження.

З погляду квантової механіки частинки можна розглядати як хвилі. Якщо взяти стандартний тривимірний варіант квантової механіки, то в ньому існують спеціальні об’єкти, так звані спінори, що описують рух хвиль частинок матерії. З іншого боку, за допомогою векторів можна описати рух хвиль частинок взаємодії. І ті й інші об’єкти можна описати за допомогою різних числових систем (наприклад, спінори можна зручно описати в термінах кватерніонів). Отже, для визначення взаємодії частинок різного типу необхідно розглядати ці об’єкти разом. Якщо уявити собі систему, у якій існує тільки простір і немає часу, і припустити також, що така система має розмірність один, два, чотири або вісім, то і частинки матерії, і частинки взаємодії будуть хвилями, які можна описати за допомогою лише одного типу чисел, що утворюють алгебру разом зі звичними арифметичними операціями. Інакше кажучи, за таких розмірностей вектори і спінори збігаються й описуються за допомогою дійсних або комплексних чисел, або за допомогою кватерніонів чи октоніонів, а їхні взаємодії — за допомогою простого множення. У цьому разі суперсиметрія забезпечує універсальний опис частинок матерії та їхніх суперпартнерів.

На жаль, подібна гіпотетична модель, у якій відсутній час, надто далека від опису реального Всесвіту. Але з погляду теорії струн подібні міркування звучать інтригуюче. Якщо в кожен конкретний момент часу струна є одновимірним об’єктом, то під час руху в просторі-часі відповідно утворюється двовимірна поверхня. Ця еволюція в часі змінює розмірність простору, у якому діє суперсиметрія, на дві одиниці — одну через розмірність струни й одну через час. Таким чином, замість суперсиметрії в просторі з розмірностями один, два, чотири і вісім ми отримуємо суперсиметрію в просторах із розмірністю три, чотири, шість або десять. Протягом кількох десятиліть вважалося, що тільки десятивимірна модель самоузгоджена. Проте в межах цієї теорії існує і так звана аномалія, через яку різні доведення одного твердження дають різні результати. Теорія струн «працює» тільки в просторі розмірності десять. Як ми вже бачили, десятивимірна теорія струн — версія теорії, яка використовує октоніони. Таким чином, якщо теорія струн правильна, то октоніони — не марна вигадка. Ба більше, октоніони дають підставу говорити про причину, через яку наш Всесвіт повинен мати розмірність десять. За такої розмірності частинки матерії та частинки — переносники взаємодії описуються за допомогою однієї числової системи — кватерніонів.

Але це ще не все. Нещодавно фізики почали замість струн розглядати так звані мембрани. У кожен момент часу мембрана являє собою двовимірну поверхню, а під час руху в просторі-часі — певне тіло. Якщо в теорії струн до заповітних чисел 1, 2, 4 і 8 потрібно було додавати 2, то тепер, відповідно, 3. Отже, працюючи з мембранами, ми отримаємо суперсиметрію у випадку розмірностей чотири, п’ять, сім і 11. І знову дивовижним «збігом» виявляється той факт, що розроблена фізиками М-теорія (М від membrane) використовує 11 вимірів, що дає змогу застосовувати октоніони. На жаль, М-теорія недостатньо розроблена, і досі не виписано базових рівнянь.

Необхідно зазначити, що теорія струн і М-теорія сьогодні не мають експериментального підтвердження. Вони — лише прекрасні мрії. Навколишній світ не справляє враження десяти- чи одинадцятивимірного, і ми не спостерігаємо суперсиметрії між частинками матерії та частинками — переносниками взаємодії. Девід Гросс (David Gross), один із найвидатніших у світі фахівців із теорії струн, говорить лише про 50% імовірності експериментального підтвердження теорії суперсиметрії на Великому адронному колайдері.

Через таку невизначеність ми все ще далекі від того, щоб визначити, чим же є октоніони: способом опису навколишнього світу чи просто чудовою математичною головоломкою. Безумовно, струнка математична теорія — це само по собі непогано, але було б набагато краще, якби ці дивні числа знайшли застосування в описі фундаментальних законів природи. Історія комплексних чисел та інші незліченні математичні відкриття, які так активно використовує сучасна фізика, спонукають нас вважати, що на октоніони чекає блискуче майбутнє.

Переклад: Д. С. Хованський

ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА

1. An Imaginary Tale: The Story of the Square Root of-1. Paul J. Nahin. Princeton University Press, 1998
2. The Octonions. John C. Baez у Bulletin of the American Mathematical Society, т. 39, сторінки 145-205; 2002. Стаття та бібліографія в інтернеті: http://math.ucr.edu/home/baez/octonions.
3. Ubiquitous Octonions. Helen Joyce у Plus Magazine, т. 33: січень 2005. http://plus.maths.org/content/33.
4. На сайті Scientific American можна знайти графічну візуалізацію тривимірних обертань: http://ScientificAmerican.com/may2011/octonions.

ПРО АВТОРІВ

Джон Баез (John С. Baez) — фахівець у галузі математичної фізики. Нині працює в Центрі квантових технологій у Сінгапурі. Раніше займався питаннями фундаментальної фізики.

Джон Уерта (John Huerta) захистив дисертацію з математики в Каліфорнійському університеті в Ріверсайді. Працює в галузі теорії суперсиметрії.

Лише зареєстровані користувачі можуть залишати коментарі. Увійдіть або зареєструйтеся.