У 1904 р. Анрі Пуанкаре припустив, що будь-який тривимірний об’єкт, який має певні властивості тривимірної сфери, можна перетворити на 3-сферу. На доведення цієї гіпотези пішло 99 років. (Увага! Тривимірна сфера — це не те, про що ви подумали.) Російський математик довів висловлену сто років тому гіпотезу Пуанкаре і завершив створення каталогу форм тривимірних просторів. Можливо, він отримає премію в $1 млн.
Озирніться навколо. Предмети, що вас оточують, як і ви самі, є сукупністю частинок, які переміщуються в тривимірному просторі (3-многовиді), що простягається в усіх напрямках на багато мільярдів світлових років.
Многовиди — це математичні побудови. З часів Галілея і Кеплера вчені успішно описують дійсність у термінах тієї чи іншої галузі математики. Фізики вважають, що все на світі відбувається в тривимірному просторі й положення будь-якої частинки можна задати трьома числами, наприклад, широтою, довготою і висотою (залишимо поки що осторонь висловлене в теорії струн припущення про те, що, крім трьох спостережуваних нами вимірів, існує ще кілька додаткових).
Згідно з класичною і традиційною квантовою фізикою, простір фіксований і незмінний. Водночас загальна теорія відносності розглядає його як активного учасника подій: відстань між двома точками залежить від гравітаційних хвиль, що проходять крізь нього, і від того, скільки речовини та енергії розташовано поблизу. Але і в ньютонівській, і в ейнштейнівській фізиці простір — нескінченний або скінченний — у будь-якому разі є 3-многовидом. Тому для повного розуміння засад, на які спирається майже вся сучасна наука, необхідно розібратися у властивостях 3-многовидів (не менший інтерес викликають 4-многовиди, оскільки простір і час разом утворюють один із них).
Розділ математики, у якому вивчають многовиди, називається топологією. Топологи насамперед поставили фундаментальні запитання: який тип 3-многовиду є найпростішим (тобто характеризується найменш складною структурою)? Чи має він таких самих простих побратимів, чи він унікальний? Які взагалі бувають 3-многовиди?
Відповідь на перше запитання відома давно: найпростішим компактним 3-многовидом є простір, який називають 3-сферою (Некомпактні многовиди нескінченні або мають краї. Далі розглядаються лише компактні многовиди). Два інші запитання залишалися відкритими протягом століття. Лише у 2002 р. на них відповів російський математик Григорій Перельман, який, судячи з усього, зумів довести гіпотезу Пуанкаре.
Рівно сто років тому французький математик Анрі Пуанкаре припустив, що 3-сфера унікальна і жоден інший компактний 3-многовид не має тих властивостей, які роблять її такою простою. Складніші 3-многовиди мають межі, що постають наче цегляна стіна, або множинні зв’язки між деякими ділянками, схожі на лісову стежку, яка то розгалужується, то знову з’єднується. Будь-який тривимірний об’єкт із властивостями 3-сфери можна перетворити на неї саму, тому для топологів він є просто її копією. Доведення Перельмана також дає змогу відповісти на третє запитання і провести класифікацію всіх наявних 3-многовидів.
Вам знадобиться неабияка уява, щоб уявити собі 3-сферу (див. БАГАТОВИМІРНА МУЗИКА СФЕР). На щастя, вона має багато спільного з 2-сферою, типовий приклад якої — гума круглої повітряної кульки: вона двовимірна, оскільки будь-яка точка на ній задається лише двома координатами — широтою і довготою. Якщо розглянути достатньо малу її ділянку під потужною лупою, то вона видасться шматочком плоского аркуша. Крихітній комасі, яка повзає по повітряній кульці, вона здаватиметься плоскою поверхнею. Але якщо комашка достатньо довго рухатиметься по прямій, то зрештою повернеться до точки відправлення. Так само 3-сферу розміром із наш Всесвіт ми сприймали б як «звичайний» тривимірний простір. Пролетівши достатньо далеко в будь-якому напрямку, ми зрештою здійснили б нею «навколосвітню подорож» і опинилися б у вихідній точці.
Як ви вже здогадалися, n-вимірна сфера називається n-сферою. Наприклад, 1-сфера всім знайома: це просто коло.
Григорій Перельман викладає своє доведення гіпотези Пуанкаре і завершення програми Терстона з геометризації на семінарі в Принстонському університеті у квітні 2003 р.
Перевірка гіпотез
Минуло пів століття, перш ніж справа з гіпотезою Пуанкаре зрушила з мертвої точки. У 60-х рр. XX ст. математики довели аналогічні їй твердження для сфер п’яти і більше вимірів. У кожному разі n-сфера справді є єдиним і найпростішим n-многовидом. Хоч як дивно, отримати результат для багатовимірних сфер виявилося легше, ніж для 3- і 4-сфери. Доведення для чотирьох вимірів з’явилося у 1982 р. І лише вихідна гіпотеза Пуанкаре про 3-сферу залишалася непідтвердженою.
Вирішальний крок було зроблено в листопаді 2002 р., коли Григорій Перельман, математик із Санкт-Петербурзького відділення математичного інституту ім. Стеклова, надіслав статтю на сайт www.arxiv.org, де фізики й математики з усього світу обговорюють результати своєї наукової діяльності. Топологи відразу помітили зв’язок роботи російського вченого з гіпотезою Пуанкаре, хоча автор прямо її не згадав. У березні 2003 р. Перельман опублікував другу статтю і навесні того самого року відвідав США та провів кілька семінарів у Массачусетському технологічному інституті та в Університеті штату Нью-Йорк у Стоуні-Брук. Кілька груп математиків у провідних інститутах відразу взялися за детальне вивчення представлених робіт і пошук помилок.
ОГЛЯД: ДОВЕДЕННЯ ГІПОТЕЗИ ПУАНКАРЕ
- Ціле століття математики намагалися довести припущення Анрі Пуанкаре про виняткову простоту й унікальність 3-сфери серед усіх тривимірних об’єктів.
- Обґрунтування гіпотези Пуанкаре нарешті з’явилося в роботі молодого російського математика Григорія Перельмана. Він також завершив широку програму класифікації тривимірних многовидів.
- Можливо, наш Всесвіт має форму 3-сфери. Існують й інші інтригуючі зв’язки математики з фізикою елементарних частинок і загальною теорією відносності.
У Стоуні-Брук за два тижні Перельман прочитав кілька лекцій, виступаючи від трьох до шести годин на день. Він дуже чітко виклав матеріал і відповів на всі запитання, що виникли. До отримання остаточного результату залишився ще один незначний крок, але немає жодних сумнівів у тому, що його ось-ось буде зроблено. Перша стаття знайомить читача з основоположними ідеями і вважається повністю перевіреною. У другій статті висвітлюються прикладні питання й технічні нюанси; вона поки що не викликає такої самої цілковитої довіри, як її попередниця.
У 2000 р. Інститут математики ім. Клея в Кембриджі, штат Массачусетс, заснував премію в розмірі $1 млн за доведення кожної із семи «Проблем тисячоліття», однією з яких вважається гіпотеза Пуанкаре. Перш ніж науковець зможе претендувати на приз, його доказ має бути опублікований і протягом двох років ретельно перевірений.
Робота Перельмана розширює та завершує програму досліджень, які в 90-х рр. минулого століття проводив Річард Гамільтон (Richard S. Hamilton) із Колумбійського університету. Наприкінці 2003 р. праці американського математика відзначили премією Інституту Клея. Перельману вдалося блискуче подолати низку перешкод, із якими Гамільтон не зміг упоратися.
Насправді доказ Перельмана, правильність якого ще нікому не вдалося поставити під сумнів, розв’язує значно ширше коло питань, ніж власне гіпотеза Пуанкаре. Запропонована Вільямом Терстоном (William P. Thurston) із Корнелльського університету процедура геометризації дає змогу провести повну класифікацію 3-многовидів, в основу якої покладено 3-сферу, унікальну у своїй величній простоті. Якби гіпотеза Пуанкаре була хибною, тобто існувало б багато просторів, таких самих простих, як сфера, то класифікація 3-многовидів перетворилася б на щось нескінченно складніше. Завдяки Перельману й Терстону ми отримали повний каталог усіх допустимих математикою форм тривимірного простору, яких міг би набути наш Всесвіт (якщо розглядати лише простір без часу).
Гумові бублики
Щоб глибше зрозуміти гіпотезу Пуанкаре та доказ Перельмана, слід ближче познайомитися з топологією. У цьому розділі математики форма об’єкта не має значення — ніби він зроблений із тіста, яке можна як завгодно розтягувати, стискати й вигинати. Навіщо ж замислюватися про речі чи простори з уявного тіста? Річ у тім, що точна форма об’єкта — відстані між усіма його точками — належить до структурного рівня, який називають геометрією. Розглядаючи об’єкт із тіста, топологи виявляють його фундаментальні властивості, незалежні від геометричної структури. Вивчення топології схоже на пошук найзагальніших рис, притаманних людям, через розгляд «пластилінової людини», яку можна перетворити на будь-яку конкретну особу.
У популярній літературі часто трапляється затерте твердження, що з погляду топології чашка нічим не відрізняється від бублика. Річ у тім, що чашку з тіста можна перетворити на бублик, просто зминаючи матеріал, тобто нічого не зліплюючи й не роблячи отворів (див. ТОПОЛОГІЯ ПОВЕРХОНЬ). Натомість, щоб зробити бублик із кулі, у ній неодмінно потрібно зробити отвір або розкачати її в циліндр і зліпити кінці, тому куля — зовсім не бублик.
Топологів найбільше цікавлять поверхні кулі та бублика. Тому замість суцільних тіл слід уявляти повітряні кульки. Їхня топологія залишається різною, оскільки сферичну повітряну кульку неможливо перетворити на кільцеподібну, яку називають тором. Спочатку науковці вирішили з’ясувати, скільки взагалі існує об’єктів із різною топологією та як їх можна охарактеризувати. Для 2-многовидів, які ми звикли називати поверхнями, відповідь витончена й проста: усе визначається кількістю «дірок», або, що те саме, кількістю ручок (див. ТОПОЛОГІЯ ПОВЕРХОНЬ). Наприкінці XIX ст. математики зрозуміли, як класифікувати поверхні, та встановили, що найпростіша з них — сфера. Природно, топологи почали замислюватися про тривимірні многовиди: чи унікальна 3-сфера у своїй простоті? Столітня історія пошуку відповіді сповнена неправильних кроків і хибних доказів.
Анрі Пуанкаре серйозно зайнявся цим питанням. Він був одним із двох найсильніших математиків початку XX ст. (другим був Давид Гільберт). Його називали останнім універсалом: він успішно працював у всіх розділах і чистої, і прикладної математики. Крім того, Пуанкаре зробив величезний внесок у розвиток небесної механіки, теорії електромагнетизму та філософії науки, про яку написав кілька популярних книжок.
Пуанкаре став засновником алгебричної топології та, використовуючи її методи, у 1900 р. сформулював топологічну характеристику об’єкта, названу гомотопією. Щоб визначити гомотопію многовиду, потрібно подумки помістити в нього замкнену петлю (див. ТОПОЛОГІЯ ПОВЕРХОНЬ). Потім слід з’ясувати, чи завжди можна стягнути петлю в точку, переміщуючи її всередині многовиду. Для тора відповідь буде негативною: якщо розташувати петлю вздовж кола тора, стягнути її в точку не вдасться, бо заважатиме «дірка» бублика. Гомотопія — це кількість різних шляхів, які можуть перешкоджати стягуванню петлі.
БАГАТОВИМІРНА МУЗИКА СФЕР
Не так просто уявити собі 3-сферу. Математикам, які доводять теореми про багатовимірні простори, не доводиться уявляти об’єкт дослідження: вони оперують абстрактними властивостями, керуючись інтуїтивними уявленнями, заснованими на аналогіях із меншою кількістю вимірів (до таких аналогій потрібно ставитися обережно й не сприймати їх буквально). Ми також розглядатимемо 3-сферу, виходячи з властивостей об’єктів із меншою кількістю вимірів.
1. Почнімо з розгляду круга та кола, яке його обмежує. Для математиків круг — це двовимірна куля, а коло — одновимірна сфера. Далі, куля будь-якої вимірності — це заповнений об’єкт, схожий на кавун, а сфера — його поверхня, більше схожа на повітряну кульку. Коло одновимірне, оскільки положення точки на ньому можна задати одним числом.
2. Із двох кругів можна побудувати двовимірну сферу, перетворивши один із них на Північну півкулю, а другий — на Південну. Залишилося склеїти їх — і 2-сфера готова.
3. Уявімо мураху, що повзе з Північного полюса вздовж великого кола, утвореного нульовим і 180-м меридіанами (ліворуч). Якщо відобразити її шлях на два початкові круги (праворуч), побачимо, що комаха рухається прямою лінією (1) до краю північного круга (а), потім перетинає межу, потрапляє у відповідну точку південного круга й продовжує рух прямою лінією (2 і 3). Потім мураха знову досягає краю (b), переходить його й знову опиняється на північному крузі, прямуючи до початкової точки — Північного полюса (4). Зауважте, що під час навколосвітньої подорожі по 2-сфері напрямок руху змінюється на протилежний у разі переходу з одного круга на інший.
4. Тепер розгляньмо нашу 2-сферу та об’єм усередині неї (тривимірну кулю) і зробімо з ними те саме, що з колом і кругом: візьмемо дві копії кулі та склеїмо їхні межі. Наочно показати, як кулі деформуються в чотирьох вимірах і перетворюються на аналоги півкуль, неможливо, та й не потрібно. Досить знати, що відповідні точки поверхонь, тобто 2-сфер, з’єднані між собою так само, як у випадку кіл. Результат з’єднання двох куль — 3-сфера, поверхня чотиривимірної кулі. (У чотирьох вимірах, де існують 3-сфера та 4-куля, поверхня об’єкта тривимірна.) Назвімо одну кулю північною півкулею, а другу — південною. За аналогією з кругами, полюси тепер розташовані в центрах куль.
5. Уявіть, що розглянуті кулі — великі порожні області простору. Припустімо, з Північного полюса вирушає космонавт на ракеті. Згодом він досягає екватора (1), яким тепер є сфера, що оточує північну кулю. Перетинаючи її, ракета потрапляє до південної півкулі й рухається прямою лінією через її центр — Південний полюс — до протилежного боку екватора (2 і 3). Там знову відбувається перехід до північної півкулі, і мандрівник повертається на Північний полюс, тобто до початкової точки (4). Такий сценарій навколосвітньої подорожі поверхнею 4-вимірної кулі! Розглянута тривимірна сфера і є простором, про який ідеться в гіпотезі Пуанкаре. Можливо, наш Всесвіт — саме 3-сфера.
Міркування можна поширити на п’ять вимірів і побудувати 4-сферу, але уявити це надзвичайно складно. Якщо склеїти дві n-кулі за навколишніми (n–1)-сферами, вийде n-сфера, що обмежує (n+1)-кулю.
На n-сфері будь-яку, навіть хитромудро закручену петлю завжди можна розплутати й стягнути в точку. (Петлі дозволено проходити крізь саму себе.) Пуанкаре припускав, що 3-сфера — єдиний 3-многовид, на якому будь-яку петлю можна стягнути в точку. На жаль, він так і не зміг довести свого припущення, яке згодом назвали гіпотезою Пуанкаре. За минулі сто років багато хто пропонував власний доказ, але лише для того, щоб переконатися в його хибності. (Для простоти викладу я нехтую двома особливими випадками: так званими неорієнтовними многовидами та многовидами з краєм. Наприклад, сфера з вирізаним сегментом має край, а стрічка Мебіуса не лише має край, а й є неорієнтовною.)
Геометризація
Виконаний Перельманом аналіз 3-многовидів тісно пов’язаний із процедурою геометризації. Геометрія має справу з фактичною формою об’єктів і многовидів, виготовлених уже не з тіста, а з кераміки. Наприклад, чашка та бублик геометрично різні, оскільки їхні поверхні вигнуті по-різному. Кажуть, що чашка й бублик — два приклади топологічного тора, якому надано різних геометричних форм.
Щоб зрозуміти, навіщо Перельман використав геометризацію, розгляньмо класифікацію 2-многовидів. Кожній топологічній поверхні поставлено у відповідність унікальну геометрію, кривина якої рівномірно розподілена по многовиду. Наприклад, для сфери це ідеально сферична поверхня. Інша можлива геометрія топологічної сфери — яйце, але його кривина не всюди однакова: гострий кінець вигнутий сильніше за тупий.
2-многовиди утворюють три геометричні типи (див. ГЕОМЕТРИЗАЦІЯ). Сфера характеризується додатною кривиною. Геометризований тор плоский, йому властива нульова кривина. Усі інші 2-многовиди з двома чи більшою кількістю «дірок» мають від’ємну кривину. Їм відповідає поверхня, схожа на сідло, яке спереду й ззаду вигинається вгору, а ліворуч і праворуч — униз. Таку геометричну класифікацію (геометризацію) 2-многовидів Пуанкаре розробив разом із Паулем Кебе (Paul Koebe) та Феліксом Кляйном (Felix Klein), чиє ім’я носить пляшка Кляйна.
Виникає природне бажання застосувати подібний метод до 3-многовидів. Чи можна для кожного з них знайти таку унікальну конфігурацію, кривина якої була б рівномірно розподілена по всьому многовиду?
Виявилося, що 3-многовиди значно складніші за своїх двовимірних родичів, і більшості з них не можна поставити у відповідність однорідну геометрію. Їх потрібно розділяти на частини, яким відповідає одна з восьми канонічних геометрій. Ця процедура нагадує розкладання числа на прості множники.
ТОПОЛОГІЯ ПОВЕРХОНЬ
У ТОПОЛОГІЇ точна форма, тобто геометрія, не має значення: об’єкти розглядають так, ніби їх зроблено з тіста й можна розтягувати, стискати та перекручувати. Однак нічого не можна розрізати чи склеювати. Тому будь-який об’єкт з одним отвором, наприклад кавова чашка (ліворуч), еквівалентний бублику, або тору (праворуч).
БУДЬ-ЯКИЙ ДВОВИМІРНИЙ многовид, або поверхню (якщо обмежитися компактними орієнтовними об’єктами), можна отримати, додаючи до сфери (a) ручки. Приєднаємо одну — отримаємо поверхню 1-го роду, тобто тор, або бублик (угорі праворуч); додамо другу — отримаємо поверхню 2-го роду (b) і так далі.
УНІКАЛЬНІСТЬ 2-сфери серед поверхонь полягає в тому, що будь-яку вкладену в неї замкнену петлю можна стягнути в точку (a). На торі цьому може завадити центральний отвір (b). Будь-яка поверхня, крім 2-сфери, має ручки, які перешкоджають стягуванню петлі. Пуанкаре припустив, що 3-сфера унікальна серед тривимірних многовидів: лише на ній будь-яку петлю можна стягнути в точку.
Таку процедуру класифікації вперше запропонував Терстон наприкінці 70-х рр. минулого століття. Разом із колегами він обґрунтував більшу її частину, але доведення деяких ключових моментів (зокрема гіпотези Пуанкаре) виявилося їм не під силу. Чи унікальна 3-сфера? Достовірна відповідь на це запитання вперше з’явилася у статтях Перельмана.
Як же можна геометризувати многовид і зробити його кривину всюди однаковою? Потрібно взяти певну довільну геометрію з різними виступами й заглибленнями, а потім згладити всі нерівності. На початку 90-х рр. XX ст. аналізом 3-многовидів зайнявся Гамільтон, який скористався рівнянням потоку Річчі, названим на честь математика Грегоріо Річчі-Курбастро (Gregorio Ricci-Curbastro). Воно дещо схоже на рівняння теплопровідності, що описує теплові потоки в нерівномірно нагрітому тілі, які тривають, доки температура не стане всюди однаковою. Так само рівняння потоку Річчі задає таку зміну кривини многовиду, яка веде до вирівнювання всіх виступів і заглиблень. Наприклад, якщо почати з яйця, воно поступово стане сферичним.
ГЕОМЕТРИЗАЦІЯ
ДЛЯ КЛАСИФІКАЦІЇ 2-многовидів можна скористатися уніформізацією, або геометризацією: поставити їм у відповідність певну геометрію, жорстку форму. Зокрема, кожен многовид можна перетворити так, щоб його кривина була розподілена рівномірно. Сфера (a) — унікальна форма зі сталою додатною кривиною: вона всюди вигнута, мов вершина пагорба. Тор (b) можна зробити плоским, тобто таким, що всюди має нульову кривину. Для цього його потрібно розрізати й випрямити. Отриманий циліндр слід розрізати вздовж і розгорнути, щоб утворилася прямокутна площина. Інакше кажучи, тор можна відобразити на площину. Поверхням 2-го роду й вище (c) можна надати сталої від’ємної кривини; при цьому їхня геометрія залежатиме від кількості ручок. Нижче зображено сідлоподібну поверхню зі сталою від’ємною кривиною.
КЛАСИФІКУВАТИ 3-МНОГОВИДИ значно складніше. 3-многовид доводиться розділяти на частини, кожну з яких можна перетворити на одну з восьми канонічних тривимірних геометрій. Наведений нижче приклад (для простоти зображений як 2-многовид синього кольору) складено з 3-геометрій зі сталою додатною (a), нульовою (b) і сталою від’ємною (c) кривиною, а також із «добутків» 2-сфери й кола (d) та поверхні з від’ємною кривиною й кола (e).
Однак Гамільтон зіткнувся з певними труднощами: у деяких випадках потік Річчі призводить до перетискання многовиду й утворення нескінченно тонкої шийки. (У цьому його відмінність від теплового потоку: у точках перетискання температура була б нескінченно великою.) Один із прикладів — многовид у формі гантелі. Сфери ростуть, втягуючи матеріал із перемички, яка посередині звужується в точку (див. БОРОТЬБА З ОСОБЛИВОСТЯМИ). В іншому випадку, коли з многовиду виступає тонкий стрижень, потік Річчі спричиняє появу так званої сигароподібної особливості. У правильному 3-многовиді окіл будь-якої точки є шматочком звичайного тривимірного простору, чого не можна сказати про сингулярні точки перетискання. Подолати ці труднощі допомогли праці російського математика.
У 1992 р. після захисту кандидатської дисертації Перельман прибув до США й провів кілька семестрів в Університеті штату Нью-Йорк у Стоуні-Брук, а потім два роки в Каліфорнійському університеті в Берклі. Він швидко здобув репутацію висхідної зірки, отримавши кілька важливих і глибоких результатів в одному з розділів геометрії. Перельмана було відзначено премією Європейського математичного товариства (від якої він відмовився), і він отримав престижне запрошення виступити на Міжнародному конгресі математиків (яке він прийняв).
Навесні 1995 р. йому запропонували посади в кількох відомих математичних установах, але він вирішив повернутися до рідного Санкт-Петербурга й фактично зник із поля зору. Протягом багатьох років єдиною ознакою його діяльності були листи колишнім колегам із зазначенням помилок, допущених в опублікованих ними статтях. Запити про стан його власних робіт залишалися без відповіді. І ось наприкінці 2002 р. кілька людей отримали від Перельмана електронного листа з повідомленням про статтю, яку він надіслав на математичний сервер. Так розпочався його наступ на гіпотезу Пуанкаре.
БОРОТЬБА З ОСОБЛИВОСТЯМИ
НАМАГАЮЧИСЬ ВИКОРИСТАТИ рівняння потоку Річчі для доведення гіпотези Пуанкаре та геометризації 3-многовидів, учені зіткнулися з труднощами, які зумів подолати Григорій Перельман. Застосування потоку Річчі для поступової зміни форми 3-многовиду іноді призводить до виникнення особливостей. Наприклад, коли частина об’єкта має форму гантелі (a), трубка між сферами може виявитися перетиснутою до точкового перерізу, що порушує властивості многовиду (b). Також не виключена поява так званої сигароподібної особливості.
ПЕРЕЛЬМАН ПОКАЗАВ, що над особливостями можна проводити «хірургічні операції». Коли многовид починає перетискатися, слід вирізати невеликі ділянки по обидва боки від точки звуження (c), місця зрізу закрити невеликими сферами, а потім знову використати потік Річчі (d). Якщо перетискання виникає знову, процедуру потрібно повторити. Перельман також довів, що сигароподібна особливість ніколи не виникає.
Перельман додав до рівняння потоку Річчі новий член. Внесена зміна не усунула проблеми особливостей, але дала змогу провести набагато глибший аналіз. Російський учений показав, що над многовидом у формі гантелі можна провести «хірургічну» операцію: відрізати тонку трубку по обидва боки від перетискання, що виникає, і закрити відкриті трубки, які виступають із куль, сферичними ковпачками. Потім слід продовжувати зміну «прооперованого» многовиду відповідно до рівняння потоку Річчі, а до всіх перетискань, що виникають, застосовувати описану вище процедуру. Перельман також показав, що сигароподібні особливості виникати не можуть. Отже, будь-який 3-многовид можна звести до набору частин з однорідною геометрією.
Коли потік Річчі й «хірургічну операцію» застосовують до всіх можливих 3-многовидів, будь-який із них, якщо він такий само простий, як 3-сфера (інакше кажучи, характеризується такою самою гомотопією), обов’язково зводиться до тієї самої однорідної геометрії, що й 3-сфера. Отже, з топологічного погляду розглянутий многовид і є 3-сферою. Таким чином, 3-сфера унікальна.
Цінність статей Перельмана полягає не лише в доведенні гіпотези Пуанкаре, а й у нових методах аналізу. Учені всього світу вже використовують у своїх працях результати, отримані російським математиком, і застосовують розроблені ним методи в інших галузях. Виявилося, що потік Річчі пов’язаний із так званою групою перенормування, яка визначає, як змінюється сила взаємодій залежно від енергії зіткнення частинок. Наприклад, за низьких енергій сила електромагнітної взаємодії характеризується числом 0,0073 (приблизно 1/137). Однак коли два електрони стикаються лоб у лоб зі швидкістю, майже рівною швидкості світла, значення цієї сили наближається до 0,0078. Математика, що описує зміну фізичних сил, дуже схожа на математику, що описує геометризацію многовиду.
Збільшення енергії зіткнення еквівалентне вивченню сили на менших відстанях. Тому група перенормування подібна до мікроскопа зі змінним коефіцієнтом збільшення, який дає змогу досліджувати процес на різних рівнях деталізації. Так само потік Річчі є мікроскопом для розгляду многовидів. Виступи й заглибини, видимі за одного збільшення, зникають за іншого. Цілком імовірно, що в масштабах довжини Планка (близько $10^{–35}$ м) простір, у якому ми живемо, має вигляд піни зі складною топологічною структурою (див. статтю «Атоми простору і часу», «В мире науки», №4, 2004 р.). Крім того, рівняння загальної теорії відносності, які описують характеристики гравітації та великомасштабної структури Всесвіту, тісно пов’язані з рівнянням потоку Річчі. Хоч як парадоксально, член, доданий Перельманом до виразу, який використовував Гамільтон, виникає в теорії струн, що претендує на звання квантової теорії гравітації. Не виключено, що в статтях російського математика вчені знайдуть ще багато корисної інформації не тільки про абстрактні 3-многовиди, а й про простір, у якому ми живемо.
ПРО АВТОРА:
Кандидат фізико-математичних наук Грем Коллінз (Graham P. Collins) працює редактором журналу Scientific American. Додаткова інформація про теорему Пуанкаре доступна на www.sciam.com/ontheweb.
ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА:
- The Poincare Conjecture 99 Years Later: A Progress Report. John W. Milnor. Лютий 2003 р. Доступно за адресою
- Jules Henri Poincare ’ (біографія). Жовтень 2003 р. Доступно за адресою atwww-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Poincare.html
- Millennium Problems. The Clay Mathematics Institute:
- Notes and commentary on Perelman’s Ricci flow papers. Уклали Bruce Kleiner і John Lott. Доступно за адресою
- Topology. Eric W. Weisstein у Mathworld-A Wolfram Web Resource. Доступно за адресою
Лише зареєстровані користувачі можуть залишати коментарі. Увійдіть або зареєструйтеся.
Коментарі (3):