Инфляционная Вселенная
61. Оценить размер Вселенной в конце инфляции.
62. Найти число $N$ $e$-кратного увеличения масштабного фактора в период инфляции.
63. Найти число $N$ $e$-кратного увеличения масштабного фактора в модели $V\left( \varphi \right) = \lambda \varphi ^4 \left( {\lambda = 10^{ - 10} } \right).$
64. Найти число $N$ $e$-кратного увеличения масштабного фактора для процесса инфляции, протекающего вблизи точки перегиба.
65. Показать, что инфляция превращает неустойчивую неподвижную точку $x = 0$ для величины $$x \equiv \frac{{\Omega - 1}}{\Omega }$$ в стабильную, решая тем самым проблему плоскостности Вселенной.
66. Найти решение проблемы горизонта в рамках теории инфляции.
67. Найти решение проблемы монополей в рамках теории инфляции.
68. Найти потенциал скалярного поля, обеспечивающий степенной закон роста масштабного фактора
\[a(t)\propto {{t}^{p}}.\]
69. Найти точное частное решение системы уравнений для скалярного поля в потенциале $V(\varphi ) = g\exp \left( { - \lambda \varphi } \right)$
70. Сравнить решение, полученное в предыдущей задаче с решением эволюционных уравнений для скалярного поля в расширяющейся Вселенной в инфляционном пределе.
71. Найти зависимость масштабного фактора от времени в режиме инфляции для потенциала $(1/n)\lambda \varphi ^n $ при условии $\left| \varphi \right| \gg M_{Pl} $.
72. Вблизи минимума инфляционного потенциала условия инфляции заведомо нарушаются и Вселенная выходит из режима инфляции. Скалярное поле начинает осциллировать вблизи минимума. Предполагая, что период осцилляций много меньше космологических временных масштабов, определить эффективное уравнение состояния вблизи минимума инфляционного потенциала.
73. Показать, что полученное в предыдущей задаче эффективное уравнение состояния для скалярного поля в потенциале $V \propto \varphi ^n $ в случае $n = 2$ соответствует нерелятивистской материи, а $n = 4 -$ ультрарелятивистской компоненте (излучению).
74. Найти тензор энергии-импульса однородного скалярного поля в режиме медленного скатывания.
75. Определить зависимость от времени скалярного поля в окрестности минимума потенциала.
76. Найти тензор энергии-импульса однородного скалярного поля в режиме быстрых осцилляций вокруг минимума потенциала.
77. Показать, что зависимость
$$H(\varphi ) = \varphi ^{ - \beta}$$
приводит к так называемой промежуточной инфляции (расширение Вселенной происходит быстрее любого степенного закона и медленнее экспоненциального), при которой
$$a(t) \propto \exp (At^f ),\;\;0 < f < 1,\quad A > 0,\quad f = \left( {1 + \beta /2} \right)^{ - 1} $$
78. Показать, что зависимость $H(\varphi ) \propto \exp \left( { - \sqrt {\frac{1}{{2p}}} \frac{\varphi }{{M_{Pl} }}} \right)$ приводит к степенной инфляции $a(t) = a_0 t^p $.
79. Изменялась ли энтропия в период инфляции и, если да, оценить, каково было ее изменение?
80. Объясняет ли теория инфляции современное значение энтропии?
