21. Определить возраст нашей Вселенной, предполагая ее пространственно-плоской с доминированием 

1. материи,
2. излучения.

22. Показать, что параметр замедления $q$ связан с параметром Хаббла соотношением $$q(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac 1 H\right)-1.$$

23. Пусть $t_a$ момент времени в истории Вселенной, когда замедленное расширение сменилось ускоренным, т.е. параметр замедления $q(t_a)=0.$ Показать, что если $t_1$ и $t_2$ два момента времени в окрестности $t_a$, лежащие по разные стороны от него, то $$ \Delta t\equiv t_1-t_2 = \frac 1 {H_1} - \frac 1 {H_2}. $$

24. Показать, что поверхность хаббловской сферы удаляется со скоростью $V=c(1+q),$\label{V=c(1+q)} где $q$ -- параметр замедления. Поясните этот результат.

25. Показать, что в ускоренно расширяющейся Вселенной хаббловский радиус уменьшается со временем.

26. Показать, что зависимость параметра замедления от красного смещения может быть представлена в форме $$q(z)=\frac{1+z}{H}\frac{dH}{dz}-1.$$

27. Показать, что для Вселенной, состоящей из одной компоненты с уравнением состояния $p = w\rho,$ параметр замедления $q = \frac{1}{2}(1 + 3w)$.

28. Показать, что для Вселенной, состоящей из нескольких компонент с уравнениями состояния $p_i = w _i \rho _i,$ параметр замедления равен $$ q = \frac{\Omega }{2} + \frac{3}{2}\sum\limits_i {\omega _i \Omega _i }, $$ где $\Omega$ -- полная относительная плотность.

29. Показать, что параметр Хаббла связан с параметром замедления интегральным соотношением $$ H=H_0\exp\left[\int\limits_0^z[q(z^\prime)+1]d\ln(1+z^\prime)\right]. $$

30. Показать, что $k = \mbox{sign}(\Omega-1). $

31. Замкнутая $(k=1)$ фридмановская Вселенная обладает текущей постоянной Хаббла $H_0$ и параметром замедления $q_0.$ Найти время жизни такой Вселенной.

32. Замкнутая фридмановская Вселенная обладает текущей постоянной Хаббла $H_0$ и параметром замедления $q_0$. Найти максимальный размер такой Вселенной.