Квантовий опис гравітаційної взаємодії досі не здійснено цілком задовільним чином. Водночас квантова природа всіх інших взаємодій, вочевидь, цього вимагає.
Квантова теорія гравітації, можливо, дала б змогу розв’язати найважливіші фізичні проблеми, такі як проблема космологічної сингулярності та проблема мікроструктури простору-часу. Перша з цих проблем не так давно була предметом досить докладного обговорення в літературі. Для її розв’язання залучали підхід Вілера — де Вітта [1-3], що являє собою канонічне квантування гравітації у змінних метричного тензора. Згідно з цим підходом, Всесвіт загалом описується хвильовою функцією, що підпорядковується низці рівнянь, головним із яких є рівняння Вілера — де Вітта. Однак зазначений підхід породжує нові питання і проблеми, не менш серйозні, ніж класична проблема космологічної сингулярності, яку таким чином намагалися розв’язати. Так, хвильова функція Всесвіту передбачає ймовірнісний опис його властивостей. Але наш Всесвіт існує в єдиному екземплярі, і незрозуміло, як такий опис може в принципі виникнути. Інша проблема пов’язана з тим фактом, що хвильова функція Всесвіту не залежить від часу як такого, і виникає питання, яким чином така хвильова функція в принципі може описувати Всесвіт, що еволюціонує в часі.
Питання мікроструктури простору-часу значно рідше обговорюється в літературі. Цю роботу присвячено цьому питанню, а також пов’язаному з ним питанню про спонтанне квантове народження нового всесвіту й оцінку ймовірності такого процесу. Описуючи мікроструктуру простору-часу, часто вживають запроваджений Вілером термін "просторово-часова піна", що підкреслює її квантову природу. Справді, якщо дотримуватися звичайних уявлень квантової теорії поля, то треба погодитися, що на досить малих просторово-часових масштабах стає істотною квантова природа метрики простору-часу і що не можна говорити про її певне класичне значення. Досить повний опис цієї "піни" є дуже складним завданням. Ми обмежимося розглядом деякого нового класу конфігурацій геометрії, які природно назвати квазізамкнутими світами [4-6].
Розгляньмо просторову конфігурацію, подібну до зображеної на рис. 1, а. Великий за своїми розмірами тривимірний ріманів простір $M$ з’єднаний невеликою горловиною з малим простором $N$, який, з огляду на малість метричного розміру горловини, ми можемо назвати напівзамкнутим світом. За класичної еволюції такої тривимірної конфігурації в часі напівзамкнутий світ з погляду великого світу наближено виглядає як певна "частинка" з масою, взагалі кажучи, тим меншою, чим менший розмір горловини.
Ми можемо припустити, що подібні конфігурації виникають унаслідок вакуумних квантових флуктуацій метрики й існують тим довше, чим менша їхня маса (або, що те саме, їхня внутрішня енергія). Таким чином, такі довгоживучі конфігурації з малою масою природно вирізняються на тлі всіляких флуктуацій геометрії [5]. Їхнє спонтанне утворення можна інтерпретувати як квантово-гравітаційну нестійкість однорідного вакууму.
У граничному випадку нульового розміру горловини, зображеної на рис. 1, а, малий напівзамкнутий світ начебто замкнеться повністю, але ми не виключаємо можливості того, що він залишається прикріпленим до материнського світу. Відповідну конфігурацію зображено на рис. 1, б. Тут два замкнуті світи, великий і малий, з’єднуються в точці а. Практично це означає, що ми ототожнюємо відповідні точки в цих просторах.
Дещо відступаючи від теми, зазначимо, що наявність квантових флуктуацій геометрії, взагалі кажучи, не виключає можливості впорядкованої структури основного стану (вакууму). Якщо припустити, як це зроблено в роботах одного з авторів [4. 5], що ця структура має форму "кристала", роль "атомів" якого відіграють довгоживучі флуктуації зазначеного типу (рис. 2), то це дало б змогу розв’язати низку важливих проблем квантової теорії поля, таких як проблема розбіжностей і проблема космологічної сталої, та пояснити дублювання ферміонних поколінь елементарних частинок. Однак у цій роботі ці питання не розглядатимуться; тут ми будуємо теорію лише одного з можливих таких "атомів", який є конфігурацією типу зображеної на рис. 1, б або рис. 2.
Рис. 2
У наступній частині роботи, обмежуючись рамками мінісуперпростору, обчислимо ймовірність тунелювання мікровсесвіту в область його великих розмірів і, таким чином, народження з нього нового всесвіту [7, 8]. Припускаємо, що такого роду подія якимось чином позначатиметься у великому світі, але в цій роботі не уточнюємо її можливих наслідків.
Імовірність тунелювання мікровсесвіту.
Мінісуперпросторова модель квазізамкнутого світу описується фрідманівською метрикою вигляду
\begin{equation} ds^2 = c^2dt^2-a^2(t)d\Omega,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (1) \end{equation}
де $d\Omega$ — метрика тривимірної сфери одиничного радіуса і c — швидкість світла. Квазізамкнутий світ "приклеєний" до великого материнського всесвіту, як це зображено на рис. 1, а, і рухається в ньому вздовж деякої часоподібної світової лінії. При цьому параметр $t$ відлічує власний час уздовж цієї світової лінії, а змінна $a(t)$ описує внутрішню динаміку (розмір) квазізамкнутого світу. Зауважимо, що відсутність звичайної функції ходу $N(t)$ як множника при $dt^2$ у виразі (1) пояснюється тим, що в нашій теорії час t є зовнішнім (з погляду мікровсесвіту) вимірюваним часом, а не просто внутрішнім часом квазізамкнутого світу. У зв’язку з цим повна енергія квазізамкнутого мікросвіту буде в нашій теорії відмінною від нуля, на відміну від звичайної теорії замкнутого світу. Докладне і послідовне формулювання теорії квазізамкнутого світу обговорюватиметься в нашій розширеній публікації. Дія Гільберта — Ейнштейна з урахуванням можливого $\Lambda$-члена дорівнює
\begin{equation} S = -\frac{c^3}{16\pi G_N} \int\left(R+2\Lambda\right)\sqrt{-g}d^4x,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (2) \end{equation}
де $G_N$ — ньютонівська гравітаційна стала. Для метрик вигляду (1) ця дія набуває вигляду
\begin{equation} S = -\frac{3\pi c^4}{4 G_N}\int\left(\frac{\dot{a}^2a}{c^2}-a+\frac{\Lambda}{3}a^3\right)dt, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (3) \end{equation}
Рис. 3
Класичний потенціал $V(a) \propto a^2-\Lambda а^4/3$, що відповідає дії (3), наведено на рис. 3 (ліворуч). У дії зручно здійснити заміну змінної $q = \left(\sqrt{\pi}a/l_P\right)$, часу $\tau=3\sqrt{\pi}t/4t_P$ і космологічної сталої $\lambda=l_P^2\Lambda/3\pi$, де $l_P=\sqrt{ \hbar G_N/c^3} \approx1.6 \cdotp 10^{-33}cm$ — планківська довжина, а $t_P=l_P/c\approx 5.4\cdotp 10^{-44}c$ — планківський час. Тоді дія (3) набуде вигляду
\begin{equation} S = -\hbar \int\left(\frac{1}{4}\dot{q}^2-q^{2/3}+\lambda q^2\right)d\tau,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (4) \end{equation}
Відповідний класичний потенціал $V(q)$ у термінах змінної $q$ наведено на рис. 3 (праворуч).
Хвильова функція $\psi (\tau,\,q)$ квазізамкнутого світу, що рухається вздовж деякої світової лінії великого материнського світу, задовольняє рівняння Шредінгера
\begin{equation} i\hbar\frac{\partial\psi (\tau,\,q) }{\partial \tau}=\hat{H}\psi (\tau,\,q). \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (5)\end{equation}
Згідно з дією (4), рівняння (5) набуває вигляду
\begin{equation} i\hbar\frac{\partial\psi (\tau,\,q) }{\partial \tau}=\left[\frac{\partial ^2}{\partial q^2}-q^{2/3} +\lambda q^2\right]\psi (\tau,\,q), \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (6)\end{equation}
Граничні умови, за яких оператор у рівнянні (6) є самоспряженим, мають вигляд $\psi(0)=0$ або $\psi '(0)=0$. Для отримання конкретних розв’язків рівняння (6) необхідно задати початкові умови для хвильової функції за часом τ, а також граничну умову в просторі параметра $q$ при $q=0$. Гранична умова при $q = 0$ визначається умовою збереження повної ймовірності, тобто умовою самоспряженості оператора $\hat{H}$. Як початкову умову ми покладемо, що хвильова функція за деякого початкового часу $\tau$ локалізована в області локального мінімуму $q = 0$ потенціалу гамільтоніана. Тоді задача, описувана рівнянням (6), формально збігається із задачею про квазістаціонарні стани і тунелювання в область великих значень $q$ у потенціалі $V(q)=q^{2/3}-\lambda q^2$ (див. рис. 4). Теорія розв’язання такої задачі (теорія Гамова) досить добре розроблена (див. [11]), і ми застосуємо її для розглядуваного випадку.
Як відомо [11], щоб отримати ймовірність тунелювання в задачі (6), необхідно знайти формальні стаціонарні розв’язки рівняння (6) і відповідні їм комплексні рівні енергії e з граничною умовою: при $q\rightarrow \infty$ хвильова функція $\psi (\tau,\,q)$ має вигляд вихідної хвилі.
Таким чином, необхідно розв’язати рівняння
\begin{equation} \left[\frac{d^2}{dq^2}-q^{2/3}+\lambda q^2\right]\psi =\epsilon\psi. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (7) \end{equation}
Його комплексні рівні мають вигляд $\epsilon =\epsilon_0 - i\gamma/2,$ де $\epsilon_0$ і $\gamma$ — дійсні та додатні. При цьому середній власний час життя відповідного квазістаціонарного стану дорівнює $t_*\sim t_P/\gamma$.
Зробімо оцінку енергії найнижчих рівнів. Якщо параметр $\lambda$ малий, то ми можемо розглядати доданок $\lambda q^2$ як збурення. Тоді в першому порядку за $\lambda$ отримуємо, що найнижчий рівень \begin{equation} \epsilon_0 \sim 1.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (8) \end{equation}
Тепер оцінимо уявну частину енергії. З експоненціальною точністю маємо (див. [11])
\begin{equation} \gamma\sim\exp\left[-2\int\limits_{q1}^{q2} {\sqrt{q^{2/3}-\lambda q^2 -\epsilon_0}}dq\right], \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (9)\end{equation}
де $q1$ і $q2$ — корені підінтегрального виразу. У випадку, коли параметр $\lambda\ll1$, ми отримуємо асимптотичний вираз
\begin{equation} \gamma\sim e^{-1/\lambda+3\pi\epsilon_0/4\sqrt{\lambda}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (10) \end{equation}
і відповідний власний час життя
\begin{equation} t_*\sim t_P e^{-1/\lambda+3\pi\epsilon_0/4\sqrt{\lambda}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (11) \end{equation}
Отриманими вище формулами можна користуватися в першому наближенні й у випадку, коли космологічна "стала" досить повільно (адіабатично) змінюється з часом $t$. Адіабатичність означає, що ймовірність збудження квазізамкнутого світу (тобто ймовірність його переходу на збуджений квазідискретний рівень) мала. Подібна ситуація має місце, наприклад, у разі космологічного роздування великого світу (див. [12]), коли ефективна космологічна стала залежить від значення потенціалу деякого скалярного поля φ вздовж світової лінії руху квазізамкнутого світу і повільно спадає з часом. У випадку, коли космологічна стала в мікросвіті цілком генерується за рахунок цього скалярного поля, формула (11) виражає поточний (на даний космологічний момент) час життя квазізамкнутого світу. Легко показати, що за розглядуваних умов час життя квазізамкненого мікровсесвіту на одному з найнижчих квазістаціонарних рівнів більший за час розширення великого всесвіту. Справді, оцінимо значення космологічної сталої, за якого час життя (11) збігається з габблівським часом $t_H$ розширення великого всесвіту за умов, коли космологічна стала домінує в густині енергії. Маємо ($H$ є параметром Габбла великого всесвіту):
\begin{equation} H^2=c^2\Lambda/3=\pi\lambda/t_P^2,\,\,\,\,\,\,t_H\equiv H^{-1}=t_P/\sqrt{\pi\lambda},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (12) \end{equation}
і умова $t_*\sim t_H$ дає \begin{equation} \lambda\sim e^{-2/\lambda},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (13) \end{equation} тобто $\lambda\sim 1,$ або $\Lambda\sim l_P^{-2},$ що має місце лише в планківську епоху, коли взагалі не можна говорити про класичний великий всесвіт (стан світу в цю епоху є істотно квантовим). З часом космологічна стала зменшується, а час життя (11) експоненційно зростає. У нинішню епоху маємо $\lambda\sim 10^{-122},$ і час життя (11) квазізамкнених світів практично нескінченний.
Однак мікровсесвіт може мати свою власну внутрішню космологічну сталу $\Lambda$, яка не обов’язково збігається з (ефективною) космологічною сталою великого материнського світу і також не обов’язково є малою. У цьому разі час життя (11) залежить від цієї космологічної сталої мікросвіту як від (невідомого) вільного параметра.
На завершення зазначимо таке. У канонічному підході до квантування гравітації існують серйозні й досі не подолані труднощі, пов’язані з інтерпретацією хвильової функції всесвіту. Проблема полягає в тому, що в цьому підході хвильова функція всесвіту не залежить від часу і покликана описувати єдиний у своєму роді об’єкт — наш Всесвіт, через що виникають труднощі з її статистичною та еволюційною інтерпретацією.
У цій роботі ми застосовуємо теорію квантової гравітації з деякою модифікацією не до всього всесвіту, а до його малих частин, які ми назвали квазізамкненими світами. Квазізамкнений світ можна розглядати як один з "атомів", з яких побудовано простір-час нашого Всесвіту [4, 5]. Таких "атомів", звичайно, має бути дуже багато; при цьому статистична інтерпретація їхньої хвильової функції нічим не відрізняється від звичайної. Ця обставина вигідно відрізняє наш підхід від звичайних теорій, у яких хвильова функція всесвіту стосується одного-єдиного об’єкта — нашого Всесвіту, не залежить від жодного часу і не має задовільної інтерпретації.
У цій роботі ми обчислили ймовірність тунелювання квазізамкненого світу за одиницю часу. Ця ймовірність виявилася експоненційно малою для значень космологічної сталої, характерних для реального) світу. Отже, ми можемо зробити висновок про стійкість міні-всесвіту щодо тунелювання з утворенням великого класичного всесвіту.
Нескладно виразити отриману ймовірність підбар’єрного тунелювання квазізамкненого мікросвіту (мікровсесвіту) і його перетворення на макросвіт, що швидко розширюється, через початковий класичний розмір цього макросвіту, який дорівнює
\begin{equation} a_*=l_P/\sqrt{\pi\lambda}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (14) \end{equation}
За умови $\lambda\ll$ матимемо з (10) \begin{equation} \gamma\sim e^{-\pi a^2_*/l_P^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (15) \end{equation}
а для часу життя мікросвіту щодо процесу тунелювання і перетворення на "дочірній" мікросвіт
\begin{equation} t_*\sim t_P e^{\pi a^2_*/l_P^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (16) \end{equation}
Вирази (15) і (16) узгоджуються з оцінками, проведеними раніше в [7, 8].
Оцінимо ймовірність того, що наш Всесвіт на сучасному етапі його еволюції вже став Материнським" принаймні для одного "дочірнього" всесвіту, який встиг "відбрунькуватися" від нього внаслідок підбар’єрного тунелювання. Якщо оцінювати сучасний розмір Всесвіту як $l_0\sim 10^{28}$см, а характерний розмір довгоживучих квазізамкнених мікросвітів, що становлять мікроструктуру простору Всесвіту, як $l\sim l_P\sim 10^{-33}$см, то отримаємо, що весь ансамбль таких планківських мікросвітів містить їх у кількості порядку
\begin{equation} N\sim (l_0/l_P)^3\sim 10^{183}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (17) \end{equation}
Отже, за час порядку сучасного габблівського часу $H_0^{-1}\sim 10^{17}$с від нашого Всесвіту в середньому відбрунькувалося \begin{equation} N_0\sim N(1-e^{-1/t_*H_0})\sim N/t_*H_0\sim Ne^{-\pi a_*^2/l_P^2}/t_PH_0\sim 10^{244} \cdot e^{-\pi a_*^2/l_P^2}\sim e^{562-\pi a_*^2/l_P^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (18) \end{equation} дочірніх всесвітів. Під час обчислення ми припустили, що $N_0\ll N,$ або, отже, $\pi a_*^2/l_P^2 =1/\lambda > \ln(t_PH_0)^{-1} = \ln 10^{61}\approx 140.$ Можна, в принципі, поставити питання про можливі спостережні прояви присутності "дочірніх" всесвітів, що розширюються, "в околі" нашого Всесвіту, але це питання виходить за межі цієї роботи.
Автори: П.І. Фомін, Ю.В. Штанов, О.В. Барабаш
Література
- Wheeler J. A. Geometrodynamies and the issue of the final state // Relativity, Groups and Topology / Ed. by C. De Witt and B.S. De Witt. - New York: Gordon and Breach, 1964.
- De Witt B.S. Quantum theory of gravity. I. The canonical theory // Phys. Rev. - 1967. - 160. - P. 1113.
- Wheeler J.A. Superspace and the nature of quantum geometrodynamies // Batelle Rencontres / Ed. by C. De Witt and J.A. Wheeler. - New York: Benjamin, 1968.
- Fomin P.I. Zero cosmological constant and Planck scales phenomenology // Proceedings of the Fourth Seminar on Quantum Gravity, May 25-29, Moscow / Ed. by M.A. Markov. - Singapore: World Scientific, 1988. - P. 813.
- Фомин П.И. О кристаллоподобной структуре физического вакуума на планковских расстояние // Пробл. физ. кинетики и физики тв. тела. - Киев: Наук, думка, 1990. - С. 387-398.
- Fomin P.I., Kuzmichev V. V. Gravitational fields of massive and massless axial-symmetric quadrupoles in general relativity // Phys. Rev. D. - 1994. - 49, No 4. - P. 1854-1860.
- Фомин П.И. Гравитационная неустойчивость вакуума и космологическая проблема. - Киев, 1973. -(Препринт / АН Украины. Ин-т теорет. физики; 73-137Р)
- Фомин П.И. Гравитационная неустойчивость вакуума и космологическая проблема // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1975. - № 9. - С. 831-835.
- Конопяева Н.П., Попов В.Н. Калибровочные пола. - Москва: Атомиздат, 1980. - 240 с,
- Фейнман Р., Хиббс А. Квантовая механика и интегралы по путям. - Москва: Мир, 1968.
- Базь А.И., Зельдович Я.Б., Переломов A.M. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской кван-товой механике. - Москва: Наука, 1971. - 544 с.
- Линде А.Д. Физика элементарных частиц и инфляционная космология. - Москва: Наука, 1990. - 280 с.
Лише зареєстровані користувачі можуть залишати коментарі. Увійдіть або зареєструйтеся.
Коментарі (1):
сильномнгабукф но интересно то как!