Мовчи й рахуй!

Я представляю радикальний підхід до фізики, який образно виражає звернена до фізика фраза: «Мовчи й рахуй!» За такого підходу наша зовнішня фізична реальність — лише прояв математичної реальності. Це коротке есе представляє крайнє припущення «рівняння — наше все» та обговорює його наслідки.

У чому сенс Життя, Всесвіту й Усього? Наші допитливі предки, безсумнівно, ставили собі такі всеосяжні запитання. Їхній пошук «теорії всього» вдосконалювався зі зростанням знань. Так, давні греки замінили міфологічні пояснення поясненнями на основі механістичних моделей Сонячної системи й змістили наголос із запитання «чому» на запитання «як».

Відтоді можливості наших допитливих пошуків у деяких галузях вичерпалися, а в інших зростали як гриби. Деякі запитання відкинули як наївні або оманливі — наприклад, популярні в епоху Відродження спроби пояснити розміри планетних орбіт із перших принципів. Те саме може статися й нині з новомодними спробами передбачити кількість темної енергії в космосі, якщо виявиться, що її кількість у нашій ділянці існування не є типовою. Утім, наша здатність відповідати на деякі запитання перевершила найсміливіші очікування попередніх поколінь: Ньютон, імовірно, був би вражений, якби дізнався, що одного дня ми виміряємо вік нашого Всесвіту з точністю до 1 відсотка й зрозуміємо мікросвіт достатньо добре, щоб створити iPhone.

Математика відігравала разючу роль у цих досягненнях. Ідея, що наш Всесвіт у певному сенсі є математичним всесвітом, сягає щонайменше піфагорійців Давньої Греції, які започаткували багатовікові обговорення цієї ідеї серед фізиків і філософів. У 17-му столітті Галілей заявив, що Всесвіт — це «велика книга», написана мовою математики. Нещодавно (1960) фізик, нобелівський лауреат Юджин Вігнер наголошував, що «незбагненна ефективність математики в природничих науках» потребує пояснення.

Тут я висуваю цю ідею в її крайній формі й стверджуватиму, що наш Всесвіт не стільки описується математикою, скільки сам і є математикою. Хоча ця гіпотеза може видатися досить абстрактною й надуманою, з неї можна вивести разючі передбачення про структуру Всесвіту, які можна перевірити спостереженнями. Вона також має бути корисною для міркувань про те, якою може бути остаточна теорія всього.

В основі моєї ідеї лежить припущення, що існує зовнішня фізична реальність, незалежна від нас, людей. Це не надто спірне твердження: я припускаю, що більшість фізиків підтримує цю давню ідею, хоча її досі обговорюють. Метафізичні соліпсисти категорично її відкидають. Прихильники так званої копенгагенської інтерпретації квантової механіки можуть відкидати її на тій підставі, що без спостереження немає жодної реальності. Прийнявши існування зовнішньої реальності, фізичні теорії прагнуть описати, як вона влаштована. Наші найуспішніші теорії, як-от загальна теорія відносності та квантова механіка, описують лише частини цієї реальності — наприклад, гравітацію або поведінку субатомних частинок. На відміну від них, святий Грааль теоретичної фізики — «теорія всього» — покликаний дати повний опис реальності.

Мої власні пошуки цієї теорії починаються зі спроб з'ясувати, якою вона може бути. Якщо ми припускаємо, що реальність існує незалежно від людей, то її повний опис має бути зрозумілим також «нелюдським» істотам або системам — інопланетянам чи суперкомп'ютерам, які не сприймають людських понять. Інакше кажучи, цей опис має бути виразним у формі, позбавленій будь-якого змісту, «прив'язаного» до людини, як-от «частинка», «спостереження» чи інші слова людської мови.

Натомість усі фізичні теорії, яких мене навчали, мають два складники: математичні рівняння та слова, що пояснюють, як рівняння пов'язані з тим, що ми спостерігаємо й інтуїтивно розуміємо. Коли ми виводимо наслідки з теорії, то вводимо нові поняття — протони, молекули, зорі, — оскільки вони зручні. Однак важливо пам'ятати, що саме ми, люди, створюємо ці поняття: адже, у принципі, усе можна було б обчислити без цього багажу. (Термін «багаж» (baggage) Макс Тегмарк використовує для позначення понять, якими послуговується саме людина. Можна сказати, антропних понять. Докладніше це пояснено в [1].) Наприклад, достатньо потужний суперкомп'ютер міг би обчислити, як стан Всесвіту еволюціонує з часом, не інтерпретуючи те, що відбувається, у людських термінах.

Усе це порушує питання: чи справді можна знайти опис зовнішньої реальності, не залучаючи жодного багажу? Якщо так, то такий опис об'єктів у цій зовнішній реальності та відношень між ними мав би бути цілком абстрактним, використовуючи слова чи символи лише як мітки без жодного власного значення. А єдиними властивостями цих об'єктів були б відношення між ними, а не слова, якими їх позначають.

І саме тут з'являється математика. Для сучасного логіка математична структура — це множина абстрактних об'єктів із відношеннями між ними. Візьміть цілі числа або геометричні об'єкти, наприклад додекаедр — улюбленця піфагорійців. Це різко відрізняється від того, як більшість із нас знайомиться з математикою: або як із садистською формою покарання, або як із набором хитромудрих прийомів маніпулювання числами. Як і фізика, математика розвивалася, щоб ставити дедалі ширші запитання.

Сучасна математика — це формальне дослідження структур, які можна визначити суто абстрактним способом. А математичні символи — лише мітки, що не мають жодного наперед заданого значення. Байдуже, чи ви пишете «два плюс два дорівнює чотири», «2 + 2 = 4» або «dos mas dos igual cuatro» («два плюс два дорівнює чотири» іспанською). Символ (знак) зазвичай позначає об'єкти й відношення та не є принциповим: наприклад, єдині властивості цілих чисел — це відношення між ними. Отже, ми не винаходимо математичні структури, а відкриваємо їх; винаходимо лише умовні позначення, щоб їх описувати.

І тут ми підходимо до суті моєї ідеї. Якщо ви вірите в зовнішню реальність, незалежну від людей, то маєте також вірити в те, що я називаю гіпотезою математичного всесвіту: наша фізична реальність є математичною структурою. Іншими словами, усі ми живемо всередині гігантського математичного об'єкта — складнішого за додекаедр і, ймовірно, також складнішого за об'єкти з такими моторошними назвами, як многовиди Калабі — Яу, тензорні розшарування й гільбертові простори, що з'являються в найпередовіших сучасних теоріях. Усе в нашому світі є суто математичним — зокрема й ви.

Якщо це так, то теорія всього має бути суто абстрактною та математичною. Хоча ми ще не цілком уявляємо, якою була б ця теорія, фізика елементарних частинок і космологія вже досягли рівня, коли всі будь-коли проведені вимірювання можна пояснити, принаймні в принципі, за допомогою рівнянь, що вміщуються на кількох сторінках і містять лише 32 непояснені числові константи (Physical Review D, vol 73, 023505). Тому видається можливим, що правильна теорія всього може навіть виявитися досить простою й описуватися рівняннями, які можна перелічити на пальцях однієї руки.

Перш ніж обговорювати, чи правильна гіпотеза математичного всесвіту, з'ясуймо нагальніше питання: що вона насправді означає? Зрозуміти це допоможе розрізнення двох способів, двох ракурсів розгляду нашої зовнішньої фізичної реальності. Перший — зовнішній погляд фізика, який вивчає математичну структуру реальності, наче птах роздивляється краєвид із висоти польоту; другий — внутрішній погляд спостерігача, що живе у світі, описаному цією структурою, наче жаба, що мешкає в краєвиді, який розглядає птах.

Одна з проблем співвідношення цих двох ракурсів пов'язана з часом. Математична структура за визначенням є абстрактною, незмінною сутністю, що існує поза простором і часом. Якби історія нашого Всесвіту була кінофільмом, то математична структура відповідала б не окремому кадру, а всьому фільму на DVD. Отже, з погляду птаха траєкторії об'єктів, які рухаються в чотиривимірному просторі-часі, нагадують сплутані спагеті. Там, де жаба бачить рух чогось зі сталою швидкістю, птах бачить пряму нитку сирих спагеті. Де жаба бачить рух Місяця й Землі, птах бачить дві переплетені нитки спагеті. Для жаби світ описується законами руху й тяжіння Ньютона. Для птаха світ — це геометрія макаронів.

Ще одна тонкість у зв'язку цих двох ракурсів полягає в поясненні того, як спостерігач міг би бути суто математичним. У такому разі сама жаба має складатися з товстого пучка макаронів, дуже складна структура якого відповідає частинкам, що зберігають і обробляють інформацію так, що певною мірою породжують те, що відоме як чуттєвий досвід самоусвідомлення.

Гаразд, то як же перевірити гіпотезу математичного всесвіту? Для початку вона передбачає, що математичні закономірності можна виявляти в природі як нині, так і надалі. Відколи Галілей проголосив ідею математичного космосу, у цьому напрямку спостерігається сталий поступ відкриттів, зокрема Стандартної моделі фізики елементарних частинок, яка демонструє разючий математичний порядок у мікросвіті елементарних частинок і макросвіті раннього Всесвіту.

І це ще не все. Гіпотеза також робить радикальніше передбачення: існування паралельних всесвітів — «мультикосмосу». (Термін Multiverse ще не має усталеного перекладу російською, на відміну від Universe — «Всесвіт». Андрій Лінде перекладає Multiverse як «Багатоликий всесвіт». Є варіант «Надвсесвіт». Тут для стислості використано словосполучення «мультикосмос».) За ці роки було запропоновано багато типів «мультикосмосу», які зручно згрупувати в ієрархію з чотирма рівнями. Перші три рівні відповідають паралельним світам, які не можуть обмінюватися інформацією, у межах тієї самої математичної структури: рівень I просто означає віддалені ділянки, світло від яких ще не встигло дістатися до нас; рівень II охоплює ділянки, що назавжди недосяжні через космологічну інфляцію нестаціонарного простору; а рівень III, який часто називають «багатьма світами», включає частини так званого гільбертового простору квантової механіки, які не можуть обмінюватися інформацією і на які Всесвіт міг «розколотися» (розщепитися) під час певних квантових подій. Рівень IV стосується паралельних світів у різних математичних структурах, які можуть мати істотно відмінні закони фізики.

Найкращі сучасні оцінки дають величезну кількість інформації — можливо, гугол $(10^{100})$ біт — для повного опису видимого Всесвіту (погляду нашої жаби): від положення кожної зорі до кожної піщинки. Більшість фізиків сподівається на теорію всього, яка потребуватиме набагато менше інформації й уміститься в одній книжці, якщо не на одній долоні. Гіпотеза математичного всесвіту означає, що така проста теорія має передбачати мультикосмос. Чому? Оскільки ця теорія за визначенням є повним описом реальності, їй не потрібно описувати наш Всесвіт у подробицях (зорі, піщинки тощо), а достатньо закодувати, у якому всесвіті ми перебуваємо (які фізичні закони в нас діють), наче вказавши номер телефону. Отже, опис мультикосмосу може бути простішим за опис єдиного космосу (всесвіту) з усіма його подробицями.

Доведена до крайності, гіпотеза математичного всесвіту передбачає мультикосмос рівня IV, який включає всі інші рівні. Якщо існує конкретна математична структура, що є нашим Всесвітом, а її властивості відповідають нашим фізичним законам, то кожна математична структура з іншими властивостями — це інший всесвіт з іншими законами. Справді, мультикосмос рівня IV є необхідним, оскільки математичні структури «не створені» й не існують «десь» — вони просто існують. Стівен Гокінг якось запитав: «Що вдихає вогонь у рівняння й дає їм змогу описувати Всесвіт?» У випадку математичного космосу вогнедишна істота не потрібна, адже річ не в тому, що математична структура описує Всесвіт, а в тому, що вона сама і є Всесвітом.

Існування мультикосмосу рівня IV також відповідає на бентежне запитання, яке поставив фізик Джон Вілер: навіть якщо ми знайшли рівняння, що досконало описують наш Всесвіт, то чому саме ці рівняння, а не інші? Тепер відповідь полягає в тому, що інші рівняння теж існують і керують іншими паралельними всесвітами, а наш Всесвіт описується певними конкретними рівняннями, оскільки вони статистично ймовірні в розподілі математичних структур, які допускають існування таких спостерігачів, як ми.

Принципово важливо запитати: паралельні всесвіти належать до науки чи до умоглядних побудов і припущень? Паралельні всесвіти — це не самостійна теорія, а радше передбачення певних теорій. Так, теорія має бути спростовною, але це не означає, що ми повинні спостерігати й перевіряти всі її передбачення: достатньо принаймні деяких із них. Загальна теорія відносності, наприклад, успішно передбачила багато явищ, які ми можемо спостерігати, як-от гравітаційне лінзування, і на цій підставі ми маємо право передбачати те, чого не можемо спостерігати, — наприклад, внутрішню структуру чорних дір.

Отже, ось перевірюване передбачення гіпотези математичного всесвіту: якщо ми існуємо в багатьох паралельних всесвітах, то маємо очікувати, що виявимо себе в найтиповішому з них. Припустімо, нам вдалося обчислити розподіл імовірностей певного параметра — скажімо, густини темної енергії чи розмірності простору, — вимірюваного типовим спостерігачем у тій частині мультикосмосу, де цей параметр визначений. Якщо з'ясується, що за цим розподілом значення параметра, виміряне в нашому власному Всесвіті, дуже нетипове, це виключило б такий мультикосмос, а отже, і гіпотезу математичного всесвіту. Хоча ми ще далекі від розуміння умов, потрібних для життя, ми могли б почати перевіряти передбачення мультикосмосу, оцінюючи, наскільки типовий наш Всесвіт щодо темної матерії, темної енергії та нейтрино, адже саме ці складові впливають на наше розуміння процесів формування галактик. Це передбачення проходить першу з таких перевірок: виміряна кількість цих складових виявилася досить типовою для того, що можна було б виміряти у випадковій галактиці в мультикосмосі. Однак точніші обчислення й вимірювання все ще могли б виключити такий мультикосмос.

Зрештою, чому ми маємо вірити гіпотезі математичного всесвіту? Можливо, найсильніше заперечення полягає в тому, що вона суперечить інтуїції й насторожує. Особисто я відкидаю це заперечення на підставі ідеї дарвінівської еволюції. Еволюція забезпечила нас інтуїцією лише щодо тих аспектів фізики, які були важливими для виживання наших далеких предків, — наприклад, параболічних траєкторій каменів, що летять. Отже, теорія Дарвіна дає перевірюване передбачення: щоразу, коли ми виходимо за межі людського масштабу, наша інтуїція має збиватися й переставати працювати, адже вона сформувалася в умовах земного життя людини.

Ми неодноразово перевіряли це передбачення, і результати рішуче його підтримують: наша інтуїція перестає працювати за високих швидкостей, коли час сповільнюється; на малих масштабах, де частинки можуть перебувати у двох місцях одночасно; і за високих температур, коли зіткнення змінюють тип частинок. Для мене зіткнення електрона з позитроном і перетворення на Z-бозон інтуїтивно схоже на те, ніби два автомобілі під час зіткнення перетворилися на теплохід. Річ у тім, що, відкидаючи теорії, які здаються надприродними, ми ризикуємо відкинути правильну теорію всього через її невідповідність нашій інтуїції.

Якщо гіпотеза математичного всесвіту правильна, вона відкриває можливість витонченого об'єднання фізики й математики, яке одного дня дасть нам змогу розуміти реальність настільки глибоко, як нам і не снилося. Справді, я вважаю, що математичний космос із його мультикосмосом — найкраща теорія всього, на яку ми могли б сподіватися, адже згідно з нею жоден аспект реальності не закритий для наших наукових пошуків закономірностей і кількісних передбачень.

Однак це також знову змістило б остаточне запитання про Всесвіт. Ми відкинули б як хибне запитання про те, які саме математичні рівняння описують усю реальність, і натомість запитали б, як обчислити погляд жаби на Всесвіт — наші спостереження — з погляду птаха. Це дало б змогу визначити, чи розкрили ми справжню структуру нашого Всесвіту, і допомогло б зрозуміти, який куточок математичного космосу є нашим домом.

Макс Тегмарк (Max Tegmark)
Кафедра фізики, Массачусетський технологічний інститут,
Кембридж, MA 02139

Лише зареєстровані користувачі можуть залишати коментарі. Увійдіть або зареєструйтеся.