Коли фокусник дістає з абсолютно порожнього капелюха спочатку живого кролика, потім квіти, а під кінець починає витягувати нескінченну блискучу стрічку, розумні діти, звичайно, захоплено аплодують, але знають, що все це — чистісінький обман. Вони чудово розуміють, що з нічого не можна дістати щось. Усі ці кролики, квіти і стрічки вже були десь заздалегідь приховані, а все «диво» — у спритних руках фокусника.
| Пригадується історія людини, якій доручили продавати газовану воду на благодійному базарі. Їй звеліли запитувати: «З яким сиропом Ви бажаєте?» Коли покупець побажав води без сиропу, то наш герой запитав: «Без якого сиропу? Без малинового чи без вишневого?» |
| Я.Б.Зельдович. Теория вакуума, быть может, решает загадку космологии. УФН, 1981, т. 133, вип.3, с.479-503. |
Ну, а тепер погляньмо на справжню виставу, яку дає справжній маг і чарівник — природа. Для початку підготуємо сцену. Приберемо всі ці будинки, ліси й гори. Приберемо Сонце, Землю і всілякі там туманності. Потім візьмемося за молекули, атоми й елементарні частинки, що залишилися. Заодно викинемо поля: електромагнітні, гравітаційні та взагалі всі, які нам трапляться. Ось тепер сцену підготовлено. Те, що залишилося — ну абсолютно порожній капелюх — абсолютний фізичний вакуум. Тепер вихід природи. У руках у неї дві абсолютно нейтральні плоскі металеві пластинки, які раптом ні з того ні з сього починають притягуватися одна до одної. Зважте — це справжній фокус! Ми ж заздалегідь знищили всі поля, зокрема електромагнітні та гравітаційні. Як же тоді ці пластинки примудряються відчувати одна одну на відстані? Звичайно, притягання між пластинками дуже, дуже слабеньке, але ж воно є! Підкреслимо: це — не вигадка, це — експериментально встановлений факт. Це явище має назву ефекту Казимира. Щоб розібратися, у чому суть цього фокуса, зазирнімо за лаштунки й спробуймо «викрити» природу. Для цього треба зробити лише кілька кроків.
Крок перший. Ось проста задача: дано кульку масою m на невагомій пружині жорсткістю k. Питається, за яких значень імпульсу кульки та її координати енергія системи набуває найменшого значення і чому це значення дорівнює? З погляду класичної ньютонівської механіки відповідь очевидна. Якщо V — швидкість, а x — координата кульки, то повна механічна енергія системи має вигляд
| (1.1) |
Задаючи довільні початкові значення для V і x, ми отримуємо рух із певною енергією. Оскільки V і x можна вибирати незалежно й довільно, а вираз для енергії залежить від квадратів цих величин, найменше значення енергії дорівнює нулю. Зрозуміло, що за нульового значення енергії швидкість і координата, як дорівнювали нулю в початковий момент часу, так і залишаться рівними нулю в усі наступні моменти часу згідно із законом збереження енергії. Отже, ми отримали відповідь: стан класичного осцилятора, що відповідає стану з мінімально можливою енергією, — це стан абсолютного спокою. На жаль, спокій нам тільки сниться. У природи свій погляд на розв’язання цієї шкільної задачі. Вона, природа, особливо коли справа доходить до її обожнюваних електрончиків-позитрончиків, різних там атомів і молекул, оголосила нам, що живуть вони не за ньютонівськими законами, а за своїми — квантовими. Квантова механіка стверджує, що жодна система принципово не може перебувати в стані абсолютного спокою, і цей висновок квантової механіки підтверджено експериментально!
Наша простенька задача несподівано ускладнилася. Тепер навіть в основному стані — стані з мінімальною енергією — система просто зобов’язана перебувати в безперервному русі. Наша кулька насправді тремтить (або, як це кажуть «по-науковому», — флуктуює) поблизу положення рівноваги. Звичайно, амплітуда цих коливань дуже й дуже мала. Тільки природа може «побачити» щось такого маленького розміру. Людське око явищ, що відбуваються в такому малому масштабі, не розрізняє. Ось тому й живемо ми спокійно і щасливо в правильному ньютонівському світі, і наш дім жодних «квантових» флуктуацій не зазнає. Стоїть собі, як укопаний, та й стоїть.
Але повернімося до нашої задачі. Зробімо другий крок. Щоправда, як нам його зробити, як нам слід вчинити, щоб знайти мінімальне значення енергії, діючи за правилами квантової механіки? Перше правило квантової механіки говорить: ми не маємо права вибирати значення імпульсу й координати кульки, як нам заманеться. Припустімо, ми звідкись знаємо, за яким законом рухається кулька в стані з мінімальною енергією. (Такий стан у квантовій механіці називають основним станом.) Тоді ми можемо обчислити середньоквадратичне відхилення від положення рівноваги сер.зн. Dx2 і середньоквадратичне значення імпульсу сер.зн. Dp2. Риска означає, що ми усереднюємо ці величини за періодом коливань. Згідно з квантово-механічними уявленнями ці величини пов’язані співвідношенням
| (1.2) |
де (h) — знаменита стала Планка.
Запам’ятайте це співвідношення! Воно відіграє головну роль у спостережуваних хитросплетіннях, які підсовує нам природа замість простих і однозначних класичних побудов. Нерівність (1.2) називається співвідношенням невизначеностей.
Отже, правило номер два: щоб обчислити енергію основного стану, ми маємо використати співвідношення невизначеностей. Виконаємо відповідні обчислення. Оскільки ми досліджуємо малі коливання поблизу положення рівноваги, покладемо сер.зн. Dx2 ~ x2, сер.зн. Dp2 ~ p2. Хоч як це дивно, але вираз для повної механічної енергії природа вирішила залишити без змін. Єдина умова полягає в тому, що в цьому виразі імпульс і координата завжди мають бути пов’язані співвідношенням невизначеностей. Якщо вважати, що p2·x2 ~ (h)2/4, то повна енергія є функцією лише однієї змінної. Справді, з урахуванням рівності (1.1) отримуємо
| (1.3) |
Енергія основного стану дорівнює найменшому значенню функції E = E(x). Щоб знайти це значення, застосуємо нерівність між середнім арифметичним і середнім геометричним двох додатних чисел. Маємо
|
причому рівність досягається, коли
|
звідки
|
Таким чином, отримуємо
|
де w = (k/m)1/2.
Звичайно, точне розв’язання задачі про енергію основного стану осцилятора значно складніше і виходить за межі шкільної математики. Цікаве інше: отриманий нами результат збігається з точним! До речі, це не такий уже й рідкісний випадок у фізиці, коли прості оцінки приводять до правильної відповіді.
Попри простоту цього результату й надзвичайну легкість, з якою ми його отримали, його, по-доброму, варто було б вставити в рамочку і повісити на стіну поруч із рівнянням Ейнштейна E = mс2. Адже він докорінно змінює наші уявлення про те, що це таке, коли нічого немає.
До речі, а про що це ми? Навіщо ми раптом почали розв’язувати задачу про осцилятор, якщо на початку так довго і красиво говорили про абсолютний вакуум? Ні, недарма ми проводили ці обчислення. Пригадайте: вакуум — це повна відсутність будь-чого. Саме з таким розрахунком ми готували сцену для демонстрації ефекту Казимира. Ми ретельно прибирали частинки та поля, тобто зменшували енергію Всесвіту. Справді, була частинка, була ейнштейнівська енергія mc2, не стало частинки — повна енергія системи зменшилася на цю величину. Було електромагнітне поле (тобто існувала нерозривна парочка: електрична E плюс магнітна B складові) — була енергія
|
(тут e0 і m0 — електрична та магнітна сталі, E — напруженість електричного, а B — індукція магнітного поля). Не стало електромагнітного поля, отже, знову зменшилася повна енергія нашої сцени — Всесвіту. Підготовлений до виступу наш майданчик, вакуум, — це, по суті й за визначенням, стан із мінімально можливою енергією. У нашій задачі про осцилятор основний стан і є цим «осциляторним» вакуумом. Щоправда, дивна вийшла в нас відповідь. Хотіли отримати порожнечу, відсутність будь-чого, а отримали якесь незнищенне тремтіння. Мотивуючи тим, що вона живе за своїми квантовими законами і Ньютон їй не указ, природа приховала в рукаві енергію (h)w/2, а отже, її «осциляторний» капелюх аж ніяк не порожній. Щось там увесь час коливається, змінюється, живе, хоча ми, глядачі, цього не бачимо. Річ у тім, що згідно з тими самими квантовомеханічними правилами гри ми можемо «бачити», тобто спостерігати тільки середнє значення будь-якої величини. У виявленого нами тремтіння або, як його інакше називають, нульового коливання, середні значення як імпульсу, так і координати дорівнюють нулю. Крок праворуч, крок ліворуч, а в результаті залишився посередині. Загалом нічого не видно, а щось там ворушиться.
Раз природа одного разу оступилася і зшахраювала, вірити їй не доводиться. От дозволили ми їй погратися з електромагнітним полем, а потім спробували відібрати в неї цю іграшку, тобто захотіли отримати стан із мінімальною енергією. Ну, напевно вона і тут щось приховала! Питання тільки в тому, скільки? Виявляється, відповідь міститься у вже розв’язаній нами задачі про кульку на пружинці.
Ми знаємо зі школи, що якщо система здійснює гармонічні коливання, то її енергія має саме той вигляд, який ми виписали вище для енергії кульки. Треба тільки пам’ятати, що «координата» тепер — це змінна, яка описує відхилення від положення рівноваги. Наприклад, для математичного маятника замість x треба поставити в наш вираз кут відхилення від вертикалі q, а замість швидкості — Dq/Dt. Для коливального контуру замість x треба підставити заряд Q, а замість швидкості — струм j. Зрозуміло, залежно від ситуації зміниться і зміст сталих k, m.
У випадку електромагнітного поля можна міркувати й інакше: аналогом енергії кульки є енергія електромагнітної хвилі
|
У задачі про кульку, якщо імпульс більший, то координата менша, так вони й коливаються зі зсувом. Те саме відбувається в електромагнітній хвилі: більша магнітна складова — менша електрична, так вони й перетікають одна в одну. Це дуже схоже на кульку на пружинці, і можна було б відразу замість x і p писати E і B. Частота w таких коливань пов’язана з довжиною електромагнітної хвилі l добре відомим співвідношенням
|
Таких елементарних осциляторів у природи видимо-невидимо, оскільки довжини хвиль, дозволених до існування, нічим не обмежені. Вони можуть бути й кілометровими (радіохвилі), а можуть бути й набагато довшими. Є в наборі й зовсім короткі, порядку міжвузлової відстані в кристалічній ґратці (рентгенівські промені), а є й набагато, набагато коротші. Від кожної електромагнітної хвилі, тобто від кожного осцилятора зі своєю частотою коливань w, природа, як ми вже переконалися, приховала енергію (h)w/2. При цьому накопичила вона чимало. Сумарна енергія, що залишилася після «зачистки», коли спостережуваних і відчутних на дотик полів начебто не стало, виражається сумою
|
причому підсумовування потрібно виконати за всіма довжинами хвиль. Можна переконатися, що ця сума дорівнює нескінченності!
Оце енергетичний запас так запас! Що порівняно з цим якась там дрібниця, що дорівнює енергії, запасеній у нафті в Каспійському морі чи Арабських Еміратах. Та й ядерній і термоядерній енергії з цим запасом не змагатися. Нескінченність — вона і є нескінченність. Якщо ви думаєте, що це все, то глибоко помиляєтеся. З квантового погляду будь-яка частинка одночасно є хвилею. Раз так, то з кожною частинкою пов’язане своє поле, свої коливання, і від кожного можна ще приховати енергію, що дорівнює (h)w/2. Це вже виходить не капелюх, а якийсь гігантський казан, у якому киплять, тремтять, виникають і знову зникають усі до єдиної елементарні частинки (навіть ті, про які ми ще нічого не знаємо), а ми тут із вами самі лише фотони обговорювали. У принципі, ці частинки можна навіть витягти з цього казана на світ Божий і зробити «реальними», тобто спостережуваними.
Порушити їхнє вакуумне небуття можна, використовуючи прогресивний метод Балди з навчання чортів у озері уму-розуму. Треба просто гарненько гепнути по цьому капелюху (науковою мовою це звучить — надати системі достатню кількість енергії) — і посиплються частинки, як із рогу достатку. Для пояснення ефекту Казимира нам треба зробити останній, дуже маленький крок. Треба тільки пригадати, що таке резонатор. Загалом, це той самий пристрій, який відгукується не на всі хвилі, а тільки на ті, що мають відповідну, потрібну довжину. Внісши у вакуум металеві пластинки, природа створила резонатор. Тепер вакуум сколотився (знову ефект Балди!). Дуже незатишно почувалися ті нульові коливання електромагнітних хвиль, у яких у проміжок між пластинами не вкладається ціле число півхвиль. Причина в тому, що, як ви знаєте зі шкільного курсу фізики, електромагнітне поле в метал не проникає. Отже, хвилі, у яких вузол не потрапляє на пластинку, звідти виганяються. Тепер енергія вакууму змінилася. Підсумовуються тільки ті половинки, у яких l = a/n, де n — довільне ціле число, a — відстань між пластинами.
Отже, повна енергія вакууму з пластинами тепер дорівнює
|
На жаль, ця сума теж дорівнює нескінченності. Ми хотіли б знайти приріст енергії
|
Зрозуміло, з буденного погляду віднімати від нескінченності нескінченність — цілком абсурдна задача. Однак у чому фізики набили руку, то це в умінні виконувати арифметичні операції з нескінченностями. Для фізика-теоретика, навіть початківця, відняти від нескінченності нескінченність і при цьому отримати скінченне число (причому спостережуване, експериментально перевірюване) — раз плюнути. Відповідь у нашій задачі має вигляд
|
Метод отримання цього результату, хоч і схожий на фокус, напрочуд простий. Щоб надати сенсу формальному маніпулюванню з нескінченностями, треба спочатку зробити суми скінченними. Припустімо, що дуже коротких хвиль не буває, тобто у сумі за l ми обмежимося лише l > l0. Відповідно в сумі за n доведеться обмежитися n < a/l0. Тепер обчислимо різницю. Вона стане функцією обрізання l0. Якщо брати дедалі менші значення l0 і побудувати графік цієї функції, то виявиться, що вона прямує до скінченної границі при l0® 0. Така процедура, що має назву перенормування або регуляризації, і приводить до згаданого вище результату.
Отриманий результат — це результат «одновимірної» електродинаміки. Наші хвилі могли поширюватися лише в одному напрямку — перпендикулярно до пластинок. Насправді, хоча пластинки й плоскі, задача тривимірна. Електромагнітні хвилі (навіть у вигляді нульових коливань) можуть поширюватися в трьох напрямках. Суті справи це не змінює, потрібна лише невелика модифікація наших розрахунків.
Остаточна відповідь для тривимірної задачі має такий вигляд:
|
де S — площа пластинки.
Що ж тепер робити з цим виразом? Ну, по-перше, очевидно, що при зближенні пластинок (зменшенні a), DE зменшується (знак мінус!). Отже, що ближче пластинки, то енергетично вигідніше. Пригадайте дев’ятий клас: потенціальна енергія U каменя в полі сили тяжіння на висоті x дорівнює mgx. Опустіть камінь, і його енергія зменшиться. Але ви ж знаєте, що Земля притягує камінь! Отже, зменшення потенціальної енергії при зближенні тіл свідчить про їхнє взаємне притягання. А як цю силу отримати з енергії? Дуже просто. Для нашої «кам’яної» задачі складемо різницю
|
Сила mg якраз і дорівнює DU/Dx. У загальному випадку енергія залежно від відстані може змінюватися за законом, набагато складнішим, ніж лінійний. Тоді силу знаходять за допомогою похідної:
|
Знак мінус з’явився через те, що сила — векторна величина, а за цим правилом ми знаходимо проєкцію сили на вісь абсцис. У «кам’яній» задачі за цією формулою ми отримали б -mg, тобто як і треба — сила напрямлена вниз, до Землі.
Використовуючи цю процедуру, легко знайти силу, з якою притягуються пластинки:
|
Таке притягання справді було виявлено експериментально. Ось хто вміє показувати фокуси, то це експериментатори! Вони примудрилися очистити свою сцену від усіх взаємодій і відчути ефекти, пов’язані з абсолютним вакуумом, що саме по собі видається дивом. Для S = 1 см2, a = 0,5 мкм сила притягання становила 2·10-6 Н, що непогано узгоджується з наведеною теоретичною формулою.
Зверніть увагу: у вираз для сили взагалі не входить константа електромагнітної взаємодії (відсутнє e — заряд електрона), і це попри те, що ми говорили про метал і про електромагнітне поле, яке з ним взаємодіє. Саме цей факт дає змогу поглянути на ефект Казимира як на ефект поляризації вакууму завдяки граничним умовам (пластинкам). Тут існує повна аналогія з поляризацією діелектрика в зовнішньому електричному полі. Можна навіть описати це явище, ввівши діелектричну проникність вакууму e. Не плутайте тільки її з e0, яку вставляють у всі електричні закони в системі СІ і яка виникла лише через нашу плутанину у визначенні одиниці заряду. Наша вакуумна e — справжня фізична характеристика, що описує відгук вакууму на зовнішні впливи.
Ось тепер ми підійшли до кінця. Як і слід було очікувати, природа — той самий фокусник-ошуканець. Ми ще раз переконалися в слушності життєвої мудрості: якщо нічого немає, то вже нічого й немає. Наше завдання, однак, полягало не в тому, щоб спіймати природу за руку, а в тому, щоб розібратися, як усе це влаштовано. Як і завжди, вивчаючи природні явища, ми ставимо запитання: а чи не можна з цього знання мати користь? Чи не можна це якось використати? Адже енергія, хоч би де вона була запасена, — енергія і просто зобов’язана виконувати роботу. Якщо ми навчилися видобувати енергію, запасену не лише в нафті, а й в атомному ядрі, то чому б не спробувати черпати її з бездонних вакуумних колодязів. Справді, такі експерименти проводяться. Ви, звичайно, розумієте, що в цьому разі йдеться не про створення практичних пристроїв на кшталт печі чи реактора, а про дослідження принципової можливості використання цієї енергії.
Глибоко помиляється той, хто вважає, що властивості вакууму вичерпуються ефектами, подібними до описаного. Нескінченний і всюдисущий вакуум постійно втручається в явища як у мікросвіті, так і у справи Всесвіту. У мікросвіті спостережувані частинки просто змушені жити в цьому киплячому казані нульових коливань. Ми вже обговорювали той факт, що в принципі в цьому вакуумному небутті можна відшукати всі елементарні частинки і до того ж у необмеженій кількості. Якщо в певної частинки є античастинка (в електрона — це позитрон), то їхнє вакуумне життя проходить спільно. Нульові коливання для них полягають у тому, що пара частинка-античастинка виникає, а потім частинка з античастинкою взаємно знищуються — анігілюють. Так і виходить, що начебто вони є, а начебто їх і немає. Частинки, які перебувають у такому стані, називаються віртуальними.
Тепер уявіть: летить собі наша спостережувана реальна частинка (нехай це буде електрон), а поряд — бульк-бульк — віртуальні пари то виникнуть, то зникнуть. Часто трапляється, що природа плутає віртуальні частинки з реальними — адже частинки всі тотожні й один електрон від іншого не відрізниш. Отже, виникла поблизу вашого електрона віртуальна парочка, та тільки античастинка переплутала свого віртуального партнера й анігілювала з реальною частинкою. Самі розумієте, що віртуальному електрону нічого іншого не залишається, як узяти на себе роль реальної частинки. У результаті на наших очах коється щось неймовірне: була реальна частинка в одному місці й раптом опинилася в іншому. Просто якась телепортація. Таке «тремтіння» орбіти електрона в атомі було теоретично передбачено й експериментально перевірено (лембівський зсув). Та що це ми про різні атомні дрібниці говоримо, коли нескінченна енергія, запасена у вакуумі, дає йому змогу конкурувати з космологічними числами. Цілком імовірно, і такі гіпотези висловлювалися, що саме вакуум визначив і визначає еволюцію Всесвіту. Тільки використання вакууму з його незвичайними властивостями здатне, мабуть, приборкати чорні діри й не дати їм стиснутися до нефізичної математичної точки. Тож у вакууму справ більш ніж досить і, отже, (цитуючи Я. Б. Зельдовича) можна стверджувати, що «для теоретиків, які займаються астрономічними проблемами, немає загрози безробіття».
Казимир Хендрік — нідерландський фізик, член Нідерландської академії наук (1964), президент АН (1973).
Працював у Бора в Копенгагені та в Цюриху у Паулі. Праці в галузі квантової механіки, ядерної фізики, фізики низьких температур, надпровідності, термодинаміки, магнетизму, прикладної математики.
У 1934 році спільно з К. Гортером розробив феноменологічну теорію надпровідності (модель Казимира — Гортера). У 1936 році побудував квантову теорію взаємодії ядра з електричними та магнітними полями в атомах і молекулах. У 1942 році розвинув докладну теорію магнітних октупольних взаємодій. Спільно з Дю Пре ввів у 1938 році поняття спінової температури, виділивши спінові ступені свободи в окрему термодинамічну підсистему.
1. В.В.Мостепаненко, Н.Н.Трунов. Эффект Казимира и его приложения. Москва, Энергоиздат, 1990.
3. С.Хокинг. От большого взрыва до черных дыр: краткая история времени. М., Мир, 1990.
Є. Л. Румянцев
Лише зареєстровані користувачі можуть залишати коментарі. Увійдіть або зареєструйтеся.
Коментарі (3):
Спасибо за статью. Легко читается и все понятно.
Хорошая статья, полезная.
В ней затронута актуальная тема физического вауума. Очень похоже, что "... именно вакуум определил и определяет эволюцию Вселенной." С такой точкой зрения можно согласиться. Но непонятно следующее. При аннигиляции реального электрона и реального позитрона возникают два реальных фотона. А куда девается энергия возникающих в физическом вакууме и затем аннигилирующих виртуальных пар частица-античастица? Реальных-то фотонов при аннигиляции виртуальных пар не возникает!
К Boris от 7 September, 12:20
Вначале необходимо задать вопрос откуда она берется?
Поскольку в 2 словах это нескажешь, а много писать было лень, немного погуглив, сразу натыкаемся на нормальное определение.Виртуальные частицы – короткоживущие ненаблюдаемые частицы, возникающие в вакууме и при столкновениях или распадах частиц . При столкновениях и распадах частиц виртуальные частицы играют роль переносчиков взаимодействий. Взаимодействия и взаимные превращения частиц в квантовой теории описываются как рождение или поглощение свободной частицей виртуальных частиц. Так, например, электрон рождает и поглощает виртуальные фотоны.
Два простейших процесса с участием виртуальных частиц показаны на рисунке. Виртуальными частицами слева являются электрон, позитрон и фотон. Они одновременно рождаются в вакууме в левом узле и затем исчезают в правом. Рисунок справа иллюстрирует взаимодействие двух реальных электронов посредством обмена виртуальным фотоном, играющим роль переносчика электромагнитного взаимодействия.
Появление любой виртуальной частицы нарушает закон сохранения энергии на некую величину $\Delta E,$ однако, такие нарушения допускаются квантовой механикой в течение интервалов времени $\Delta t,$ разрешённых соотношением неопределённостей $\Delta E \Delta t \geq \hbar,~ (\hbar = \frac{h}{2\pi}, h-$ постоянная Планка). В течение интервалов времени $\Delta t \leq \frac{\hbar}{\Delta E},$ эти нарушения принципиально ненаблюдаемы, как ненаблюдаемы и сами промежуточные частицы, называемые, поэтому, виртуальными. В момент исчезновения (поглощения) виртуальной частицы баланс энергий восстанавливается.
Для виртуальной частицы не выполняется соотношение специальной теории относительности между полной энергией $E$, импульсом $\vec p$ и массой $m:$ $$E^2=p^2c^2+m^2c^4.$$ Так, виртуальный фотон может иметь нулевой импульс, т.е. покоиться, что исключено для наблюдаемого фотона. На испускании и поглощении виртуальных частиц основаны практически все физические процессы происходящие при высоких энергиях и на масштабах расстояний $\leq 10^{-8}$ см.