Проблема космологічної сталої

Фізика живе кризами. Ми всі згадуємо про величезний прогрес, досягнутий у результаті пошуків виходу з минулих криз: неможливості виявити рух Землі відносно ефіру, відкриття неперервного спектра бета-розпаду, ультрафіолетових розбіжностей в електромагнітних, а потім у слабких взаємодіях тощо. На жаль, згодом нам почало бракувати криз. «Стандартна модель» електрослабких і сильних взаємодій сьогодні ні не стикається з внутрішніми суперечностями, ні не суперечить експерименту.

Вона має безліч проблем: ми не знаємо причин, чому кварки та лептони мають саме ті маси, які вони мають, але не знаємо й причин, які забороняли б їм мати ці маси. Можливо, саме бажання інших криз — це те, про що варто турбуватися; нашу увагу дедалі більше привертає одна ? криза: теоретичні очікування для космологічної сталої перевищують спостережувані межі приблизно на 120 порядків величини.

У цих лекціях я спочатку представлю історію цієї проблеми, а потім зроблю огляд різних спроб знайти її розв’язання. Рання історія Побудувавши своє формулювання загальної теорії відносності у 1915-1916 роках, Ейнштейн (1917) спробував застосувати свою нову теорію до Всесвіту загалом. Його основним принципом була статичність Всесвіту: «Найважливіший факт, який ми виводимо зі спостережень, — це те, що відносні швидкості зір дуже малі порівняно зі швидкістю світла».

Такого статичного розв’язку ніяк не вдавалося вивести з його початкових рівнянь (як і з ньютонівської гравітації), тому він модифікував їх, додавши новий член, що містив довільний параметр $\lambda$, космологічну сталу (тут використовуються ті самі позначення для метрики, кривини тощо, що й у книзі Вайнберґа (1972)):

\begin{equation} R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R-\lambda g_{\mu\nu}=-8\pi GT_{\mu\nu} \end{equation}

Тепер, за $\lambda>0$, існував статичний розв’язок для Всесвіту, заповненого пилом із нульовим тиском і густиною маси \begin{equation} \rho=\frac{\lambda}{8\pi G} \end{equation}

Його геометрія була геометрією сфери $S_3$ із власною довжиною кола $2\pi r$, де \begin{equation} r=1/\sqrt{8\pi\rho G} \end{equation}

так що маса Всесвіту становила $$ M=2\pi^2r^3\rho=\frac{\pi}{4}\lambda^{-\frac{1}{2}}G^{-1} $$

У деяких популярних викладах цієї історії стверджується, що до відмови Ейнштейна від його припущення про космологічну сталу його спонукало відкриття Габблом розширення Всесвіту. Насправді все було і складніше, і цікавіше. Одне розчарування спіткало його майже відразу. Ейнштейн був щасливий, отримавши у своїй моделі зв’язок між густиною маси у Всесвіті та геометрією, оскільки він очікував, услід за Махом, що розподіл мас у Всесвіті має зумовлювати інерціальні системи відліку. Тому було неприємно, коли його друг де Сіттер, з яким Ейнштейн залишався близьким під час війни, у 1917 році запропонував іншу, на вигляд статичну, модель, зовсім без матерії! (де Сіттер, 1917)

Її елемент довжини (у тих самих координатах, що й у де Сіттера, але з іншими позначеннями) dS мав вигляд $$ d\tau^2=\frac{1}{\cosh^2Hr}\left[ dt^2-dr^2-H^{-2}\tanh^2Hr(d\theta^2+\sin^2 \theta d\phi^2)\right] $$ за $H$, пов’язаного з космологічною сталою співвідношенням $$ H=\sqrt{\lambda/3} $$ і $\rho=p=0$. Очевидно, що матерія не була потрібна для появи інерції. Майже в той самий час Слайфер відкрив червоне зміщення далеких об’єктів. У період із 1910 року до середини 1920-х років Слайфер (1924) спостерігав, що галактики (або, за тодішньою назвою, спіральні туманності) мали червоні зміщення $z\equiv\Delta/\lambda$ до 6% і лише деякі мали сині зміщення. Вейль указав у 1923 році, що модель де Сіттера приводила б до такого зміщення, яке зростає з відстанню, оскільки, хоча метрика в координатах де Сіттера й не залежала від часу, пробні тіла не перебувають у спокої; існує ненульова компонента афінної зв’язності $$ \Gamma^r_{tt}=-H\sinh Hr\tanh Hr $$, що дає червоне зміщення, пропорційне відстані

$$ z\approx Hr\quad {\rm для} \quad Hr\ll 1 .$$ У своєму популярному підручнику Еддінґтон (1924) інтерпретував червоні зміщення Слайфера на основі «статичного» Всесвіту де Сіттера. Але, звичайно, хоча космологічна стала була необхідна для статичного Всесвіту, вона не була потрібна в разі розширення.

Уже Фрідман (1922) описав клас космологічних моделей з елементом довжини FRW (у сучасних позначеннях) $$ d\tau^2=dt^2-R^2(t)\left(\frac{dr^2}{1-kr^2} +r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right). $$ Це супутні координати; Всесвіт розширюється або стискається, коли $R(t)$ зростає або спадає, але галактики зберігають свої координати $r$, $\theta$, $\phi$ сталими. Еволюція космічного масштабного фактора описується рівнянням збереження енергії $$ \left(\frac{dR}{dt} \right)^2=-k+\frac{1}{3}R^2\left(8\pi G\rho+\lambda \right) $$ Модель де Сіттера є просто частковим випадком за $k=0$ і $\rho=0$; щоб привести лінійний елемент dS до загальнішого вигляду FRW, необхідно ввести нові координати $$ t'=t-H^{-1}\ln \cosh Hr $$ $$ r'=H^{-1}\exp (-Ht)\sinh Hr $$ $$ \theta'=\theta,\quad \phi'=\phi $$ і потім опустити штрихи.

Однак ми також легко можемо отримати розв’язки з $\lambda=0$ і $\rho>0$. Пайс (1982) цитує лист Ейнштейна до Вейля, у якому висловлено його реакцію на відкриття розширення Всесвіту: «Якщо квазістатичного світу немає, тоді — геть космологічний член!»

Проблема

На жаль, не так легко просто відкинути космологічну сталу, оскільки все, що робить внесок у густину енергії вакууму, діє подібно до космологічної сталої. Лоренц-інваріантність говорить нам, що у вакуумі тензор енергії-імпульсу повинен мати вигляд $$ \lbrack T_{\mu\nu}\rbrack=-\lbrack\rho\rbrack g_{\mu\nu} $$ (Знак мінус з’являється тут тому, що ми використовуємо метрику, яка для плоского простору-часу дає $g_{00}=-1$.) Вивчення $ \lbrack T_{\mu\nu}\rbrack=-\lbrack\rho\rbrack g_{\mu\nu} $ показує, що це має той самий ефект, що й додавання члена $8\pi G\lbrack\rho\rbrack$ до ефективної космологічної сталої $$ \lambda_{eff}=\lambda+8\pi G\lbrack\rho\rbrack $$

Еквівалентно ми можемо сказати, що космологічна стала Ейнштейна дає внесок $\lambda/8\pi G$ у повну ефективну енергію вакууму $$ \rho_V=\lbrack\rho\rbrack+\lambda/8\pi G= \lambda_{eff}/8\pi G $$ Груба експериментальна верхня межа для $\lambda_{eff}$ або $\rho_V$ отримується з вимірювань космологічного червоного зміщення як функції відстані; цю програму започаткував Габбл наприкінці 1920-х років. Сучасна швидкість розширення наразі оцінюється як $$ \left(\frac{1}{R}\frac{dR}{dt} \right)_{\rm тепер}\equiv H_0\approx 50\ - \ 100 km/sec/Mpc $$ $$ \approx (\frac{1}{2}\ - \ 1)\times 10^{-10}yr $$ Крім того, ми не спостерігаємо суттєвих ефектів кривини Всесвіту, тож дуже грубо $$ |k|/R^2_{\rm тепер}< H_0^2$$ Нарешті, звичайна, невакуумна густина маси у Всесвіті не набагато більша за її критичне значення $$ |\rho-\lbrack\rho\rbrack|< 3H_0^2/8\pi G $$ Отже, це означає, що $$ |\lambda_{eff}|< H_0^2 $$ або у фізичних одиницях, $$ |\rho_V|< 10^{-29}г/см^3\approx 10^{-47}ГеВ^4 $$

Як усім відомо, труднощі тут полягають у тому, що густина енергії порожнього простору $\lbrack\rho\rbrack$, імовірно, має бути незмірно більшою, ніж $10^{-47}\ ГеВ^4$. Принаймні підсумовування енергії нульових коливань усіх нормальних мод деякого поля маси $m$ до хвильового числа обрізання $\Lambda\gg m$ дає густину вакуумної енергії (за $\hbar=c=1$) $$ \lbrack\rho\rbrack=\int\limits^\Lambda_0 \frac{4\pi k^2 dk}{(2\pi)^3}\frac{1}{2}\sqrt{k^2+m^2}\approx \frac{\Lambda^4}{16\pi^ 2} $$

Якщо ми віримо в загальну теорію відносності аж до планківських масштабів, ми можемо прийняти $\Lambda\approx(8\pi G)^{-\frac{1}{2}}$, що дає $$ \lbrack\rho\rbrack\approx 2^{-10}\pi^{-4}G^{-2}=2\cdot 10^{71}ГеВ^4 $$ Але ми бачили, що $|\lbrack\rho\rbrack+\lambda/8\pi G|$ менше, ніж приблизно $10^{-47}ГеВ^4$, тож ці два члени мають тут взаємно скорочуватися з точністю кращою, ніж 118 десяткових знаків! Навіть якби ми турбувалися лише про енергію нульових коливань у квантовій хромодинаміці, ми очікували б, що $\lbrack\rho\rbrack$ буде порядку $\Lambda^4_{QCD}/16\pi^2$, або $10^{-6}ГеВ^4$, що вимагало б скорочення $\lambda/8\pi G$ цього члена з точністю близько 41 десяткового знака.

Мабуть, дивно, що минуло так багато часу, перш ніж фізики, які займаються елементарними частинками, почали серйозно займатися цією проблемою, попри демонстрацію в ефекті Казимира реальності енергії нульових коливань. (Казимир (1948) показав, що квантові флуктуації у просторі між двома плоскими провідними пластинами, розташованими на відстані $d$ одна від одної, породжують на одиницю площі силу, рівну $\hbar c\pi^2/240d^4$ або $1.30\times 10^{-18}\ {\rm дин}\ {см}^2/d^4$. Цю величину виміряв Спарней (1957), який отримав силу на одиницю площі $(1-4)\times 10^{-18}\ {\rm дин}\ {см}^2/d^4$, за $d$ у межах від 2 до 10 мікронів.) Оскільки космологічна верхня межа для $|\lbrack\rho\rbrack+\lambda/8\pi G|$ була суттєво нижчою за будь-яке значення, очікуване з фізики частинок, більшість теоретиків просто припустила, що з якоїсь невідомої причини ця величина дорівнює нулю. Але космологи загалом залишалися неупередженими, аналізуючи космологічні дані в термінах моделей із можливо ненульовою космологічною сталою.

Насправді, наскільки мені відомо, перша опублікована дискусія про внесок квантових флуктуацій в ефективну космологічну сталу була спричинена астрономічними спостереженнями. Наприкінці 1960-х років здавалося, що спостерігається надмірно велика кількість квазарів із червоними зміщеннями, близькими до $z=1.95$. Оскільки $1+z$ — це відношення космічного масштабного фактора $R(t)$ у теперішній час до того, яким він був, коли було випромінене нині спостережуване світло, це можна пояснити, припустивши, що Всесвіт деякий час за значення $R(t)$, рівного $1/2.95$, помноженому на сучасне значення. Багато авторів (Петросян, Солпітер і Шекерес (1967); Шкловський (1967); Рован-Робінсон (1968)) припускали, що таке можна врахувати в моделі, запропонованій Леметром (1927, 1931). У цій моделі є додатна космологічна стала $\lambda_{eff}$ і додатна кривина $k=+1$, як і в статичній моделі Ейнштейна, тоді як масу Всесвіту вибирають близькою до ейнштейнівського значення.

Масштабний фактор $R(t)$ починається з $R=0$ і потім зростає, але коли густина маси падає майже до ейнштейнівського значення, Всесвіт поводиться деякий час подібно до статичного Всесвіту Ейнштейна, аж доки нестабільність цієї моделі не переважить і Всесвіт не почне розширюватися знову. Щоб ця ідея могла пояснити надлишок червоних зміщень за $z=1.95$, густина енергії вакууму $\rho_V$ має бути в $(2.95)^3$ разів більшою, ніж сучасна невакуумна густина маси $\rho_0$. Ці міркування привели Зельдовича (1967) до спроби пояснити ненульову вакуумну густину енергії в термінах квантових флуктуацій.

Як ми бачили, самі енергії нульових коливань дають надто велике значення для $\langle\rho\rangle$, тому Зельдович припустив, що вони скорочуються членом $\lambda/8\pi G$, залишаючи лише ефекти вищих порядків, зокрема гравітаційні сили між частинками у вакуумних флуктуаціях. (Мовою діаграм Фейнмана це відповідає відкиданню однопетльових вакуумних графів зі збереженням двопетльових.) Припускаючи, що на одиницю об’єму припадає $\Lambda^3$ частинок з енергією $\Lambda$, густина енергії гравітаційної самодії має порядок величини $$ \langle\rho\rangle\approx(G\Lambda^2/\lambda^{-1})\Lambda^3=G\Lambda^6 $$ Без ясних підстав Зельдович прийняв обрізання $\Lambda$ за 1 ГеВ, що дає густину $\langle\rho\rangle\approx 10^{-38}ГеВ^4$, набагато меншу, ніж внесок самих нульових коливань, але все ж більшу, ніж спостережне обмеження на $|\langle\rho\rangle+\lambda/8\pi G|$, приблизно на дев’ять порядків.

Ні Зельдович, ні будь-хто інший не були надто захоплені цими ідеями. Справжнім початком серйозного занепокоєння щодо вакуумної енергії став час успіху ідеї спонтанного порушення симетрії в електрослабкій теорії. У цій теорії потенціал скалярного поля мав вигляд (при $\mu^2>0$, $g>0$) $$ V=V_0-\mu^2\phi\phi+g(\phi\phi)^2 $$ У точці свого мінімуму він набував значення $$ \langle\rho\rangle =V_{min}=V_0-\frac{\mu^4}{4g} $$ Очевидно, деякі теоретики вважали, що $V$ має зникати при $\phi=0$, що давало б $V_0=0$, так що $\langle\rho\rangle$ має бути від’ємно визначеним.\footnote{Вельтман (1975) приписує цю точку зору Лінде (1974), собі самому (цитовано як «буде опубліковано») і Дрейтлейну (1974). Однак стаття Лінде, як мені здається, не підтримує цієї позиції.

Стаття Дрейтлейна припускає, що можна отримати прийнятно малу величину для $\langle\rho\rangle$ при $\mu/\sqrt{g}$, фіксованому сталою Фермі слабких взаємодій, якщо $\mu$ дуже мале, порядку $10^{-27}$ МеВ. Робота Вельтмана наводить експериментальні аргументи проти цієї можливості. В електрослабкій теорії це давало б $\langle\rho\rangle\approx -g(300ГеВ)^4$, що навіть для $g$, такого малого, як $\alpha^2$, мало б дати $|\langle\rho\rangle|\approx 10^6ГеВ$, що перевищує обмеження для $\rho_V$ у $10^{53}$ разів.

Звісно, ми не маємо жодної причини вважати, що $V_0$ або $\lambda$ мають дорівнювати нулю, і цілком можливо, що $V_0$ або $\lambda$ скорочують член $-\mu^4/4g$ (і поправки вищих порядків), але цей приклад яскраво показує, наскільки неприродно мати достатньо малу космологічну сталу. Також у ранньому Всесвіті ефективний потенціал, що залежить від температури, мав додатний коефіцієнт при $\phi\phi$, так що мінімум тоді був при $\phi=0$, де $V(\phi)=V_0$. Таким чином, щоб сьогодні отримати нульову космологічну сталу, ми маємо припустити величезну космологічну сталу за часів до електрослабкого фазового переходу. (Це не суперечить досвіду: насправді фазовий перехід відбувається за температури $T$ порядку $\mu/\sqrt{g}$, так що випромінювання абсолютно чорного тіла, яке існувало в ті часи, мало густину енергії порядку $\mu^4/g^2$, що перевищує енергію вакууму в $1/g$ разів (Блудман і Рудерман, 1977).)

У ще раніші часи були й інші переходи, що передбачає ще більше раннє значення ефективної космологічної сталої. Зараз це оцінюється позитивно: велика рання космологічна стала породжувала б космічну інфляцію, розв’язуючи деякі зі старих проблем космологічної теорії. (Гус, 1981; Альбрехт і Стейнхардт, 1982; Лінде, 1982). Ми хочемо з’ясувати, чому космологічна стала мала зараз, а не чому вона мала завжди. Перш ніж закінчити цей розділ, я хочу відзначити особливий аспект проблеми космологічної сталої. Поява ефективної космологічної сталої унеможливлює знаходження будь-яких розв’язків рівнянь Ейнштейна, у яких $g_{\mu\nu}$ є сталою метрикою Мінковського $\eta_{\mu\nu}$. Таким чином, початкова симетрія загальної коваріантності, яка завжди порушується з появою будь-якої заданої метрики $g_{\mu\nu}$, не може без тонкого підлаштування бути порушена так, щоб зберегти підгрупу трансляцій простору-часу.

Ця ситуація незвична. Зазвичай, якщо теорія інваріантна відносно деякої групи $G$, ми не очікуємо необхідності тонко підлаштовувати параметри теорії, щоб знайти вакуумні розв’язки, які зберігали б якусь підгрупу $H\in G$. Наприклад, в електрослабкій теорії є скінченна область параметрів, де будь-яка кількість скалярних дублетів набуде вакуумних середніх, що зберігають підгрупу $U(1)$ $SU(2)\times U(1)$. Чому ж це не працює для підгрупи трансляцій групи загальноковаріантних перетворень? Припустімо, що ми шукаємо розв’язок рівнянь поля, який зберігає трансляційну інваріантність. За всіх сталих полів рівняння для матерії та гравітації матимуть вигляд $$ \frac{\partial {\mathcal L}}{\partial\psi_i}=0 $$ $$ \frac{\partial {\mathcal L}}{\partial g_{\mu\nu}}=0. $$ При $N$ полях $\psi$ є $N+6$ рівнянь для $N+6$ невідомих, тож можна очікувати розв’язку без тонкого підлаштування. Проблема в тому, що коли виконується перше з цих рівнянь, залежність ${\mathcal L}$ від $g_{\mu\nu}$ надто проста, щоб допускати розв’язок другого рівняння. Існує $GL(4)$ симетрія, яка зберігається як симетрія загальної коваріантності, навіть коли ми обмежуємося сталими полями: при $GL(4)$ перетворенні $$ g_{\mu\nu}\rightarrow A^\rho_{\ \mu}A^\sigma_{\ \nu}g_{\rho\sigma} $$ $$ \psi_i\rightarrow D_{ij}(A)\psi_j $$ лагранжіан перетворюється як густина $$ {\mathcal L}\rightarrow {\rm Det}A{\mathcal L}. $$ Коли виконується $ \frac{\partial {\mathcal L}}{\partial\psi_i}=0 $, це означає, що ${\mathcal L}$ перетворюється як у формулі $ {\mathcal L}\rightarrow {\rm Det}A{\mathcal L} $ під дією одного $ g_{\mu\nu}\rightarrow A^\rho_{\ \mu}A^\sigma_{\ \nu}g_{\rho\sigma} .$

Це має єдиний розв’язок $$ {\mathcal L}=c({\rm Det}g)^{\frac{1}{2}} $$ де $c$ не залежить від $g_{\mu\nu}$. За такого ${\mathcal L}$ для $ \frac{\partial {\mathcal L}}{\partial g_{\mu\nu}}=0 $ розв’язків немає, доки з якоїсь причини коефіцієнт $c$ не обернеться на нуль у співвідношенні $ \frac{\partial {\mathcal L}}{\partial\psi_i}=0 $. Тепер, коли проблему сформульовано, звернімося до її можливого розв’язання. Наступні п’ять розділів описуватимуть п’ять напрямів дослідження проблеми космологічної сталої.

Суперсиметрія, супергравітація, суперструни

Невдовзі після побудови 4-вимірних глобально суперсиметричних польових теорій Зуміно (1975) указав, що суперсиметрія в цих теоріях, якщо її не порушено, приводить до нульової енергії вакууму. Його міркування було дуже простим: генератори суперсиметрії $Q_\sigma$ задовольняють антикомутаторне співвідношення $$ \{Q_\alpha,Q_\beta\}=(\sigma_\mu)_{\alpha\beta}P^\mu $$ де $\alpha$ і $\beta$ — 2-компонентні спінові індекси, $\sigma_1,\sigma_2$ $\sigma_3$ — матриці Паулі, $\sigma_0=1$ і $P^\mu$ — оператор 4-вектора енергії-імпульсу. Якщо суперсиметрія не порушена, тоді вакуумний стан $|0>$ задовольняє $$ Q_\alpha|0\geq Q_\alpha|0\geq0 $$ і з цих співвідношень ми виводимо, що вакуум має нульові енергію та імпульс $$ \langle0|P^\mu|0\rangle=0 $$ Це також можна вивести, розглядаючи потенціал $V(\phi,\phi)$ для кіральних скалярних полів $\phi$ глобально суперсиметричної теорії $$ V(\phi,\phi)=\sum\limits_i|\frac{\partial W(\phi)}{\partial\phi^i}|^2 $$ де $W(\phi)$ — так званий суперпотенціал. (Калібрувальні ступені свободи тут ігноруються, але вони не змінюють аргументації.)

Умовою непорушеної суперсиметрії є те, що $W$ буде стаціонарним відносно $\phi$, а це означає, що $V$ набуває свого мінімального значення $$ \langle\rho\rangle=V_{min}=0 $$ Квантові ефекти не змінюють цього висновку, оскільки за симетрії між бозонами та ферміонами ферміонні петлі скорочують бозонні. Недолік цього результату в тому, що суперсиметрія в реальному світі порушена, і в цьому разі наведені співвідношення також показують, що вакуумна енергія додатно визначена. Якби ця вакуумна енергія була єдиним внеском в ефективну космологічну сталу, то суперсиметрія переводила б проблему космологічної сталої зі стану кризи у стан краху. На щастя, це не все. Неможливо визначити значення ефективної космологічної сталої, доки ми явним чином не включимо в теорію гравітацію. Будь-яка глобально суперсиметрична теорія, що включає гравітацію, неминуче є локально суперсиметричною теорією супергравітації. У такій теорії ефективна космологічна стала задається середнім значенням потенціалу, але потенціал тепер задається виразом (Креммер та ін., 1978, 1979; Віттен і Беггер, 1982; Барб’єрі та ін., 1982) $$ V(\phi,\phi)=\exp(8\pi GK)\left[ D_iW({\mathcal G}^{-1})^i_{\ j}(D_jW)-24\pi G|W|^2 \right] $$ де $K(\phi,\phi)$ — дійсна функція як $\phi$, так і $\phi$, відома як келерів потенціал, $D_iW$ — коваріантна похідна вигляду $$ D_iW\equiv \frac{\partial W}{\partial\phi^i}+8\pi GW\frac{\partial K}{\partial\phi^i} $$ $({\mathcal G}^{-1})^i_{\ j}$ — величина, обернена до метрики $$ {\mathcal G}^i_{\ j}\equiv \frac{\partial^2 K}{\partial\phi^i\partial\phi^j} $$ Умовою непорушеної суперсиметрії тепер є $D_iW=0$. Це знову дає стаціонарну точку потенціалу, але тепер це точка, у якій $V$ у загальному випадку від’ємне. Насправді, навіть якби ми підлаштували $W$ так, що існувала б суперсиметрична стаціонарна точка, у якій $W=0$, і, отже, $V=0$, такий розв’язок, загалом кажучи, не був би станом із найнижчою енергією, хоча він був би стабільним (Коулмен і де Люччія (1980), Вайнберг (1982).) Необхідно, однак, зазначити, що якщо існує множина значень поля, за яких $W=0$ і $D_iW=0$ для всіх $i$ у найнижчому порядку теорії збурень, то теорія має суперсиметричну рівноважну конфігурацію при $V=0$ у всіх порядках теорії збурень, хоча й не обов’язково за межами теорії збурень. (Грисару, Зігель і Рочек, 1979).

Припускається, що те саме справедливо в суперструнній теорії збурень. (Фрідан, Мартінец і Шенкер, 1986; Мартінец, 1986; Дайн і Зайберг, 1986; Морозов і Переломов, 1987; Аттік, Мур і Сен, 1987). Без тонкого підлаштування ми, у загальному випадку, можемо знайти несуперсиметричну множину значень скалярних полів, за яких $V=0$ і $D_iW\ne 0$, але це, загалом кажучи, не буде стаціонарною точкою $V$. Таким чином, у супергравітації проблема космологічної сталої більше не призводить до краху, однак криза залишається, як і в несуперсиметричних теоріях. З іншого боку, теорії супергравітації дають можливість змінити контекст проблеми космологічної сталої, якщо не розв’язати її. Креммер та ін. (1983) зауважили, що існує клас келерових потенціалів і суперпотенціалів такий, що в широкому діапазоні більшості параметрів автоматично отримується рівноважна конфігурація скалярних полів, де $V=0$, навіть за порушеної суперсиметрії. Ось дещо узагальнена версія: келерів потенціал має вигляд $$ K=-3\ln |T+T-h(C^a,C^a)|/8\pi G+{\tilde K}(S^n,S^n), $$ тоді як суперпотенціал є $$ W=W_1(C^a)+W_2(S^n) $$ і $T$, $C^a$, $S^a$ — усі кіральні скалярні поля. Жодних обмежень не накладається на функції $h(C^a,C^a)$, ${\tilde K}(S^n,S^n)$, $W_1(C^a)$ або $W_2(S^n)$, крім того, що $h$ і $\tilde K$ дійсні, і всі функції залежать лише від зазначених полів; зокрема, суперпотенціал не має залежати від синглетного кірального скаляра $T$.

За цих умов цей потенціал набуває форми $$ V=\exp(8\pi G\tilde K)\left[ \frac{1}{3(T+T+h)^2}\left(\frac{\partial W}{\partial C^a}\right)\left({\mathcal N}^{-1}\right)^a_{\ b}\frac{\partial W}{\partial C^b}+ \right. $$ $$ +\left.(D_nW)({\mathcal G}^{-1})^n_{\ m}(D_mW)\right] $$ де — матриця, обернена до $$ {\mathcal N}^a_{\ b}\equiv \frac{\partial^2 h}{\partial C^a\partial C^b} $$ Матриці ${\mathcal N}^a_{\ b}$ і ${\mathcal G}^n_{\ m}$ неодмінно є додатно визначеними через їхню роль у кінетичній частині скалярного лагранжіана $$ {\mathcal L}_{KIN}=-{\mathcal G}^i_{\ j}\frac{\partial\phi^i}{\partial x^\mu}\frac{\partial\phi^j}{\partial x_\mu} $$ $$ =-\frac{3}{(T+T+h)^2}\left[\frac{\partial T}{\partial x^\mu}+\frac{\partial h}{\partial C^a}\frac{\partial C^a}{\partial x^\mu} \right]\left[\frac{\partial T}{\partial x_\mu}+\frac{\partial h}{\partial C^b}\frac{\partial C^b}{\partial x_\mu} \right] $$ $$ -\frac{3}{|T+T+h|}{\mathcal N}^a_{\ b}\frac{\partial C^a}{\partial x^\mu}\frac{\partial C^b}{\partial x_\mu} $$ $$ -{\mathcal G}^n_{\ m}\frac{\partial S^n}{\partial x^\mu}\frac{\partial S^m}{\partial x_\mu} $$

Отже, цей вираз є додатним, і тому без подальшого тонкого налаштування можна очікувати стаціонарної точки при $V=0$, визначеної умовами $$ \frac{\partial W}{\partial C^a}=D_nW=0 $$ Але це не обов’язково буде суперсиметрична конфігурація, оскільки тут $$ D_aW\equiv \frac{\partial W}{\partial C^a}+8\pi G\frac{\partial K}{\partial C^a}W=-\frac{3}{|T+T+h|}\frac{\partial h}{\partial C^a}W $$ і це не обов’язково дорівнює нулю. (Однак для порушення суперсиметрії істотно, що суперпотенціал справді залежить від усіх цих кіральних скалярів $S^n$, бо інакше умови $D_nW=0$ вимагатимуть, щоб $W=0$, а отже, $D_aW=0$.) Суперпотенціал $W$ залежить від $C^a$ і $S^n$, але не від $T$, так що умови (4.13) загалом фіксуватимуть значення $C^a$ і $S^n$ у мінімумі $V$, залишаючи $T$ невизначеним. Поле $T$ входить у потенціал лише як загальний масштабний множник частини, що залежить від $C^a$, тому такі теорії називаються «безмасштабними» моделями. Інтенсивне феноменологічне вивчення цих моделей проводилося в ЦЕРНі протягом кількох років після 1983 року.

У 1982 році Мур показав, що для деяких спеціальних компактифікацій існує дискретна симетрія простору модулів, відома як симетрія Еткіна — Лехнера, яка приводить до обнулення інтеграла за $\tau$ попри відсутність просторово-часової суперсиметрії. Досі єдині приклади, де це трапляється, стосувалися компактифікації у два, а не в чотири просторово-часові виміри, але не можна виключити, що можуть бути знайдені й 4-вимірні приклади. Серйознішою перешкодою є те, що симетрія Еткіна — Лехнера, схоже, нерозривно пов’язана з однопетлевим наближенням. Справді, дуже важко зрозуміти, як будь-які властивості теорій супергравітації або суперструн могли б зробити космологічну сталу достатньо малою. Недостатньо, щоб густина енергії вакууму скорочувалася в найнижчому порядку або в усіх скінченних порядках теорії збурень: навіть непертурбативні поправки, такі як інстантони КХД, давали б надто великий внесок в ефективну космологічну сталу, якби вони не скорочувалися чимось іншим. Згідно з нашими сучасними теоріями, властивості елементарних частинок, такі як наближене збереження баріонів і лептонів, визначаються калібрувальними симетріями стандартної моделі, які зберігаються до доступних енергій. Ми не знаємо такої симетрії (крім нереалістичного прикладу непорушеної суперсиметрії), яка могла б зберігати ефективну космологічну сталу достатньо малою. Можна припустити, що в супергравітації властивість мати нульову ефективну космологічну сталу зберігається аж до низьких енергій без будь-якої відповідної симетрії, але це суперечило б усьому нашому досвіду у фізиці.

Антропні міркування

Тепер я перейду до зовсім іншого підходу до космологічної сталої, заснованого на тому, що Картер (1974) назвав антропним принципом. (Сучасні обговорення антропного принципу наведено в книжках Девіса (1982) і Барроу та Типлера (1986), а також у статтях Картера (1983), Пейджа (1987) і Різа (1987).) Коротко кажучи, антропний принцип стверджує, що світ такий, який він є, принаймні частково завдяки тому, що інакше не було б кому запитувати, чому він такий. Існує багато різних версій цього принципу — від тих, що надто слабкі й тому майже тривіальні, до тих, що надто сильні й тому майже абсурдні. Три версії, здається, варті згадки тут:

1) В одній дуже слабкій версії антропний принцип пропонує просто враховувати нашу присутність як ще один експериментальний факт. Наприклад, нагадаймо жарт М.~Гольдгабера, що «ми знаємо по своїх кістках», що час життя протона має бути більшим, ніж $10^{16}$ років, бо інакше ми не пережили б впливу йонізувальних частинок, народжених розпадом протонів у наших тілах.

Ніхто не може заперечувати проти цієї версії, але вона не допомагає нам нічого пояснити, наприклад, пояснити, чому протон живе так довго. Вона також не дає особливо корисної експериментальної інформації; фізики-експериментатори (включно із самим Гольдгабером), звичайно, надали нам набагато кращі обмеження на час життя протона.

2) В одній дуже сильній версії антропний принцип говорить, що закони природи, які інакше були б неповними, доповнюються вимогою, що необхідно забезпечити умови виникнення розумного життя; причина в тому, що наука, очевидно, неможлива без спостерігачів. Я не знаю, як дійти рішення в таких питаннях, і просто висловлю свою власну точку зору: хоча наука, звичайно, неможлива без учених, незрозуміло, чому Всесвіт неможливий без науки.

3) Обмежена версія антропного принципу, іноді відома як «слабкий антропний принцип», підходить до пояснення того, у яких можливих ерах або частинах Всесвіту ми живемо, шляхом оцінювання, які ери або частини Всесвіту ми могли б населяти.

Прикладом може слугувати, як я гадаю, перше в сучасній фізиці використання антропних аргументів Дікке (1961) у відповідь на проблему, поставлену Діраком (1937). Дірак зауважив, що комбінація фундаментальних сталих, яка має розмірність часу, виявляється приблизно того самого порядку, що й сучасний вік Всесвіту $$ \hbar/Gcm_{\pi}^3=4.5\times 10^{10} \ {\rm років} $$ [Існують різні способи запису цього співвідношення, такі як заміна $m_{\pi}$ різними комбінаціями мас частинок і введення різних степенів $e^2/\hbar c$. Початковий діраківський збіг «великих чисел» рівносильний використанню рівняння $ \hbar/Gcm_{\pi}^3=4.5\times 10^{10} \ {\rm років} $ як формули віку Всесвіту, із заміною $m_\pi$ на $(137m_pm_e^2)^{183}МеВ$. Насправді існує так багато різних можливостей, що можна сумніватися, чи існує хоч який-небудь збіг, що потребує пояснення.] Дірак міркував, що якби цей зв’язок був реальним, то, оскільки вік Всесвіту зростає (лінійно) з часом, деякі зі сталих у лівій частині $ \hbar/Gcm_{\pi}^3=4.5\times 10^{10} \ {\rm років} $ мали б змінюватися з часом. Він припустив, що $G$ змінюється як $l/t$. [Зі (1985) застосував подібні аргументи до самої космологічної сталої.]

Відповідаючи Діраку, Дікке вказав, що саме питання про вік Всесвіту могло б виникнути лише тоді, коли умови придатні для існування життя. Зокрема, Всесвіт має бути достатньо старим, щоб деякі зорі завершили своє життя на головній послідовності й утворили важкі елементи, необхідні для життя, і він має бути достатньо молодим, щоб деякі зорі все ще виробляли енергію через ядерні реакції. Обидві межі віку Всесвіту, верхня і нижня, за яких життя може існувати, виявляються приблизно (дуже приблизно) заданими саме цією величиною. Отже, для досягнення приблизної узгодженості величини $\hbar/Gcm_{\pi}^3$ із сучасним віком Всесвіту немає потреби припускати, що яка-небудь із фундаментальних сталих змінюється з часом. Саме цей «слабкий антропний принцип» застосовуватиметься тут. Його доречність випливає з того факту, що в деяких сучасних космологічних моделях Всесвіт має частини або ери, у яких ефективна космологічна стала набуває широкого розмаїття значень. Ось деякі приклади. (1) Вакуумна енергія може залежати від вакуумного середнього скалярного поля, яке повільно змінюється під час розширення Всесвіту, як у моделі Бенкса (1985).

У моделі Лінде (1986, 1987, 1988b) флуктуації скалярних полів створюють експоненційно розширювані області Всесвіту, у межах яких подальші флуктуації створюють нові підвсесвіти, і так далі. Оскільки ці підвсесвіти є результатом флуктуацій полів, вони мають відмінні значення різних «сталих» природи.

(3) Всесвіт може пройти через дуже велику кількість фазових переходів першого роду, у яких формуються бульбашки з дедалі меншою вакуумною енергією; у межах цих бульбашок формуються нові бульбашки з іще меншою вакуумною енергією, і так далі. Це може відбуватися, якщо потенціал для деякого скалярного поля має велику кількість малих горбів, як у моделі Абботта (1985). Інша можливість полягає в тому, що стінки бульбашок можуть бути елементарними мембранами, які взаємодіють із калібрувальним потенціалом 3-форми $A_{\mu\nu\lambda}$, як у роботі Броуна і Тейтельбойма (1987a, 1987b).

(4) Всесвіт може починатися у квантовому стані, у якому космологічна стала не має точного значення. Будь-яке «вимірювання» властивостей Всесвіту дає розмаїття можливих значень космологічної сталої з апріорними ймовірностями, визначеними початковим станом (Гокінг, 1987a). Ми побачимо приклади цього в розділах VII і VIII. У моделях цих типів цілком розумно застосувати антропні міркування, щоб вирішити, у якій ері або частині Всесвіту ми могли б жити і, отже, які значення космологічної сталої ми могли б спостерігати. Велика космологічна стала впливала б на появу життя різними способами, залежно від знака $\lambda_{\rm eff}$. За великої додатної $\lambda_{\rm eff}$ Всесвіт дуже рано вступає в експоненційно розширювану фазу де Сіттера, яка потім триває вічно. Експоненційне розширення перешкоджає формуванню гравітаційних ущільнень, але щойно згусток матерії стає гравітаційно зв’язаним, його подальша еволюція не залежить від космологічної сталої. Далі, ми не знаємо, яких надприродних форм може набувати життя, але важко уявити, що воно могло б розвиватися взагалі без гравітаційних ущільнень у первісно однорідному Всесвіті. Тому антропний принцип дає досить нове передбачення: $\lambda_{\rm eff}$ має бути достатньо малою, щоб уможливити формування достатньо великих гравітаційних ущільнень (Вайнберг, 1987). Це було розроблено кількісно, але головний результат легко зрозуміти без детальних обчислень. Ми знаємо, що в нашому Всесвіті гравітаційне ущільнення вже почалося за червоного зміщення $z_c\geq4$. У цей час густина енергії була більшою за теперішню густину маси $\rho_{M_0}$ у $(1+z_c)^3 \geq 125$ разів. Космологічна константа має слабкий вплив, доки невакуумна густина енергії більша за $\rho_V$, тож можна дійти висновку, що вакуумної густини енергії $\rho_V$, не більшої, ніж, скажімо, $100\rho_{M_0}$, було б недостатньо, щоб запобігти гравітаційним ущільненням. [Кількісний аналіз Вайнберга (1987) показує, що для $k = 0$ вакуумна густина енергії, яка не перевищує $\pi^2(1+z_c)^3\rho_{M_0}/3$, не запобігла б гравітаційній конденсації за червоного зміщення $z_c$; це становитиме $410\rho_{M_0}$ для $z_c=4$.] Цей результат переконливо вказує на те, що, якщо за малість космологічної константи відповідає антропний принцип, то ми очікували б для вакуумної густини енергії $\rho_V~(10-l00)\rho_{M_0}$, оскільки немає жодної антропної причини для того, щоб вона була меншою. Чи допускається така велика вакуумна густина енергії спостереженнями? Існує багато різних типів астрономічних даних, які дають різні відповіді на це запитання.

A. Густина маси

Якщо, як часто припускають, Всесвіт тепер має незначну просторову кривину, то $$ \Omega_V+\Omega_{M_0}=1, (5.2) $$ де $\Omega_V$ і $\Omega_{M_0}$ — відношення вакуумної густини енергії та теперішньої густини маси до критичної густини $$ \Omega_V\equiv\frac{8\pi G\rho_V}{3{H_0}^2}=\frac{\lambda_{\rm eff}}{3{H_0}^2}, $$ $$ \Omega_{M_0}=\frac{8\pi G\rho_{M_0}}{3{H_0}^2}. $$ Динаміка скупчень галактик, здається, вказує, що $\Omega_{M_0}$ перебуває в інтервалі $0.1-0.2$ (Knapp і Kormendy, 1987), що, за цих припущень, вказує на значення $\rho_V/\rho_{M_0}$ в інтервалі $4-9$. Якщо ми не надаємо ваги свідченням, отриманим з динаміки скупчень галактик, то $\Omega_{M_0}$ могло б дорівнювати лише $0.02$ (Knapp і Kormendy, 1987), що відповідає значенню $\rho_V/\rho_{M_0}\approx 50$. [Див. також Bahcall та ін. (1987).] \subsection * {B. Вік} Для Всесвіту, в якому домінує пил, з $k = 0$ і $\rho_V = 0$, його вік дорівнюватиме $t_0 = 2/3H_0$. Для $H_0 = 100 км/с\ Мпк$ це — $7\times {10}^9$ років, значно менше, ніж зазвичай оцінюваний вік кулястих скупчень (Renzini, 1986). З іншого боку, для Всесвіту з домінуванням пилу, з $k = 0$ і $\rho_V\ne 0$, теперішній вік об’єкта, який сформувався за червоного зміщення $z_c$, становитиме $$ t_0(z_c)=\frac{2}{3}\left(1+\frac{\rho_{M_0}}{\rho_V} \right)^{1/2}H_0^{-1} \left\{\sinh^{-1}\left(\frac{\rho_V}{\rho_{M_0}} \right)^{1/2}\right.- $$ $$ -\left.\sinh^{-1}\left[\left(\frac{\rho_V}{\rho_{M_0}} \right)^{1/2}(1+z_c)^{-3/2}\right]\right\} $$ (5.4) Наприклад, для $z_c=4$ і $\rho_V/\rho_{M_0} = 9$ (тобто $\Omega_{M_0} = 0. 1$) це дає вік $1.1H_0^{-1}$ замість $\frac{2}{3}{H_0}^{-1}$. Це не суперечить віку кулястих скупчень навіть для сталої Габбла близько $100\ км/с\ Мпк$. Ці міркування про космічний вік і густину спонукали багатьох астрономів припустити наявність досить великої додатної космологічної сталої, з $\rho_V>\rho_{M_0}$ [de Vaucouleurs (1982,1983); Піблз (1984,1987a, 1987b); Turner, Steigman і Krauss (1984)]. Однак нещодавно з’явився вагомий аргумент проти цього припущення, який ми зараз розглянемо.

C. Підрахунки кількості

Спіллар (1986) провів дослідження кількості галактик як функції червоного зміщення, яке згодом проаналізував Лах (1986). Для рівномірно розподіленого класу об’єктів, які всі є досить яскравими, щоб їх можна було виявити за червоних зміщень $ < z_{\rm max}$, кількість об’єктів, спостережуваних із червоним зміщенням, меншим за $z < z_{\rm max}$, у всесвіті з домінуванням пилу та з $k = 0$ дорівнює $$ N(< z)\propto \int^1_{(1+z)^{-3/2}}ds s^{4/3}(1+\rho_V s^2/\rho_{M_0})^{-1/2}\left(\int^1_0 ds' {s'}^{-2/3}(1+\rho_V {s'}^2/\rho_{M_0})^{-1/2} \right)^2. $$ (5.5) Звичайно, у реальному світі завжди є деякі об’єкти, які надто тьмяні, щоб їх можна було помітити. Аналіз Лоха допускає невідомий розподіл яскравості, припускаючи лише, що його форма не змінюється з часом. За цих припущень він установив, що вакуумна енергія має бути дуже малою, а саме: $$ \rho_V/\rho_{M_0}=0.1^{-0.4}_{+0.2}. $$ Це більш ніж на три порядки величини нижче антропної верхньої межі, обговореної раніше. Якщо ефективна космологічна константа справді така мала, то ми мали б дійти висновку, що антропний принцип не пояснює, чому вона настільки мала. [Однак є причини бути обережними з цим висновком. Bahcall і Tremaine (1988) нещодавно повторно проаналізували дані Лаха і Спіллара, використовуючи ймовірну модель еволюції галактики, у якій форма розподілу яскравості змінюється з часом. Вони розглянули лише випадок $\rho_V=0$, залишивши $\Omega_{M_0}$ невизначеним, і виявили, що еволюція в цій моделі могла б збільшувати або зменшувати виведене значення $\Omega_{M_0}$ на одиницю.

Можливо, це також мало б подібний великий вплив на виведене значення $\rho_V\rho_{M_0},$, коли $\Omega_{M_0}+\Omega_V$ дорівнює одиниці. Крім того, червоні зміщення Лоха і Спіллара є фотометричними, а тому менш точними, ніж отримані зі зміщень окремих спектральних ліній.] Тепер розгляньмо космологічну константу іншого знака, $\lambda_{\rm eff} < 0$. Тут космологічна константа не заважає утворенню гравітаційних ущільнень. Натомість (для $k = 0$ або $k = + 1$) увесь Всесвіт колапсує до сингулярності за скінченний час T. Антропне обмеження тут полягає просто в тому, що Всесвіт існує достатньо довго для появи життя (Барроу і Тіплер, 1986), скажімо, $T\geq0.5H_0^{-1}$, де $H_0$ є часом Габбла в нашому Всесвіті. Для Всесвіту з домінуванням пилу, з $k = 0$, ми маємо $$ T=\pi(8\pi G|\rho_V|)^{1/2}, $$ $$ H_0^{-1}=(8\pi G\rho_{M_0}/3)^{1/2}, $$ (5.6) тож антропне обмеження тут просто $$ |\rho_V|\leq\rho_{M_0}. $$ (5.7) У цьому випадку антропний принцип може пояснити, чому космологічна константа настільки мала, як установив Лах (1986), але не набагато менша.

З іншого боку, від’ємна космологічна константа не допомогла б розв’язати проблеми космічної маси та віку. Перш ніж завершити цей розділ, дозвольте мені розглянути одну можливість, яка може з’явитися через кілька років. Припустімо, що справді буде підтверджено, як можна припустити з огляду на космічний вік і густину, що існує космологічна константа з $\rho_V$ порядку $\rho_{M_0}$. Чи матимемо ми тоді якусь альтернативу антропному тлумаченню цього значення $\rho_V$? Густина маси $\rho_M$ змінюється з часом, тож без антропних міркувань дуже важко пояснити, чому константа $\rho_V$ має дорівнювати значенню, яке $\rho_M$ має нині.

Але, можливо, $\rho_V$ насправді — не константа. Наприклад, Піблз і Ратра (1988) та Ратра і Піблз (1988) розглянули модель, у якій вакуумна енергія залежить від скалярного поля, що змінюється, коли Всесвіт розширюється. Щоб $\rho_V$ можна було вважати вакуумною енергією, необхідно лише, щоб вона супроводжувалася тиском $p_V=-\rho_V$; значення $\rho_V$ може змінюватися, якщо вакуум обмінюється енергією з речовиною та випромінюванням. Збереження енергії тоді пов’язує зміну $\rho_V$ зі зміною густини речовини (з $p_M = 0$) і випромінювання (з $p_R = \rho_R/3$): $$ \frac{d}{dt}\rho_V+R^{-3}\frac{d}{dt}(R^3\rho_M)+R^{-4}\frac{d}{dt}(R ^4\rho_R)=0. $$ Фріз та ін. (1987) розглянули можливість того, що обмін енергією відбувається лише між вакуумом і речовиною або вакуумом і випромінюванням, так що або $\rho_V/\rho_M$, або $\rho_V/\rho_R$ залишається сталим, відповідно (див. також Router і Wetterich, 1987). Щоб вакуум передавав енергію звичайній матерії таким способом, за якого $\rho_V/\rho_M$ залишається сталим і зберігається баріонне число, необхідно було б породжувати баріон-антибаріонні пари в кількості, достатній для створення проблематичного фону $\gamma$-випромінювання.

Як альтернатива, якщо вакуум передає енергію випромінюванню таким способом, за якого $\rho_V/\rho_R$ залишається сталим, і якщо $\rho_V$ порівнянне з теперішньою густиною маси $\rho_{M_0}$, тоді $\rho_V/\rho_R$ має бути досить великим, цілковито змінюючи результати космологічного нуклеосинтезу. Ще одна можливість, яку не розглядали Фріз та ін., — це те, що вакуум передає енергію випромінюванню, уникаючи проблем баріон-антибаріонної анігіляції, але таким способом, щоб підтримувати сталим відношення $\rho_V/\rho_M$, а не $\rho_V/\rho_R$. Однак це також не працює. За $\rho_V=c\rho_M$ і сталого $R^3\rho_m$ рівняння (5.8) дає $$ \rho_R=\rho_{R_0}\left(\frac{R_0}{R} \right)^4+3c\rho_{M_0}\left[\left(\frac{R_0}{R} \right)^3-\left(\frac{R_0}{R} \right)^4 \right] $$ $$ \to\frac{}{R \ll R_0} (\rho_{R_0}-3c\rho_{M_0})\left(\frac{R_0}{R} \right)^4. $$ (5.9) Щоб не порушувати обчислень космологічного нуклеосинтезу, нам необхідно $$ \rho_R\approx\rho_{R_0}\left(\frac{R_0}{R} \right)^4, $$ і тому $$ |\rho_V|/\rho_M\equiv|c|\leq\frac{\rho_{R_0}}{3\rho_{M_0}}\ll. $$ Таким чином, навіть якщо ми готові припустити, що енергія вакууму змінюється з часом, вакуумну густину енергії, порівнянну з теперішньою густиною маси, здається, дуже важко пояснити, виходячи з інших, ніж антропні, підстав.

Лише зареєстровані користувачі можуть залишати коментарі. Увійдіть або зареєструйтеся.