Инфляционная Вселенная
41. Каким условиям должно удовлетворять скалярное поле, чтобы обеспечить расширение Вселенной, близкое к экспоненциальному?
42. Показать, что в процессе инфляции член с кривизной в уравнении Фридмана становится несущественным. Даже если это условие не выполнялось в начальный момент, инфляция быстро реализует его.
43. Получить эволюционные уравнения для скалярного поля в расширяющейся Вселенной в инфляционном режиме медленного скатывания.
44. Найти зависимость масштабного фактора от времени в режиме медленного скатывания для случая $V(\varphi ) = \frac{{m^2}}{2}\varphi ^2$
45. Найти зависимость масштабного фактора от скалярного поля в режиме медленного скатывания.
46. Найти горизонт частиц в режиме инфляции, предполагая $H \approx const$.
47. Показать, что условия реализации инфляционного режима медленного скатывания могут быть представлены в форме:
$$
\varepsilon (\varphi ) \equiv \frac{{M^* _{Pl}{}^2 }}{2}\left( {\frac{{V'}}{V}} \right)^2 \ll 1;~\left| {\eta \left( \varphi \right)} \right| \equiv \left| {M^* _{Pl}{}^2 \frac{{V''}}{V}} \right| \ll 1;M_{Pl}^* \equiv \left( {8\pi G} \right)^{ - 1/2}
$$
48. Показать, что полученное в предыдущей задаче условие реализации инфляционного режима медленного скатывания $\varepsilon \ll 1$ является достаточным условием инфляции.
49. Найти условие медленного скатывания для степенных потенциалов.
50. Показать, что в окрестности точки перегиба инфляционного потенциала $V(\varphi )$
выполняется условие $\varepsilon \ll \eta $
51. Показать, что параметр инфляции $\varepsilon $ может быть выражен через параметр $w$, входящий в уравнение состояния скалярного поля.
52. Показать, что второе уравнение Фридмана
$$\frac{{\ddot a}}{a} = - \frac{{4\pi G}}{3}(\rho + 3p)$$
может быть представлено в форме
$$\frac{{\ddot a}}{a} = H^2 (1 - \varepsilon ).$$
53. Показать, что в режиме медленного скатывания $\varepsilon _H \to \varepsilon $, а $\eta _H \to \eta - \varepsilon $.
54. Показать, что параметры инфляции $\varepsilon _H ,\eta _H $ можно представить в следующей симметричной форме:
$$\varepsilon _H = - \frac{{d\ln H}}{{d\ln a}};\quad n_H = - \frac{{d\ln H'}}{{d\ln a}}.$$
55. Доказать, что определение инфляции как режима, для которого $\ddot a > 0$
эквивалентно условию $\varepsilon _H < 1$
56. Показать, что инфляция возникает всякий раз, когда значение скалярного поля превосходит планковскую массу.
57. В модели $V(\varphi ) = \lambda \varphi ^4 \left( {\lambda \ll 1} \right)$
оценить интервал значений скалярного поля, соответствующий периоду инфляции.
58. Показать, что классический анализ эволюции Вселенной применим для значения скалярного поля $\varphi > M_{Pl} $, допускающего начало инфляции.
59. Показать, что в период инфляции относительная плотность $\Omega $ экспоненциально стремится к единице.
60. Оценить температуру Вселенной в конце инфляции.
